电阻电路的一般分析方法.doc

第二章电阻电路的一般分析方法322.1 电阻的串联和并联322.1.1 电阻的串联322.1.2 电阻的并联332.1.3 电阻的混联及Y等效变换352.2 电阻电路功率及负载获得最大功率的条件382.3 电路中各点电位的计算392.4 应用基尔霍夫定律计算线性网络412.5 网孔分析法422.6 节点分析法452.7 弥尔曼定理50习 题51第二章 电阻电路的一般分析方法 53第二章 电阻电路的一般分析方法电路分析的基本任务就是根据已知的激励（独立源）、电路的结构以及元件参数求出电路的响应（电流、电压等）。分析的理论依据是根据元件的伏安特性和基尔霍夫定律。本章以线性电阻电路为对象，介绍几种常用的电路分析方法和若干重要定理。这些方法和定理也是分析动态电路和正弦稳态电路的重要基础。2.1 电阻的串联和并联 串联和并联是电阻常见的两种连接方式，在进行电路分析时，往往用一个等效电阻来代替，从而达到简化电路组成、减少计算量的目的。下面讨论串、并联电路的分析以及等效电阻的计算和应用。2.1.1 电阻的串联I N1 + + I N2 U1 R1 + - +U U2 R2 U R - + U3 R3 - - -(a) (b) 图2-1 电阻串联电路图2-1是三个电阻串联的电路，电阻串联(series connection)的特点是： (1)根据KCL，通过串联电阻的电流是同一个电流； (2)根据KVL，串联电路两端口总电压等于各个电阻上电压的代数和，即U=U1+U2+U3 （2-1）应用欧姆定律，有 U=R1I+R2I+R3I=(R1+R2+R3)I=RI （2-2）式中 R=R1+R2+R3 (2-3)R称为三个串联电阻的等效电阻。“等效”是电路分析中的一个基本概念。如果二端电路N1、N2（如图2-1(a)、(b)）的端口伏安特性完全相同，就称N1与N2是互为等效的电路。换句话说，互换N1和N2，不会改变外电路中（等效电路以外）任一处的电流和电压。这种等效电路之间的互换，称为等效变换。所谓等效，是指外电路而言的，它们的作用效果是相同的。式（2-2）表明，图2-1(a)、(b)电路端口的伏安特性相同，因此两个电路是等效的。利用式（2-2）和U1、U2、U3与电流的关系，可求得 （2-4）（2-4）式表明，各串联电阻上的电压和消耗的功率均与它们的电阻值成正比。2.1.2 电阻的并联图2-2是三个电阻并联的电路，电阻并联(parallel connection)电路的特点是：(1)根据KVL，各并联电阻的端电压是同一个电压；(2)根据KCL，通过并联电路的总电流是各并联电路中电流的代数和，即 I=I1+I2+I3 (2-5)应用欧姆定律，上式可表示为 (2-6)式中： I I + I1 I2 I3 + R1 R2 R3 U R- -(a) (b)图2-2 电阻并联电路 （2-7）式（2-7）中的R称为并联电阻的等效电阻，它的倒数等于各个并联电阻倒数的总和。式（2-6）表明，等效电阻R满足式（2-7）关系时，图2-2（b）与图2-2（a）电路具有相同的伏安关系，对其相连的外部电路而言，它们是互为等效的电路。应用式（2-6）及I1、I2、I3与电压U的关系，可求得 （2-8）上式表明，各个并联电阻中流过的电流和消耗的功率均与电阻值成反比。对于只有两个电阻并联的电路，通常记为R1/R2，由上面结论可得等效电阻的倒数其等效电阻为 （2-9）由式（2-8）和式（2-9）可求出两个电并联时各支路电流为 （2-10）式（2-9）和式（2-10）会经常用到，应该熟记。例2-1 电路如图2-3(a)所示，求ab端等效电阻。