参数估计的基本理论.doc

第3章 参数估计的基本理论信号检测：通过准则来判断信号有无；参数估计：由观测量来估计出信号的参数；解决1）用什么方法求取参数，2）如何评价估计质量或者效果严格来讲，这一章研究的是参数的统计估计方法，它是数理统计的一个分支。推荐两本参考书高等教育出版社数理统计导论，Nonlinear Parameter Estimation。我们首先从一个估计问题入手，来了解参数估计的基本概念。3.1 估计的基本概念3.1.1 估计问题对于观察值是信号和噪声叠加的情况：其中是信号的参数，或就是信号本身。若能找到一个函数，利用可以得到参数的估计值，相对估计值，称为参数的真值。则称为参数的一个估计量。记作。在上面的方程中，去掉n实际上是一个多元方程求解问题。这时，如果把n看作是一种干扰或摄动，那么就可以用解确定性方程的方法来得出。但是我们要研究的是参数的统计估计方法，所以上面的描述并不适合我们的讨论。下面给出估计的统计问题描述。（点估计）设随机变量具有某一已知函数形式的概率密度函数，但是该函数依赖于未知参数， ，称为参数空间。因此可以把的概率密度函数表示为一个函数族。表示随机样本，其分布取自函数族的某一成员，问题是求统计量，作为参数的一个估计量。以上就是用统计的语言给出的参数估计问题的描述。关于“统计量”的定义：不依赖于未知参数的一元（或多元）随机变量的函数。统计量的两个特征：1，随机变量的函数，因此也是随机变量；2，不依赖于未知参数，因此当我们得到随机变量的一组抽样，就可以计算得到统计量的值。例3-1：考虑由，给定的观测样本。其中是未知参数，为噪声，取自分布。容易得到服从分布，s的一个估计值是：如果未知，则它的一个估计量为：有时估计结果会以这样的形式给出：s以95%的置信度位于区间中。我们称其为区间估计。区间估计量也可以直接计算得到，而不必先计算点估计量。当我们以某种函数形式给出估计量以后，是不是任务就结束了呢？还有一个任务是：建立一些准则或者性能指标来评价估计的质量。3.1.2 估计的偏差和无偏性若是参数的估计值，则定义估计的偏差为： （3-1）即估计值的均值与真值的差。若估计偏差，即，则估计是无偏估计。这里隐含假定是存在的。无偏性定义:定义：是的一个无偏估计，若在所有可能的样本范围内的平均值等于的真值，即 （3-2）称为无偏估计，否则为有偏估计。在有偏估计中，如果随着样本数的不断增大，偏差趋向于0，即： 则该估计称为渐进无偏估计让我们分析例3-1的无偏性，注意数学期望是一个线性算子。如果噪声是零均值的，即，或对所有有，则是的一个无偏估计。从数理统计这门课，我们知道样本方差对于方差是有偏的，因为无偏估计量是。但是样本方差是渐进无偏的。直觉上，一个好的估计量应当具有无偏性，但是实际上完全的无偏性通常是达不到的，只能希望小的偏差。而且估计的偏差也不是特别地的重要，因为估计误差不仅仅是偏差。估计的偏差和估计误差不是一回事，偏差只代表估计量的系统误差。都是s的无偏估计量，系统误差都为零。接下来，要研究估计误差的另一个性质估计的方差，它反映了估计量的随机误差大小。3.1.3 估计的方差和Cramer-Rao（克拉美-劳）不等式估计的方差： 方差：估计值相对于均值的分散程度。即越大就越发散，反之越小就越集中。任何无偏估计方差的下界叫做C-R下界用它来衡量估值方差的最小值。下面给出的定理是克拉美-劳定理的精简版。定理：若是参数的一个无偏估计，是观测值X（）的联合条件概率密度，若存在，则该估计的方差存在一个下界，即 （3-3）这个不等式就被称为克拉美-劳不等式，此下界被称为是估计方差的 C-R下界。式中等式在下述条件下是成立的： （3-4）其中是与参数有关与观测值无关的正函数。这里把参数当作随机变量。如果其真值是客观存在的未知常数，怎么去理解？