数学分析第一学期教案.doc

1 实数一、实数及其性质 有理数：用分数形式表示，有限十进制小数或无限循环小数 实数 无理数：无限不循环小数 有限无限化：正当时，记 当为正整数时， 对于负的先正再加负号 0=0。0000定义两个实数大小的关系：定义1：给定两个非负实数， 其中为非负整数，为整数 若有 则称 若或存在非负整数，使得而 ，则称。 对于负实数，定义2：设为非负实数，称有理数 为实数的位不足近似，而有理数为实数的位过剩近似。 对于负实数 注意：不足近似，当n增大时不减。而过剩近似当n增大时不增。 命题：设，则的 例1 设为实数，。证明：存在有理数满足 实数的主要性质：1、 四则运算是封闭的。2、 有序的。3、 大小关系具有传递性。4、 阿基米德性，即对，若，则5、 稠密性6、 数轴例2：，证明：对于任何正数，有，则。二、绝对值与不等式1、 定义：2、几何意义 3、性质 |a|=|-a|0 -|a|a|a| |a|h-ha-1，h0有公式五 函数的单调性定理6.3 设f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上递增（减）.例7 设，试讨论函数f的单调区间。定理6.4 若函数f在(a,b)内可导，则f在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（）对一切，有；（）在(a,b)内的任何子区间上。推论 若f(x)在(a,b)内可导，f(x)在(a,b)内严格递增（减），且y=f(x)在右端点a右连续，则f在a,b上变为严格递增（减），对左端点b也有类似讨论。例8 证明等式：当时，例9 证明 时，4 柯西中值定理和不定式极限一 柯西中值定理定理6.5(柯西(Cauchy)中值定理)若函数f，g（xg(u)，yf(u)，ua,b）满足如下条件：（1）；（2）f，g在(a,b)内可导；（3）至少有一个不为0；（4）g(a)g(b)。在存在(a,b)，使得。例1设f在a,b（a0）上连续；在(a,b)内可导，则存在(a,b)，使得f(b)-f(a)=二 不定式极限1型不定式定理6.6（洛必达法则） 若函数f和g满足：（1）；（2）在点的某空心邻域内两者都可导，且；（3），则。注 （1）将改为时，上述结论都对；（2）是分子，分母分别求导时极限和不同，更不能认为是。例2例3 2.型极限定理6.7 （LHospital法则）（1）；（2）在点的某空心邻域内两者都可导，且；（3），则。注 （1）将改为时，上述结论都对；（2）如果，满足条件，则可再次使用该法则。例3例4注 使用LHospital法则应注意的一些问题：（1）、不能对任何比较类型的极限都用LHospital法则来求解，必须是型和型才可以；（2）、若不存在，就不能用，但这不意味着不存在；（3）、可以使用LHospital法则，但出现循环现象，无法求出结果，此时只能寻求别的方法；（4）、只有当比简单时，用LHospital法则才有价值，否则另找方法，故LHospital法则不是“万能工具”。3其它类型不定式极限如型、型、型、型、型、型、型等，经过变换，它们一般均可以化为型和型的极限，如下列各例例5 例6 例7（k为常数）例8例9例10设，已知，试求。例11 5 泰勒公式 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？在“微分在近似计算中的应用”中我们知道，如果函数f在点可导，则有有限增量公式；即在附近，用一次多项式逼近函数f(x)时，其误差为。然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中n为多项式次数。为此，有如下的n次多项式易见,，（多项式的系数由其各阶导数在的取值唯一确定）。对于一般的函数，设它在点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式如下称为函数f在点处泰勒多项式，的各项函数，（k1,2,n）称为泰勒系数。一 带有皮亚诺余项的泰勒公式定理6.8 若函数f在点存在直至n阶导数，则有，即即函数f在点处的泰勒公式；称为泰勒公式的余项。形如的余项称为皮亚诺（peano）型余项。若f(x)在点附近函数满足，其中，这并不意味着必定是f的泰勒多项式。但并非f(x)的泰勒多项式。（因为除外，f在x0出不再存在其它等于一阶的导数。）；2、满足条件的n次逼近多项式是唯一的。由此可知，当f满足定理1的条件时，满足要求的多项式一定是f在点的泰勒多项式；3、泰勒公式0的特殊情形麦克劳林（Maclaurin）公式定理6.8给出了用泰勒多项式来代替函数yf(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当时，误差是较高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano余项的泰勒公式上看不出来。