a Rabb(c) R1 a R2 R4R3 b R5 (a) a R3 R2 R1 b R5 R4 (b)图2-3 例2-1电路图图2-4 例2-2电路图及简化过程 a 50 c 50 50 25 b 50 (a) a 50 c 50 50 25 50 b (b)a a50 50 50 b b(d) (e)50a c5050 50 25b(c)解：先将图2-3(a)在不改变元件连接关系的条件下，改画成容易看出的串并联关系如图2-3(b)。逐步利用电阻串联或并联等效电阻加以代替，最后求出ab端等效电阻如图2-3(c)所示。 例2-2 电路如图2-4(a)所示，求等效电阻Rab。解：初看起来图(a)电路比较复杂，各电阻之间的关系不能一下子看出。遇此情况，应先观察电路共有几个节点，先设置这几个节点的位置如图(b)所示。然后将各个节点之间的电阻用最短的线段重新画在节点之间，如图(c)所示。此图中各电阻的连接关系就比较明显了，经过不断化简如图(d)、(e)，可求得等效电阻为 2.1.3 电阻的混联及Y等效变换有一些混联电阻的电路，既不属于电阻的串联，也不属于电阻的并联。如图2-5所示就是其中一例。此时无法用串、并联的公式进行等效化简。仔细分析这类电路，可发现存在如下的典型连接：即星形连接（Y形或T形连接），或三角形连接（形连接或形连接），如图2-6所示。 R1 R2 R3 R4 R5图2-5 具有Y连接的电路1 1R1 R31 R12 R3 R2 R23 3 2 3 2 R1 R2 R12 1 2 1 2R3 R31 R23 3 3 (a) Y或T形电路 (b) 或形电路 图2-6 两种典型的连接电路当它们被接在复杂的电路中，在一定的条件下可以等效互换，而不影响其余未经变换部分的电压和电流；经过等效变换可使整个电路简化，从而能够利用电阻串并联方法进行计算。两个电路相互等效的条件是要求它们端点的伏安特性关系完全相同。下面证明Y形连接与形连接电路等效变换的公式：所谓等效变换，就是变换前后网络的外特性不变。像图2-7(a)、(b)中分别施加相同的电流源I1和I2，则对应得端点间电压U13和U23不变。对于图2-7(a)所示电路有 U13=R1I1+R3(I1+I2) U23=R2I2+R3(I1+I2)即 （2-11） 1 R1 R2 2 1 I0 R12 2I1 R3 I2 I1 R31 R23 I2 3 3 (a) (b)图2-7 电流源施加于Y（T）形网络和（）形网络对于2-7(b)所示的网络，将电流源并联电阻模型转换为电压源串联电阻模型后可得 以及 U13=R31I1-R31I0 U23=R23I0+R23I2由此可得 （2-12）令（2-11）和（2-12）两式中I1和I2前面的系数分别相等，可得 （2-13）解（2-13）式可得将形连接等效变换为Y形连接时 （2-14）由（2-13）式也可解得将Y形连接等效电路变换为形连接时 （2-15）由式（2-14）可知，当 时，有，并有 （2-16）同样，由式（2-15）可知，当时，有，并有 （2-17）为了便于记忆式（2-14）和（2-15），可写成如下形式： 1 3 5+ 2 10V 3 2- I 1 1 4(a)例2-3 如图2-8所示电桥电路，求电流I。1 1 11.5 1.5 1.5+ 0 + + 10V 0.6 1 10V I 0 10V 0- - - 3 I 2 1.6 2 0.89 1 1 4 4 4 (b) (c) (d) 图2-8 例2-3电路及简化电路解：可运用Y变换使原电路化为简单电路后求解电流I。有好几种变换方式可供采用。例如，可把5、2、3三个电阻形成的形化为等效的Y形；也可把5、2、1（指2、4间）三个电阻形成的Y形电路化为等效形电路；还可以把2、1、1三个电阻形成的形电路化为等效的Y形电路，但这一变换方式将使待求电流的支路消失。下面采用第一种方式对图2-8(a)的电路进行简化，其过程如图2-8(b)、(c)、(d)所示。