《将左边向量相加》doc版.doc

膈聿莈螈肄肈蒀羄羀肇薂螆袆肆蚅蕿膄肅莄螅肀膅蒇薈羆膄蕿螃袂膃荿薆袈膂蒁袁膇膁薃蚄肃膀蚆袀罿腿莅蚂袅艿蒇袈螁芈薀蚁聿芇艿袆羅芆蒂虿羁芅薄羄袇芄蚆螇膆芃莆薀肂芃蒈螆羈莂薁薈袄莁芀螄螀莀莃薇聿荿薅螂肅莈蚇蚅羀莇莇袀袆莇葿蚃膅莆薂衿肁蒅蚄蚂羇蒄莃袇袃肁蒆蚀蝿肀蚈袅膈聿莈螈肄肈蒀羄羀肇薂螆袆肆蚅蕿膄肅莄螅肀膅蒇薈羆膄蕿螃袂膃荿薆袈膂蒁袁膇膁薃蚄肃膀蚆袀罿腿莅蚂袅艿蒇袈螁芈薀蚁聿芇艿袆羅芆蒂虿羁芅薄羄袇芄蚆螇膆芃莆薀肂芃蒈螆羈莂薁薈袄莁芀螄螀莀莃薇聿荿薅螂肅莈蚇蚅羀莇莇袀袆莇葿蚃膅莆薂衿肁蒅蚄蚂羇蒄莃袇袃肁蒆蚀蝿肀蚈袅膈聿莈螈肄肈蒀羄羀肇薂螆袆肆蚅蕿膄肅莄螅肀膅蒇薈羆膄蕿螃袂膃荿薆袈膂蒁袁膇膁薃蚄肃膀蚆袀罿腿莅蚂袅艿蒇袈螁芈薀蚁聿芇艿袆羅芆蒂虿羁芅薄羄袇芄蚆螇膆芃莆薀肂芃蒈螆羈莂薁薈袄莁芀螄螀莀莃薇聿荿薅螂肅莈蚇蚅羀莇莇袀袆莇葿蚃膅莆薂衿肁蒅蚄蚂羇蒄莃袇袃肁蒆蚀蝿肀蚈袅膈聿莈螈肄肈蒀羄羀肇薂螆袆肆蚅蕿膄肅莄螅肀膅蒇薈羆膄蕿螃袂膃荿薆袈膂蒁 习题4.11.如果 3+4+k=，求k,a,b解 将左边向量相加，与右边对应分量比较得解方程组得，k=3,a=-1/3,b=32.证明：如果=则 +=证 前一式的左边=+比较前一式的右边，后一式得证1.能不能由1, 2, 3, 4线性表出？ 1=，2=，3=，4=，= 1=，2=，3=，4=，=证 能由1, 2, 3, 4线性表出的充分必要条件是存在数x1, x2, x3, x4使 x11+x22+x33+x44=上式相当于一个线性方程组，其增广矩阵B=对应线性方程组无解，所以不能由1, 2, 3, 4线性表出对应线性方程组的增广矩阵为B=对应的线性方程组有解，所以能由1, 2, 3, 4线性表出2.证明：1,2与等价证 首先显然能由1,2线性表出；又因1= +，2= -，即1,2能由线性表出所以1,2与等价4*.设U=Span(1，2，s), iFn，i=1,2,s，W是一个子空间证明：如果jW，j=1,2,s，则UW（这个结论表明：由1，2，s生成的子空间是包含1，2，s)的Fn的最小子空间）证 对于任意U，存在数k1，k2，ks，使= k11+ k22+kss，由于W是一个子空间，对数乘满足封闭性，且jW，所以kjjW，j=1,2,s；由W对加法满足封闭性，从而k11+ k22W，（k11+ k22）+k33W，（k11+ k22+ ks-1s-1）+kssW 所以UW习题4.31.下述说法对吗？如果有F中的数k1, k2, ks,使k11+k22+kss=0，则向量组1,2,s线性相关如果有F中不全为零的数k1, k2, ks,使k11+k22+kss0，则向量组1,2,s线性无关解 说法不对例如对于向量，取k1=k2=0，有k11+k22=0，而1,2是线性无关的说法不对例如对于向量，取不为零的数k1=k2=1，有k11+k220，而1,2是线性相关的2.下列向量线性相关，还是线性无关？为什么？，解 令H=对应的齐次线性方程组HX=0只有零解，所以1，2，3线性无关令H=对应的齐次线性方程组HX=0有非零解，所以1，2，3，4线性相关3.设向量组1,2,3线性无关，下述向量组哪些线性无关？0,2,32,1+3,21+22,2-33,2+3,1+42+31,41-321+2,2+3,3+1答 线性相关，线性无关4.如果向量组1,2线性相关，必定有kF使1=k2吗？如果向量组1, 1,，s线性无关，则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出吗？答 如果向量组1,2线性相关，不一定有kF使1=k2，例如当10，2=0时，显然1,2线性相关，但不存在kF使1=k2如果向量组1, 2,，s线性无关，则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出否则，利用反证法，假设有一个向量i能由其余向量线性表出，先写成表示形式，然后通过移项可知与线性无关相矛盾5*.