为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式。二 带有Lagrange型余项的Taylor公式定理6.9（泰勒定理） 若函数f在a,b上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n1阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点使得：注（1）、当n0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；（2）、当时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式 例1带Penno余项的Maclaurin公式例2带Lagrange型余项的Maclaurin公式 ， ， ， ， ， ，三 常见的Maclaurin公式的初步应用利用上述Maclaurin公式，可求得其它一些函数的Maclaurin公式或Taylor公式。例3 写出的Maclaurin公式，并求与例4求在x2处的Taylor公式例5 例6（1）计算e的值，使其误差不超过；（2）证明e为无理数。例7用Taylor多项式逼近正弦函数sinx，要求误差不超过，试求m1和m2两种情形分别讨论x的取值范围。6 函数的极值与最大（小）值一 极值判别定理6.10（极值的第一充分条件）：设f在点连续，在某邻域U(,)内可导，（1）若当时，；当时，则f在点取得最小值；（2）若当时，；当时，则f在点取得最大值；（3）若在和内不等号，则点不是极值点。若f是二阶可导函数，则有如下判别极值的方法定理6.11（极值的第二充分条件） 设f在点的某邻域U(,)内一阶可导，在x处二阶可导，且，则有：（1）若，则f在出取得极大值；（2）若，则f在出取得极小值。注 对于二阶导数无法判别的问题，可借助于更高阶的导数来判别。定理6.12（极值的第三充分条件）设f在的某邻域内存在直到n1阶导函数，在处n阶可导，且，（k1，2，n1），则（1）当n为偶数时，f在取得极值，且当时，取极大值；当时，取极小值；（2）当n为奇数时，f在不取得极值。例1 求的单调区间、极值点和极值。例2 求的极值点与极值。例3 试求函数的极值二 最大值与最小值由连续函数在a,b上的性质，若f在a,b上一定有最大、最小值。这为求连续函数的最大、小值提供了理论保证，问题是如何求出最大、小值呢？函数在a,b上最大（小）值可能在xa或b取得，也可能在(a,b)内取到，若在(a,b)内取得，则最大（小）值点一定是极大（小）值点。于是，为求f在a,b上的最大（小）值，可按以下步骤进行,（1）求出在（a,b）内的点，和y=f(x)在（a，b）内不可导的点，并求出相应的函数值；（2）计算f(a)，f(b)；（3）把上述函数值作比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值。例4求函数在上的最大值与最小值。例5剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒，问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容积最大？7 函数的凸性与拐点定义1 设函数f为定义在区间I上的函数，若对I上任意两点、和任意实数总有，则称f为I上的凸函数。反之，如果总有，则称f为I上的凹函数。注 若一f为区间I上的凸函数，则f为区间I上的凹函数，因此，今后只讨论凸函数的性质即可。定义2 设曲线yf(x)在点()处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称()为曲线yf(x)的拐点。必须指出,若()是曲线y=f（x)的一个拐点，yf(x)在点的导数不一定存在，如在x0的情形。引理 f为I上的凸函数对于I上任意三点总有如果f是I上的可导函数，则进一步有定理6.13 设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：（1）f为I上的凸函数；（2）为I上的增函数；（3）对I上的任意两点总有如果f在I上二阶可导，则进一步有定理6.14设f为I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数（），。定理6.15（拐点必要条件） 若f在二阶可导，则()为曲线yf(x)的拐点的必要条件是。综上知：()的拐点，则要么（1）；要么（2）f在点不可导。定理6.16 设f在点可导，在某邻域内二阶可导，若在和上的符号相反，则()为曲线yf(x)的拐点。例