根据式（2-14）求出从图2-8(d)可以求得 再由图2-8(c)可以求得 2.2 电阻电路功率及负载获得最大功率的条件一个实际的电源，它产生得功率通常由两部分组成，即电源内阻所消耗的功率和输出到负载上的功率。在电子技术中总希望负载上得到的功率越大越好，那么，怎样才能使负载从电源获得最大的功率呢？设电路如图2-9所示，电源的开路电压为Us，内阻为Rs，负载电阻为R，则 I Rs+ RUs-图2-9 负载可变的串联电阻 负载功率为 若将负载R看作为自变量来确定功率P得最大值，则利用数学知识可知，当时求得的R，即为P取得最大值得负载电阻。 即 (R+Rs)2-2R(R+Rs)=0亦即 R=Rs满足R=Rs时，称为最大功率“匹配”(match)，此时负载所得的最大功率为 （2-18）2.3 电路中各点电位的计算在电路的分析计算中，特别是在电子电路中，除经常使用“电压”这个物理量之外，还常用到另一个物理量“电位”。电压和电位有什么区别呢？在1.2.2中已经提到，电压可用“电位差”表示。以图2-10(a)所示电路为例，可以列出下列各式Uab=R1I1Uad=Us1Uac=R1I1-R2I2Ubd=R3I3 I1 R1 b R2 I2 a I1 R1 b R2 I2 ca c +Us1 +Us2 I3 I3 Us1 R3 Us2 R3 d d (a) (b)图2-10 电位的计算图Ucd=-Us2那么，“电位”又是什么呢？在电路中任选一个“参考点”，电路中某一点到参考点的电压降就叫做这一点的电位。电位也用U表示，a点的电位记为Ua。在图2-10中，若选d点为参考点，则Ua=Uad=Us1Ub=Ubd=R3I3Uc=Ucd= -Us2Ud=Udd=0因此，电位虽是指一点而言，但实际上还是两点之间的电压，只不过这第二点是规定了的参考点。所以能够计算电路中任何两点的电压，也就可以计算电位。参考点又叫“零电位点”。零电位一经选定，其它各点均有一定的电位。参考点可以任意选定，但一经选定，其它各点的电位就以该点为准计算的。如果更换参考点，则各点的电位也会随之改变。在工程上常常选大地作为参考点，即认为地电位为零。在电子电路中则常选一条特定的公共线作为参考点，这条公共线常是很多元件汇集处且与机壳相联接，这条线也叫“地线”。因此，在电子电路中，参考点用机壳符号“”表示。在电路图中，不指定参考点而谈论电位是没有意义的。为什么在电路分析中还要引用电位呢？确实，很多问题不必用电位去分析，但在电子电路中却常常遇到用电位而不用电压来进行分析、计算的情况。这是因为用电位分析，有时可以使问题简化，以图2-10所示电路为例。它共有a、b、c、d四个不同的节点，任何两点之间都有一定的电压，计有Uab、Uac、Uad、Ubc、Ubd、Ucd等6个不同的电压。若用电位来讨论，只要指定任一点作为零电位点，讨论其余三点的电位就可以了。这样，就使要讨论的对象数目大为减少，而且，当各点的电位已知后，任意两点的电压都是可以算出。 R1 +Us a R1 R2 a Uo Us b R2 b (a) R1 a +Us1 R2R1 R2 R3 R +Us2 R3 a -Us3 UoUs1 Us2 Us3 b R b (b)图2-11 电子电路的习惯画法根据上述情况，并考虑到电子电路中一般都把电源、信号输入和信号输出的公共端接在一起作为参考点，因此，电子电路有一种习惯画法，即：电源不再用电源符号表示，而改为标出其电位的极性及数值。图2-11列举两个例子，把一般电路的画法和电子电路中的习惯画法并列，以资比较和熟悉。例2-4 求图2-12电路中，当K闭合时，Ua、Ub各为多少？开关两端的电压、电阻两端的电压各为多少？K打开时，上列各项又为多少？解：K闭合时，电路内由a向b有电流流过，其值为 12V 2k Kb a图2-12 例2-4电路图 a点经闭合的开关K接地，故 Ua=0 或经电源路径计算，得 Ub=-12V开关两端电压为零。