设(1, 2,，s, s+1),但(1, 2,，s)证明：s+1(1, 2,，s,)证 因为(1, 2,，s, s+1),所以存在数k1,k2,ks,ks+1使 =k11+k22+kss+ks+1s+1其中必有ks+10，否则可由1, 2,，s线性表出，这与(1, 2,，s)想矛盾将上式移项后两边乘以得即s+1(1, 2,，s,) 习题4.41.证明是F3的一个基证 设有数k1,k2,k3,使 +=得k1=k2=k3=0，所以1, 2,3线性无关又对F3中任一向量，令+=解上述线性方程组，得k1=a,k2=(b+c-2a)/2,k3=(b-c)/2，即能由1, 2,3线性表出总之，1, 2,3是F3的一个基2.设1=，2=，3=证明：1, 2是1, 2,3的一个极大线性无关组证 设有数k1,k2使k11+k22=0即+=0得k1=k2=0，所以1, 2线性无关又，线性方程组+=0的系数矩阵11+22+33=0有非零解，所以1, 2,3线性相关总之，1, 2是1, 2,3的一个极大线性无关组3.设()：1, 2,s是向量空间V的一个向量组，并且()的秩是r，()：1, 2,r是()的一个部分组，如果()能由()线性表出，则()是()的一个极大线性无关组证：如果()能由()线性表出，则()的秩小于等于()的秩，而()的秩是r，从而()的秩大于等于r，又因为()一共有r个向量，所以()的秩为r，故()线性无关由极大线性无关组的条件知，()是()的一个极大线性无关组4. 设()：1, 2,n是Fn的一个向量组，证明：如果n维单位向量组1, 2,n能由()线性表出，则()是Fn的一个基证：因为n维单位向量组1, 2,n的秩是n，如果1, 2,n能由()线性表出，则()的秩大于等于n，而()只有n个向量，所以()的秩等于n，故()线性无关从而()是Fn的一个基5.设()，()是子空间V的两个向量组证明：如果()能由()线性表出，并且如果()的秩等于()的秩，则Span()=Span()证 因为()能由()线性表出，所以Span()Span()，又由()的秩等于()的秩得，dim(Span()=dim(Span(),从而Span()=Span()6.设A是mn矩阵，()：1, 2, t是Fn的（列）向量组 证明：如果()线性相关，则向量组（）：A1,A2,At线性相关 证明：()的秩()的秩 证明：如果A可逆（这时m=n），则()的秩=()的秩证 如果()线性相关，则存在不全为零的数k1, k2, kt,使k11+k22+ktt=0从而 k1A1+k2A2+ktAt=A(k11+k22+ktt)=0说明（）：A1,A2,At线性相关 设()的秩为r,则()中任意r+1个向量必线性相关，类似的证明知，()的任意r+1个向量也线性相关，从而()的秩r 如果A的逆，则将A1,A2,At看作中的（），将A-1A1, A-1A2, A-1At看作中的()，将A-1看作A，同理可证A-1A1, A-1A2, A-1At的秩A1,A2,At的秩，即()的秩()的秩结合得()的秩=()的秩习题4.51.设A是一个mn矩阵，W=A|Fn证明：如果A的列秩是r，则dim(W)=r证 将A的n个列向量记分别为1，2，n，对于任意Fn，=，A=k11+ k22+ knn说明W=Span(1，2，n)，所以dim(W)=rank(1，2，n)=r2.求下列矩阵的秩： 解 ，对应矩阵的秩为3，对应矩阵的秩为3对应矩阵的秩为33. 求向量组1, 2,3的秩：1=(1,2,1,3)，2=(4,-1,-5,-6), 3=(1,-3,-4,-7)1=(3,-2,0,-1)，2=(0,2,2,1), 3=(1,-2,-3,-2)解 1, 2,3的秩为21, 2,3的秩为34. 