眼科病床的合理安排.doc

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： B甲0712 所属学校（请填写完整的全名）： 青岛科技大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张 宁 2. 韩玉群 3. 马 青 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 朱善良 日期： 2009 年 9 月14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：眼科病床的合理安排摘要本文主要探讨医院眼科病床的合理安排问题。在对病人信息进行统计分析的基础上，从病人与医院两方面考虑确定合理的评价指标体系，利用排队论、随机模拟、搜索算法、状态转移等方法对各种情形进行评价、预测和优化。对于问题一，首先从病人角度出发，分析出队列长度与病人等待时间的评价指标；其次从医院角度出发，确定出病床使用率评价指标；综合考虑这三种指标对医院病床体系的影响程度，建立基于这三个指标的综合评价指标体系。利用所建的综合评价指标体系评价医院眼科门诊现行的病床安排即策略模型合理性欠佳，有待改进。对于问题二，通过对数据的统计分析，得出病人输入基本符合分布，术后服务时间基本为近似正态的一般分布，将病人按疾病类型不同分为五类，并分别求出每种类型的输入流分布和术后服务时间等。考虑到外伤病人对床位要求的特殊性，因此为其预留出固定床位；而对于其他四类疾病，建立基于优先级的排队模型，利用状态转移与搜索算法对问题进行求解，然后得到第天应该安排那些病人入住（部分结果详见表4）。同时为评价模型的优劣，对所建模型计算机模拟，得到新的病床安排计划，并与问题一作对比，得出基于优先级的排队模型优于策略模型。对于问题三，首先建立病人以分布输入的随机模型，利用随机数得到各天各类病人的输入人数。再利用问题二中的基于优先级的排队模型确定出病人大致入住的时间区间，并模拟出一周内的各类病人的大致时间区间（详见表2）。对于问题四，由于周六、周日不安排手术仅影响模型求解中搜索算法的搜索范围，因此只需在沿用问题二中模型的同时对搜索算法进行约束，重新对问题二求解。考虑到白内障（双眼）病人手术历时三日（一日准备），因此，白内障手术可能的时间安排有：周一与周三、周二与周四、周三与周五。通过计算机随机模拟得到这三种可能的病床安排模型，利用综合评价指标体系对这三种方案进行评价得到最优的结果为周二与周四安排白内障手术。对于问题五，首先对各类病人的病床安排确定排队模型，分别得到其平均逗留时间，然后综合考虑所有病人，建立病人逗留时间最短的最优化模型，从而确定出病床分配比例的大致方案。最后，对本文建立的模型与求解算法的不足给出了优化，并给医院合理安排病床提出了建议。关键词 优先级 排队模型 状态转移 搜索算法 随机模拟一、问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，病人到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入院时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二、问题分析2.1问题背景的分析 医院是一个复杂的系统，病人从挂号、就诊、划价、取药等每一个服务机构，当某项服务机构的现有需求超过提供该服务的现有能力时，排队现象就会发生，由于病人到达的时间和诊治病人所需要的时间的随机性，可共性小，而且病人来源数量在理论上是无限的，但是医院的资源却是有限的，所以排队现象几乎是不可避免的，当医院的病床不足时，常出现病人排队等待时间太长，病人满意度下降，医务工作人员过于忙乱，容易出现差错甚至引起医疗纠纷，对病人与社会带来不良的影响，因此，结合医院对病人的服务数据，进行相关的定量分析，进而提高医院的实力，完善设施和配置，有效地缩短平均诊疗时间以及等待时间，及时为病人排忧解难，找出医院与病人之间的平衡点，既减少病人排队等待时间，又不会造成医院资源的浪费，从而获得最大的社会效益和经营效益，成为现代医院管理者必须面对的重要课题。2.2 对问题一的分析应该从病人与医院两方面去确立评价指标体系。对于病人来说，主要考虑病人的满意度，病人到医院就诊，当然希望排在他前面的病人队伍人数越少越好，等待时间越短越好，同时还有一些其他因素，本文只对这两种情况进行研究，确定队列长度、病人等待时间两个因素作为衡量病人满意度的评价指标；对于医院来说，评价其运作效率的因素很多，但就本问题而言，病床使用率是评价医院病床安排的重要内容，因此，将病床使用率作为评价医院运作效率的指标。结合病人与医院两方面，建立了包含队列长度、病人等待时间、病床使用率三个指标的评价体系。然后，利用建立的评价体系，对医院现行病床安排制度进行了评价。2.3 对问题二的分析首先根据疾病的种类将病人分为五类：白内障（单）、白内障（双）、视网膜疾病、青光眼、外伤。由于外伤需要及时治疗的特点，首先从医院所有的床位中预留一部分专门用于外伤病人,考虑到外伤的特殊性及其病床安排的稳定性，只需要着重研究其余的四类病人：根据病人人数、住院时间等确定了优先级，而且认为每一个床位是一个独立的服务器，所以病床安排问题就转化为基于优先级的串联排队服务问题；同时还应注意白内障（双）病人的特殊性，此类病人需要进行两次手术而且要求第一次手术在周一而第二次手术在周三，所以为了增加病床的使用率并减少病人的住院费用，此类病人的最佳入院时间应为周六前后。