电阻两端电压则为 或 Uab=Ua-Ub=0-(-12)=12V当开关打开时，电路内没有电流，电阻上没有压降，在计算Ua时，只能经由2k及12V电压源路径计算，得 同样得 Ub=-12V开关两端电压，即a点与参考点之间的电压，亦即a点的电位，由于电阻中无电流流过，因此，电阻两端的压降为零，故a点的电位与b点电位相同均为-12V。2.4 应用基尔霍夫定律计算线性网络对于电阻电路的分析问题，运用基尔霍夫定律和欧姆定律总能得到解决，下面用一个具体的例子来说明这一点。电路图如图2-13所示，已知各电压源电压及电阻，求各支路电流。设各支路的电流的参考方向如图2-13所示，先运用KCL，可以得到如下四个方程（电流流入节点为负，流出节点为正），即节点a -I1-I2+I5=0 (2-19a)节点b I1-I3-I4=0 (2-19b)节点c I2+I3-I6=0 (2-19c)节点d I4-I5+I6=0 (2-19d） I1 R1 a R2 I2 + I5 +Us1 Us2 - R5 - Us4 - + R4 d R6 b c I4 I6 R3 I3 + Us3 - 图2-13 用基尔霍夫定律分析电路例子这四个方程中只有三个独立方程，因为其中任何一个方程总可以由其它三个方程相加得出。仔细观察可以发现，在四个方程中每个支路电流都出现两次，一次为正值，一次为负值。按基尔霍夫电流定律列出独立方程的节点，称为独立节点。由以上分析可知，在n个节点中，任意的(n-1)个节点是独立的，余下一个节点是非独立的。以上六个电流变量，但是只有三个独立的方程，所以还需提供另外三个方程。如何得到其余的三个方程呢？根据KVL可以得到如下三个方程：R1I1+R5I5+R4I4+Us4-Us1=0 (2-20a)R2I2+R5I5+R6I6-Us2=0 (2-20b)R3I3-R4I4+R6I6-Us3-Us4=0 (2-20c)这三个方程中哪一个也不能从另两个相加减而得出，因而它们是独立的。若另取一个回路，譬如回路badcb，则可以得出如下方程R1I1+R5I5+R6I6+R3I3-Us3-Us1=0而该式可以由（2-20a）和（2-20c）相加得到。如果再取别的回路，所得的方程也不是独立的。为什么（2-20a）、（2-20b）和（2-20c）恰好是独立的呢？仔细观察可以发现，这三个方程中依次都至少有一项为以前方程中所没有的。所以要使方程独立，在选取回路时，每次所取回路至少含有一条为其他回路所没有包含的支路即可。由KCL和KVL得到六个独立的方程就可以求出支路电流I1、I2、I3、I4、I5、I6。在一般情况下，KVL能够提供的独立方程个数总能等于支路数b与独立的节点数(n-1)的差值。按KVL能列出的独立方程的那些回路称为独立回路，以l表示其数目，则 l=b-(n-1) (2-21)因此，在分析电阻电路时，以支路电路为求解对象，运用基尔霍夫两个定律总能列出足够的独立方程。解方程组就可以得到各支路电流。2.5 网孔分析法用基尔霍夫定律分析电路时，在支路较多情况下，联立方程中的方程个数就较多（它是以支路电流为求解量），求解很麻烦，如何能减少联立方程中方程的数目呢？在图2-13中总共有六个支路，因此需要六个独立的方程来求解。如果设想在电路的每个网孔里，有一个假想的网孔电流沿着网孔的边界流动，如图2-14(a)中的虚线所示，并以网孔电流作为求解对象，则方程组的数目就会大大减少，而且支路电流也可以通过网孔电流求得。首先参看图2-14(b)可知，电路中各支路的电流都可以用网孔电流来表示，所以一旦求出网孔电流，所有支路的电流随之而定，由此可知，作为求解量的网孔电流是完备的（complete）。所谓“完备”就是指可以利用网孔电流求出电路中的所有的电流和电压。 