2012年高考数学二轮精品复习资料专题08解析几何(教师版).doc

2012届高考数学二轮复习资料专题八 解析几何（教师版）【考纲解读】1.掌握直线斜率与倾斜角、直线方程、两条直线平行垂直、距离等.2.掌握确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系;初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用.4.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.5. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.6.了解圆锥曲线的简单应用，理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系.【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.直线与圆是历年高考的重点考查内容，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查求圆的方程以及直线与圆的位置关系，难度较低；在解答题中出现，经常与圆锥曲线相结合。 2.圆锥曲线是高考的一个热点内容，多数考查圆锥曲线的定义、方程和性质。在客观题中主要考查离心率、渐近线、定义和方程等，所以要熟练它们基本量之间的关系，掌握它们之间转化的技巧与方法。解答题多对圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系（包括弦长、中点弦、曲线方程求法等）综合考查，多在与其它知识的交汇点处（如平面向量等）命题，组成探索性及综合性大题，考查学生分析问题、解决问题的能力，难度较大。【要点梳理】1.直线的倾斜角与斜率：， .2.直线方程的几种形式:经常用的有点斜式、斜截式、一般式、截距式，注意其各自的适应条件.3.平行与垂直:掌握两直线平行与垂直的条件,同时要注意其各自的适应范围.4.距离: 熟练点到直线的距离与两条件平行直线的距离公式.5.熟记圆的标准方程与一般方程.6.位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系.7.熟记椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质.8.熟练弦长公式、中点弦的求法(联立方程组与点差法).【考点在线】考点一 两条直线的位置关系(平行与垂直)例1.(2010年高考安徽卷文科4)过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0【答案】.A【解析】设直线方程为，又经过，故，所求方程为.【名师点睛】本小题考查两直线平行关系及直线方程的求解.因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.【备考提示】：两条直线的位置关系是高考考查的重点之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.练习1: （2011年高考浙江卷文科12)若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_ 【答案】【解析】，即.考点二 圆的方程例2.（2010年高考山东卷文科16） 已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .【答案】【解析】由题意，设圆心坐标为，则由直线l：被该圆所截得的弦长为得，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），又已知圆C过点（1,0），所以所求圆的半径为2，故圆C的标准方程为。 A B w C D【答案】D【解析】由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C在，故，选D.考点三 圆锥曲线的定义、方程、几何性质例3. （2011年高考福建卷文科11)设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足：= 4:3:2，则曲线I的离心率等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】由：= 4:3:2，可设,若圆锥曲线为椭圆,则,;若圆锥曲线为双曲线,则,故选A.【名师点睛】本题考查了圆锥曲线的定义、几何性质。【备考提示】：圆锥曲线的定义、方程、几何性质是圆锥曲线的主要内容，是高考的热点，必须熟练掌握.练习3: （2011年高考海南卷文科4)椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,所以离心率为,选D.考点四 直线与圆锥曲线的综合应用例4. (2011年高考山东卷理科22)已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且OPQ的面积=,其中O为坐标原点.（）证明和均为定值;又因为所以由、得此时 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，其中即（*）又所以因为点O到直线的距离为所以又整理得且符合（*）式，此时综上所述，结论成立。 （II）解法一： （1）当直线的斜率存在时，由（I）知因此 （2）当直线的斜率存在时，由（I）知所以即当且仅当时等号成立。因此 |OM|PQ|的最大值为 （III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得证明：假设存在，由（I）得因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.【名师点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,考查学生分类讨论等数学思想,考查学生分析问题、解决问题的能力。【备考提示】：这类综合性问题，是高考中区分度比较大的题目，所以我们在二轮复习中，在务实基础知识的基础上，掌握弦长、中点弦等类型题的解法，适当做些题目以提高运算能力、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力是根本所在。练习3：（2010年高考天津卷文科21）已知椭圆（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（）求椭圆的方程；（）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若，求直线l的倾斜角； （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.【解析】（）解：由e=，得.再由，解得a=2b.由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1，所以椭圆的方程为.()(i)解：由（）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得.由，得.从而.所以.（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。令，解得。由，整理得。故。所以。综上，或。【易错专区】问题：圆锥曲线的性质例. （2010年高考福建卷文科11）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8【答案】C【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。【名师点睛】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力，本题容易忽视椭圆的范围而错选。【备考提示】：要在高考中立于不败之地，必须熟练掌握圆锥曲线的基础知识。