证明：rank(A,B)rank(A)+rank(B)证 设矩阵A有s列，矩阵B有t列，设A的s个列向量记分别为1, 2,，s，B的t个列向量分别为1，2，t，又设rank(A)=r，rank(B)=p，取1, 2,，s的一个极大线性无关组为i1, i2,，ir ,取1，2，t的一个极大线性无关组为i1, i2,，ip,则向量组1, 2,，s，1，2，t能由向量组i1, i2,，ir，i1, i2,，ip 线性表出，所以rank(1, 2,，s，1，2，t)rank(i1, i2,，ir，i1, i2,，ip),而i1, i2,，ir，i1, i2,，ip 一共只有s+t个向量，故rank(A,B)rank(A)+rank(B)5. 证明：rank(A+B)rank(A)+rank(B)举例说明等号不一定总是成立证 设矩阵A和矩阵B都有n列，设A的n个列向量记分别为1, 2,，n，B的n个列向量分别为1，2，n，又设rank(A)=r，rank(B)=p，取1, 2,，n的一个极大线性无关组为i1, i2,，ir ,取1，2，n的一个极大线性无关组为i1, i2,，ip,显然向量组1+1, 2+2,，n+n能由向量组i1, i2,，ir，i1, i2,，ip 线性表出，所以rank(1+1, 2+2,，n+n)rank(i1, i2,，ir，i1, i2,，ip),而i1, i2,，ir，i1, i2,，ip一共只有r+p个向量，故rank(A+B)r+p=rank(A)+rank(B)6.设A是nn矩阵，B=A+En，C=A-En，则rank(B,C)=n证 设A的n个列向量记分别为1, 2,，n，B的n个列向量分别为1，2，n，C的n个列向量分别为1，2，n，由已知i=i+i，i=i-i，从而有i =1/2i-1/2i即1, 2,，n能由1，2，n，1，2，n 线性表出，故rank(1, 2,，n)rank(1，2，n，1，2，n) n而rank(1, 2,，n)=n，所以rank(B,C)=n7.设A是nr矩阵，B是rn矩阵，证明：如果AB=Er，则rank(A)=rank(B)=r证 因为rank(A)rank(AB)=rank(Er)=r, rank(B)rank(AB)=rank(Er)=r,又A一共只有r列，B只有r行，所以rank(A)=rank(B)=r8*.设A是nn矩阵，证明：如果对任意Fn，线性方程组AX=都有解，则A可逆证 分别令=1, 2,，n，根据已知条件知，AX=i存在解X(i)，i=1,2,n，记B=(X(1),X(2), X(n)则有 AB=En,故A可逆习题4.61.设A是sn矩阵，B是ss矩阵，证明：线性方程AX=的解也是线性方程组BAX=B的解证 设X*是线性方程AX=的任一解，即有A X*=，代入BAX=B的左边得B(A X*)=B=右边所以线性方程AX=的解也是线性方程组BAX=B的解2. 设A是sn矩阵，B是sm矩阵证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是： rank(A)=rank(A,B)证 必要性：设矩阵方程AX=B有解，设X*=(X1, X2, Xm)是一个解，其中Xi是X*的列向量，记B=(1, 2, m)，i是B的列向量，则有AXi=i，记Xi=记A=( 1, 2, n)，i是A的列向量即有 ki11+ki22+ kinn=i (i=1,2,m)说明B的列向量组1, 2, m)i可由A的列向量组 1, 2, n线性表出，从而矩阵(A,B)的列向量组与矩阵A的列向量组等价，故rank(A)=rank(A,B)充分性：若rank(A)=rank(A,B)，则矩阵(A,B)的列向量组与矩阵A的列向量组等价，从而B的列向量组1, 2, m)i可由A的列向量组 1, 2, n线性表出，利用必要性的证明过程可得矩阵方程AX=B有解3.