I1 R1 a R2 I2+ I1+I2 +Us1 Us2 - R5 - Us4 R4 R6 b - + d c I1-I3 I2+I4 R3 I3 Us3 + - (b) 由网孔电流确定各支路电流 R1 a R2 + +Us1 I1 I2 Us2 - R5 - Us4 R4 R6 - + d b c I3 R3 Us3 + - (a) 网孔电流图2-14 网孔分析法图另外，还可以看到，各网孔电流不能运用基尔霍夫电流定律。因为每一个网孔电流沿着闭合的网孔流动，当它流经某一节点时，从该节点流入，必又从该节点流出。也就是说，就电流定律而言，各网孔电流是相互独立无关的。网孔电流可以作为网络的一组独立电流变量，它们的数目等于网络的网孔数，也即独立的回路数。为了求解网孔电流，可以为每个网孔列出以网孔电流为求解量的基尔霍夫电压定律方程组。这些方程必然是够数的和独立的，能够唯一地求出解答。由图2-14(a)，根据KVL可得如下方程 R1I1+R5I1+R5I2+R4I1-R4I3-Us1+Us4=0 (2-22a) R2I2+R5I2+R5I1+R6I2+R6I3-Us2=0 (2-22b)R3I3+R4I3-R4I1+R6I3+R6I2-Us4-Us3=0 (2-22c)经过整理可得(R1+R4+R5)I1+R5I2-R4I3=Us1-Us4 (2-23a)R5I1+(R2+R5+R6)I2+R5I3=Us2 (2-23b)-R4I1+R6I2+(R3+R4+R6)I3=Us3+Us4 (2-23c)研究(2-23)各式，从中可以发现一些规律性的东西。下面以第一个网孔的方程式(2-23a)为对象进行研究。（R1+R4+R5）I1是网孔电流I1流经网孔中的各电阻R1、R4、R5时所引起的电压降。R1、R4与R5的总和就是第一个网孔内所有电阻的总和，可以用符号R11这个符号来概括，并称R11为第一网孔的自电阻(self resistance)。这样，方程式的第一项可写为R11I1。由于绕行方向与网孔电流方向一致，因此，电压降R11I1的方向总是与绕行方向一致。亦即：沿绕行方向电压降R11I1总是正值。R5是第一网孔和第二网孔的公共电阻，I2流过R5产生的电压降R5I2，R5是第一网孔和第二网孔的公共电阻，用符号R12来表示，并称R12为第一、第二网孔的互电阻(mutual resistance)。方程式的第二项就可以写为R12I2。由于电流I2与网孔电流I1方向相同，因此，R12I2为正值，习惯上称R12是正的。同理，R4在第一网孔中引起的电压降用R13I3来表示，由于网孔电流I1与电流I3方向相反，但习惯上仍将R13I3前冠以正号，而认为互电阻R13= -R4，也即互电阻为负的。因此，自电阻总是正的，而互电阻既可为正也可为负，这取决于流过互电阻的两个网孔电流是否一致。经过如此概括以后，(2-23a)式的左端就可以改写为：R11I1+R12I2+R13I3，这是第一网孔的全部电阻压降，该式的右端则为该网孔中全部的电压源所引起的电压升。顺着绕行方向，Us1是电压升、Us4是电压降，故全部的电压源的电压升为Us1-Us4，用Us11这个符号来概括，因此，式(2-23a)就可以概括为普遍的形式： R11I1+R12I2+R13I3=Us11 （2-24a）同理可将（2-23b）和（2-23c）式概括为 R21I1+R22I2+R23I3=Us22 （2-24b） R31I1+R32I2+R33I3=Us33 （2-24c）式(2-24)是以网孔电流为求解量、根据电压定律列出的方程组普遍形式。这种形式的方程可以推广到多个网孔的场合。例如，在电路有四个网孔时，方程组的普遍形式为： (2-25)例2-5 电桥电路如图2-15(a)所示。已知Us=12V、Rs=1、R1=4、R2=2、R3=3、R4=5及RM=2，试求流过RM的电流I。