【考题回放】1. (2011年高考安徽卷文科4)若直线过圆的圆心,则a的值为（ ）（A）1 (B) 1 (C) 3 (D) 3【答案】B【解析】圆的方程可变形为，所以圆心为（1,2），代入直线得.2(2011年高考广东卷文科8)设圆C与圆 x2+(y-3)2=1 外切，与直线相切则C的圆心轨迹为（ ）A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆【答案】A【解析】设圆C圆心C，半径为R,A(0,3),点C到直线y=0的距离为|CB|，由题得,所以圆C的圆心C轨迹是抛物线，所以选A.【解析】设和两坐标轴相切圆的方程为：，将带入方程整理得：，5(2011年高考江西卷理科9)若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ） A(，) B(，0)(0，) c， D(，)(，+)【答案】B【解析】因为直线y=0与曲线有两个不同的交点,要使曲线和曲线有四个不同的交点,只须直线与曲线：有两个不同的交点即可,而曲线是一个圆,所以圆心(1,0)到直线的距离为,解得且,故选B.6.(2011年高考重庆卷理科8)在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由题意，AC为直径，设圆心为F，则,圆的标准方程为，故，由此，易得：，又，所以直线BD的方程为，F到BD的距离为，由此得，所以四边形ABCD的面积为。7. （2011年高考海南卷文科9)已知直线过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则的面积为( )A.18 B.24 C.36 D.48【答案】C【解析】因为AB过抛物线的焦点且与对称轴垂直,所以线段AB是抛物线的通径,长为,所以,又点P到AB的距离为焦参数,所以的面积为,故选C.8. （2011年高考山东卷文科9)设M(，)为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是( ) (A)(0，2) (B)0，2 (C)(2，+) (D)2，+)【答案】C【解析】设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心, 抛物线C的准线方程为,由圆与准线相切知40,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,且，所以,又由（）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.16.(2011年高考辽宁卷理科20)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由【解析】（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设.设直线分别和C1，C2联立，求得.当时，分别用yA，yB表示A、B的纵坐标，可知|BC|:AD|= （II）t=0时的l不符合题意，t0时，BO/AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即，解得.因为，又，所以，解得.所以当时，不存在直线l，使得BO/AN；当时，存在直线l使得BO/AN.【高考冲策演练】一、选择题：1. (2011年高考安徽卷文科3) 双曲线的实轴长是（ ）（A）2 (B) (C) 4 (D) 4【答案】C【解析】可变形为，则，.故选C.2. （2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（ ） （A） （B） (C) (D) 【答案】C【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是故选C3（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）A4 B3 C2 D1【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。4（2010年高考山东卷文科9）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）（A） (B) (C) (D)【答案】B【解析】设、则有，两式相减得：，又因为直线的斜率为1，所以，所以有，又线段的中点的纵坐标为2，即，所以，所以抛物线两个不同的公共点，则实数的取值范围为（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】D【解析】化为普通方程，表示圆，因为直线与圆有两个不同的交点，所以解得法2：利用数形结合进行分析得同理分析，可知7（2010年高考陕西卷文科9）已知抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216相切，则p的值为（ ）（A）（B）1（C）2（D）4【答案】C【解析】由题设知，直线与圆相切，从而.故选.8（2010年高考湖北卷文科9）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）A.,B.,3C.-1,D.,3【答案】D【解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2， 3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得，因为是下半圆故可得（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故所以C正确.9（2010年高考辽宁卷文科7）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，为垂足，如果直线斜率为，那么（ ）（A） （B） 8 （C） （D） 16【答案】B【解析】利用抛物线定义，易证为正三角形，则10（2010年高考辽宁卷文科9）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为，一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，解得.11. (2010年高考宁夏卷文科5)中心在远点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D 【解析】易知一条渐近线的斜率为，故12（2010年高考广东卷文科7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 二填空题：13（2011年高考重庆卷文科13)过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 【答案】14.(2011年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为 【答案】【解析】为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：15. （2011年高考山东卷文科15)已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .【答案】【解析】由题意知双曲线的焦点为(-,0)、(,0),即c=,又因为双曲线的离心率为,所以,故,双曲线的方程为. 16. （2011年高考江西卷文科12)若双曲线的离心率e=2，则m=_.【答案】48 【解析】根据双曲线方程：知，并在双曲线中有：，离心率e=2=m=48.三解答题：17(2011年高考安徽卷文科17)设直线（I）证明与相交；（II）证明与的交点在椭圆上.【解析】（1）（反证法）假设与不相交，则与必平行， 代入得，与是实数相矛盾。从而，即与相交。（2）（方法一）由得交点p的坐标（x,y）为,而所以与的交点p的（x,y）在椭圆上。18. （2011年高考福建卷文科18)如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。（1） 求实数b的值；（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解析】（I）由得 ()因为直线与抛物线C相切,所以,解得.（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为.19. （2011年高考全国新课标卷文科20)在平面直角坐标系中，曲线坐标轴的交点都在圆C上，（1）求圆C