求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并且用它来表示解空间解 线性方程组对应的系数矩阵为令x4=1，得x3=0，x2= -1，x1=2，得基础解系解空间为k1|k为任意常数 线性方程组对应的系数矩阵为令x4=1，x5=0，得x3=9/4，x2= -7/4，x1=15/4，得一个解令x4=0，x5=1，得x3= -1，x2= 3/2，x1= -1/2，得一个解一个基础解系为1，2解空间为Span(1，2)线性方程组对应的系数矩阵为令x5=1，得x4=5/4，x3=0，x2= 0，x1= 1/4，得一个解也是一个基础解系，解空间为Span(1)4. 设B是一个mr矩阵，C是一个rt矩阵,rank(B)=r证明：如果BC=0，则C=0证 设，因为rank(B)=r，所以线性方程组BX=0的解空间的维数为0，即只有零解如果BC=0，说明，C的每一列都是线性方程组BX=0的解，所以C的每一列都是0向量，从而C=05. 设A是一个mn矩阵，B是一个sm矩阵, 证明：如果rank(A)= rank(BA)，则齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组BAX=0同解证 显然AX=0的解必是BAX=0的解，记AX=0的解空间为W，BAX=0的解空间为V，则WV又因为rank(A)=rank(BA)，所以dim(W)=dim(V)总之有W=V，即齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组BAX=0同解6. 设A是一个nn矩阵，证明：如果rank(A)=n,则rank(A*)=n；如果rank(A)=n-1,则rank(A*)=1；如果rank(A)n-1,则rank(A*)=0.其中A*是A的伴随矩阵.证 如果rank(A)=n,则|A|0，因为AA*=|A|En,两边取行列式知|A*|0，所以rank(A*)=n如果rank(A)=n-1,则|A|=0，从而AA*=|A|En=0，又线性方程组AX=0的解空间的维数为1，而A*的每一列都是AX=0的解，所以rank(A*)1另一方面，由rank(A)=n-1知, A最少有一个n-1阶子式不为0，即A*中最少有一个元素不为0，即有rank(A*)1总之，rank(A*)=1 如果rank(A)n-1,则A的所有n-1阶子式全为0，从而A*=0，故rank(A*)=0.7.解下列线性方程组（如果有无穷多解时，要求求出导出线性方程组的一个基础解系，并且用导出线性方程组的一个基础解系表示原方程组的所有解）解 线性方程组的增广矩阵 非齐次线性方程组的一个特解为，对应的导出组的系数矩阵为，一个基础解系为，非齐次方程组的任意解可表示为X=c11+ c22+，c1，c2为任意实数解 线性方程组的增广矩阵非齐次线性方程组的增广矩阵的秩为4，所以只有唯一解，解为8.设1，2，t都是线性方程组AX=的解（其中0），证明：k11+k22+ktt是AX=的解的充分必要条件是k1+k2+kt=1证 先证必要性设k11+k22+ktt是AX=的解，则有A(k11+k22+ktt)=由于1，2，t都是线性方程组AX=的解，故上式为 k1+k2+kt=从而得k1+k2+kt=1再证充分性若k1+k2+kt=1，则kt=1- k1-k2- kt-1，从而有A(k11+k22+ktt)= k1+k2+kt=k1+k2+kt-1+(1- k1-k2- kt-1)=即k11+k22+ktt是AX=的解9*.设A是一个mn矩阵，rank(A)=r，又设tN，且tn-r证明：存在一个nt矩阵B，使rank(B)=n-r，并且AB=0证 因为rank(A)=r，所以线性方程组AX=0的基础解系含n-r个n维列向量1，2，n-r，将这些向量作为B的前n-r列，再添加t-(n-r)个零向量，得到一个nt矩阵B，显然rank(B)=n-r，并且AB=010*.设1，2，tFn，其中tn-1证明：存在一个齐次线性方