R2 R1 Us I1 I2 Rs R3 R4 I3 RM I (b) R2 R1 I2Us I RM I1Rs I3 R3 R4 (a)图2-15 例2-5电路解：本题只求一条支路内的电流，如在原电路图2-15(a)中，为每一网孔设一网孔电流，则I=I3-I2。这就是说，列出网孔方程后，应解出I3及I2，才能算出I。如果将原电路改画为2-15(b)，并没有改变电路的连接方式，但是，在这个电路图中，若为每一网孔设一网孔电流，则所求的支路电流I恰好就是网孔电流I3。这样，列出网孔方程后，只要解出I3这个网孔电流就行了。根据图2-15(b)可得方程把数据代入，得解得I3 25 99,000I1 100k - +U I1 I2 10k- 100 (b) IC=0.99I1 I1 25 100K 100 10K Ri (a)图2-16 例2-6电路 所以 I=I3=75mA例2-6 具有受控电流源的电路如图2-16(a)所示，试求输入电阻Ri。解：所谓输入电阻(input resistance)就是从电路的某两端看进去的电阻，又叫做该两端的输入电阻。把受控电流源变换为等效受控电压源如图2-16(b)所示。设在其输入端接入电压源U，求出输入端的电流I1，则求出I1可用网孔分析法。设网孔电流如图2-16(b)所示，并把受控源暂看作独立是独立电源，得 125I1-100I2=U -100I1+110,100I2=99,000I1受控源的电压与I1有关，故可与方程式左端的I1项合并。得125I1-100I2=U -99,100I1+110,100I2=0解I1，得 故得 2.6 节点分析法I5 G5 I1 G1 2 G3 I31 3 I2 I4 + +Is U2 G2 G4 U3- -4图2-17 节点分析法用图若求解支路电压，那么对于一个具有b个支路的网络而言，就需要b个方程。现在要做的是如何减少联立方程中方程的数目。引入“节点电位”的概念可以达到这一目的。什么是“节点电位”呢？在一个电路中任选一个节点作为参考节点，其余的每个节点与参考节点之间的电压就叫做该节点的节点电位。显然一个具有n个节点的电路就有(n-1)个节点电位。对于图2-17所示的电路来说，共有4个节点，若选节点4作为参考节点，其余三个节点分别对参考节点的电位是U1、U2及U3，即为节点电位。在求解电路时，以节点电位为求解量，则联立方程中方程的数目可以减少，而各支路的电压仍能求得。其原因是：电路中所有的支路电压都可以用节点电位来表示。这是因为电路中的支路或是接在节点与参考节点之间，或是接在节点之间。对前一种情况而言，其支路电压值即为节点电位值；对后一种情况而言，其支路电压必然会和两个有关的节点电位构成一个闭合回路，而这一支路电压可以根据基尔霍夫电压定律表示为这两个节点电位的代数和。如图2-17电路中，前一种支路电压可写为：U14=U1；U24=U2；U34=U3。后一种支路电压可写为U12=U1-U2；U23=U2-U3；U13=U1-U3。所以一旦求出节点电位，所有支路的支路电压就随之而定。由于节点电位彼此独立无关，因此，节点电位可以作为一组独立电压变量，它们的数目等于网络的独立节点数。为了求解节点电位，可以为每个独立节点列出以节点电位为求解量的基尔霍夫电流定律方程组。方程组中的各方程式的数目是足够且是独立的，能够唯一地求出解答。如何列出以节点电位为求解量的方程组呢？在线性电路的条件下，各支路电流可以通过欧姆定律和支路电压相联系的，而支路电压又总可以用节点电位来表示。因此，把电流定律和欧姆定律相结合就可以得到用节点电位来表示的电流定律方程节点方程。以下列出图2-17所示电路以节点电位为求解量的方程组，即节点方程。各节点的电位U1、U2、U3通常都假定比参考节点电位为高，各支路电流的参考方向假定如图所示。