我们将参数空间，分成若干个子空间（或子集），认为将以不同的概率落入不同的子空间当中。如果实在理解不了，可以看做是。证明 ：由于是参数的一个无偏估计，有：即 而可以写成为： ，表示 所以： 对参数求偏导： 由于有关系式：则可以得：根据：有：根据Schwarz不等式得：即：由于则有：而 所以（3-3）的不等式成立同时，当且仅当即：其中是与参数有关而与观测值无关的系数时，（3-3）的等式成立。定理给出了无偏估计最小方差的计算公式。克拉美劳下界与N的关系。定义随机变量，所以有，。从而z为一组零均值且相互独立的随机变量的和，其方差因此，克拉美劳下界与1/N成正比。3.1.4 估计的有效性上面介绍了估计量的偏差和方差。下面介绍估计的另一个性质有效性。我们在科研工作当中，经常会用到“精度”或者“精确性”这样的词汇。那么怎样来评价估计量的精度呢？显然，合理的评价方法应该是综合考虑偏差和方差，下面给出均方误差的定义：均方误差： 注意它与方差的区别。估计的均方误差和方差、偏差存在如下关系： （3-5）证明： 上式中的第一项就是方差，第三项则是（数学期望就是自身）。注意本身是的函数，与一样都可以是随机变量；第一项和第三项也不一定是相互独立的。，则中间等于0所以式（3-5）成立。证毕。方差越小，每次估计值相对于就越集中。偏差越小则数学期望就越接近真值。原版的克拉美-劳定理中不要求是无偏估计，并且为矢量，方差的克拉美-劳下限是，官方的名字叫MVB(Minimum Variance Bound)，其中，如果用一种方法得到的估计值的方差小于用其它任何方法得到的方差，则称这种估计为有效估计。若又是无偏估计，则称为均方误差最小估计。若小于1，就说比更有效。称为估计的效率。例3-2：一观测过程由定义，其中是一未知的常量参数，而是高斯白噪声，均值为零，方差为。若参数估计值，求其估计方差的C-R下界。解：容易得，是无偏估计量，所以可以用定理1计算C-R下界。由于为零均值的高斯分布，而为常量，所以也为高斯分布，其均值为，于是随机样本的联合概率密度函数为：似然函数关于未知参数的一阶导数为上式再对求导得： 最后得：即估计量的估计方差的C-R下界为。（是与观测值无关的正函数） 因此，是A的有效估计。3.1.5 充分估计由充分统计量的函数构成的估计，称为充分估计。充分统计量：设X代表一组随机样本，其概率密度函数为，为随机样本构成的统计量，如果满足下列条件则称为充分统计量，其中是给定为某一固定值时与无关的函数，为统计量的抽样分布。充分估计的理解：1，如果为充分统计量，则它包含的关于未知参数的信息与原始样本X是相同的，所以一旦的值确定以后，即使丢掉数据X也不会损失的信息；2，我们说一个样本包含参数的信息，仅当该样本的分布是的函数，当充分统计量的值确定以后，那么该样本的分布可以用来表示，而与无关。充分估计量的性质：1，有效估计量一定是充分估计；2，充分估计量不一定是有效的，但是可以利用充分估计量的函数来构造有效估计。3.1.6 估计的一致性被估计参量的估计量是根据有限N次观测量构造的，记为：我们希望随着观测次数N的增加，估计的质量提高，即估计值趋于被估计量的真值或均值，或估计的均方误差减小。对于任意小的正数，若则称估计量是一致估计量（收敛的）或者如果当估计的样本时，估计的均方误差，即 （3-6）称是参数的一致估计，或均方一致估计（均方收敛的）。由式（3-5）可知 所以一致估计才是好的估计。定理：如果是参数的一个无偏或渐进无偏估计，且随着观测次数N趋于无穷，估计的方差阵也趋于零即，则是参数的一致估计。渐进有效性：一致估计量如果依概率1有下式成立，。这说明估值方差及最小方差下界随着1/N趋向于0。3.1.7 估计的其它性质鲁棒性：估计结果受概率分布形状的影响较小。我们在计算估计量之前，通常对噪声的概率分布进行假定，比如假定为高斯白