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一道最值习题的推广及应用成都市龙泉驿区教委教研室 王富英习题: 设0x ，求y = x2(13x)的最大值。分析：将x2分解为x.x后，其和不等于3x，不满足最值定理的条件，所以要对x的系数进行“配系”为，从而使问题得解。解： 0x0, y=x2(13x)=(13x) =,当且仅当=13x即x= 时， ymax=.将此问题推广到一般情况，得命题1、 若0x,则函数y=axkm(lnxm)p(k、 l、 m、 n、 pN,aR+ ) 当且仅当x= 时有最大值a。证明： 0x0,又aR+y=axkm(lnxm)p =a k个 P个a =a。当且仅当 = lnxm即x = 时，函数y=axkm(lnxm)p有最大值a .注：在命题1中，若aR-, 则函数y=axkm(lnxm)p当x= 时有最小值a。命题1函数中的两个因式中，括号内x的指数小于或等于括号外x的指数，若括号内x的指数大于括号外x的指数，则有下面的命题2 若0x,则函数y=axm(lnxmk)p(k、 l、 m、 n、 pN,aR+ ) 当且仅当x=时，函数y=axm(lnxmk)p有最大值 a。 证明 00,又 aR+，y0. yk = ak xkm (l-nxkm )kp= kp个 =。 y ，当且仅当 ，即 x = 时等号成立。所以，当x = 时，函数y=axm(lnxmk)p有最大值 。注：在命题1和命题2中，若m=1，规定=a 。命题1和命题2证明所用的方法叫做“分解配系法”和“升幂法”。其实，命题1和命题2的结论并不重要，其所用的思想方法才是最重要的。因为，这两种方法是求解积式函数最值时常用的方法。利用命题1和命题2，可以编制和解答一大类最值问题。如：1 、已知 x(0 ,), 求 y =sinxcos4x的最大值。 2、 已知 x(0,), 求y=x(35x4)3的最大值。3、 已知函数y = x的最大值是M，最小值是N，则M、N分别是（A） M= ， N=- ； （B） M=2 ，N=-2 ；（C） M= ，N=- ； （D） M=， N=- ；。4、如果圆柱轴截面的周长为l未定值，求圆柱体积的最大值。5、 已知0x, 求 y=-5x6(23x3)4的最小值。6、 已知a、m n、 k、 p，求函数a的最值。7、 已知圆锥的侧面积是求其体积的最大值。8、 已知问：函数是否有最大值？若有，请求出x的取值范围和最大值；若没有，请说明理由。在平时的解题教学中，若引导学生多进行一些解题后的探索、研究、引申、推广，既可使学生掌握知识之间的内在联系和规律，做到解一题，带一串，通一类，提高解题
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