在节点1、2、3可运用电流定律 (2-26)为了使方程中包含求解量U1、U2、U3，可运用欧姆定律找出各电导上电压与电流的关系，得 (2-27)将式（2-27）代入式（2-26）中整理后得(G1+G5)U1-G1U2-G5U3=Is （2-28a）-G1U1+(G1+G2+G3)U2-G3U3=0 (2-28b)-G5U1-G3U2+(G3+G4+G5)U3=0 (2-28c)这就是以三个节点电位为变量的三个方程。它们是来源于式(2-26)，由于式(2-26)是独立的，因此这三个方程也是独立的。解这三个方程就可以求出节点电位U1、U2、U3。从节点电位可以得出所有的支路电压。为了使今后在选定节点电位之后，能够直接列出(2-28)方程组，对式(2-28)进行分析，找出规律性的东西。现在重点分析式(2-28a)。该式第一项系数(G1+G5)是直接汇集于节点1的所有电导的总和，用G11来概括；第二项和第三项前的系数分别是节点1、2之间和节点1、3之间的电导，它们都是负值，分别用G12和G13来表示，即G12=-G1，G13=-G5。因此，该式的左端就可以写为G11U1+G12U2+G13U3，其中G11称为节点1的自电导，G12和G13则分别称为节点1、2间和节点1、3间的互电导。自电导总为正值，而互电导总为负值，这是由于节点电位一律假定为正的缘故。等式左端代表从节点1通过各电导流出的全部电流，其右端是电流源输送给该节点的全部电流，即流入节点的电流源为正，流出节点的电流源为负，可将Is用Is11来概括。因此，式(2-28a)可以概括成如下普遍形式 G11U1+G12U2+G13U3=Is11 （2-29a）同理可将(2-28b)和(2-28c)概括为如下形式 G21U1+G22U2+G23U3=Is22 （2-29b） G31U1+G32U2+G33U3=Is33 （2-29c）其中G22、G33分别为直接汇集于节点2、3所有电导的总和，称之为节点2、3的自电导。G21、 G23、 G31、 G32分别为其下标数字所示节点间所接电导的总和，称为互电导。Is22、Is33则分别为电流源送给节点2、3电流的代数和。(2-29)式是三个独立节点电路、以节点电位为求解量、电流定律方程组的普遍形式。它便于记忆，并且很容易推广到多个节点的场合，例如，对于有四个独立节点的电路，有 (2-30)一般来说，如果网络的独立节点数少于网孔数，本法和网孔法相比，方程数就少一些，较易求解。但也应考虑到其它一些因素，譬如网络中的电源种类。如果已知的电源是电流源，则节点分析法较方便，方程可直接由观察直接写出。如果电源为电压源，则网孔分析法较为方便。此外还应注意，网孔分析法只适合平面网络，而节点分析法无此限制。0.1S 1 1S 2 0.5S 3 0.25S 4 + + + +1A 0.1S U1 1S U2 0.5A U3 0.25S U4 0.5S - - - - 图2-18 例2-7电路图例2-7 列出图2-18电路的节点方程式。解：该电路共有5个节点，选其中的一个作为参考节点，标以接地的符号。设其余四个节点的电位分别为U1、U2、U3、U4，极性如图所示。直接汇集于节点1的电导总和为G11=0.1+1+0.1=1.2S；G12=-1S；G13=0；G14=-0.1S。注意，因为节点1、3间无直接的公有电导，故G13=0。又电流源电流是流入节点1的，故Is11=1A。对节点1可得 1.2U1-U2-0.1U1=1同理，对节点2、3、4可得 -U1+2.5U2-0.5U3=-0.5 -0.5U2+1.25U3-0.25U4=0.5 -0.1U1-0.25U3+0.6U4=014A 5 20 10 1A (b)I1 1 I2 5 I3 10 + +20V 20 10V - - (a)图2-19 例2-8电路例2-8 试用节点分析法求图2-19(a)电路的各支路电流。本例说明：（1）有电压源时如何运用节点分析法；（2）用节点分析法求解支路电流的整个步骤。如果电压源有电阻串联，如本题电路所示，则可