总之，为符合医院对白内障手术的时间限制，白内障（双眼）病人的最佳入院时间为周六；为准备于一日之后接受手术，白内障（单眼）病人的最佳入院时间为周六、周一；而对于视网膜疾病病人与青光眼病人，手术不会受到时间的限制，则不需要考虑此方面因素。综合以上方面建立具有优先权的排队数学模型。医院现有的病床安排系统使用的是，而不去考虑病人的优先权，从而造成等待住院的病人队列越来越长，为此，本文在建立模型时考虑病人的优先级因素，引进了影响比与住院有效率来衡量病人的优先权，不仅提高的病床利用的合理性，还改善了医院对患者的服务效率。最后利用问题一建立的评价指标体系对建立的模型进行评价，与医院现行的安排方案比较，得出本文建立的模型更合理。2.4 对问题三的分析 通过对数据的处理与分析，问题二中建立的数学模型能够根据患者的门诊时间预测出患者大致入住时间区间，此时只需要在问题二的基础上加入当某位患者就诊时医院已入住及等待入住病人的情况，就可以利用模型预测出患者大致的入住时间区间。本文将问题具体化，对该医院不完整的患者信息进行了实际的预测，得一周内入院患者的大致入住时间区间。2.5 对问题四的分析 由于住院部周六、周日不安排手术，所以病人在选择入住医院时会考虑尽量避免周六或周日前1、2天住院，否则可能会增加病人的等待时间，降低其满意度，例如某病人本应周六进行手术，但由于周六不能手术而只能继续等待，因此，需要对问题二模型的求解算法进行加以限制，以确保即使周六、周日不能进行手术也能尽量使病人满意。 现在医院的手术时间安排主要考虑白内障手术一般安排在周一或周三，同时视网膜疾病与青光眼手术一般不安排在周一、周三。为找出合理的安排策略，本文利用问题一确定的评价体系，对可能出现的手术时间安排情况进行了评价，分析是否应调整手术安排时间以及调整方法。2.6 对问题五的分析由于外伤病人的特殊性，所以仍需单独对外伤病人进行考虑，必须首先为外伤病人预留出固定的床位，再把剩余的床位分给其余四类病人，并分析得出各类病人与其分到的床位数构成的一个顾客源无限、队长不受限制的多服务台模型。根据模型，可以算出依赖于床位数的病人的逗留时间。分别计算四类病人的平均逗留时间，对于外伤病人，由于床位固定，所以其平均逗留时间是固定的。根据医院病人信息确定各类病人的比例，结合两者建立以病人的平均逗留时间最小为目标函数的优化模型。三、模型假设与约定（1）假设每天到医院就诊病人人数稳定，即整个医院排队系统处于稳定状态。（2）假设所有病人每天的住院费相同。（3）假设病人在接受完治疗之后就立刻出院，不会继续再在医院逗留。（4）假设病人愿意在医院一直等待，不会因为等待时间过长而转到别家医院就诊。（5）所有病人到达是随机的，且是相互独立的。（6）病床不会因外界因素造成缺失，即病床数固定。（7）除外伤之外的眼科疾病不考虑急症。（8）病人会严格按照医院的安排进行看病，不受其他外因影响。（9）假设该医院为国家三级医院（即根据卫生部的规定床位使用率上限为）。四、符号说明及名词解释符号说明：病人的响应比第病人的时间平均病人数表示病床使用率病人平均等待时间病人的平均到达率名词解释： 病人的响应比：病人在入院前应经等待的时间与所需住院时间之比。即： 响应比 =（已等待时间）/（所需住院时间） 模型：顾客输入为分布，服务时间为负指数分布，有个并联服务站的派对服务系统。五、模型建立与求解5.0 模型准备5.0.1排队系统简介排队论是研究系统由于随机因素的干扰而出现的排队（或拥塞）现象的一系列综合理论，人们在日常生活中会经常遇到各式各样的排队问题。排队除了有形的队列外，还可以是无形的队列，排队的可以是人也可以是物。一般情况，将要求得到服务的对象统称为顾客，将服务的提供者统称为服务机构。本文研究的是眼科病床的安排问题，由于患者到医院就医具有随机性，并且医院的床位有限，因此患者等待就诊情况普遍。患者排队服务系统包含以下四个方面内容：服务规则队列规则到达服务系统离去眼病病人排队机构服务机构（图一）排队系统模拟图1、输入指顾客进入服务系统的过程。本文指患者到医院接受门诊治疗，从患者到达门诊开始，就标志着进入了排队服务系统。由于患者之间的相互独立性，系统的输入具有随机性。2、输出指患顾客从得到服务到离开服务机构的过程。本文指患者得到治疗、住院之后离开医院。3、排队服务规则有损失制与等待制两种形式。损失制是指顾客到达时，如所有的服务设施均被占用，则顾客会自动离开；等待制是指顾客到达时若所有的设施均被占用，就留下来等待服务，直道服务结束之后才离开。本文假设排除了损失制的情况，只考虑等待制。此时的特点是患者治疗的时间是相互独立的。4、服务机构包含服务设施的个数、排列及服务方式三方面内容。按照服务设施的个数，有一个或多个之分；按照排列方式，有多服务器串联与并联之分。而对于本文来说，服务设施主要包括手术医生、病床，而根据医院的实际情况，眼科手术条件比较充分，所以这里主要研究病床，此时的服务机构属于多个服务设施（病床）并联的情形。衡量一个排队系统工作状况的主要指标有： 顾客从进入服务系统到接收服务后离去的平均逗留时间（或者顾客的平均排队等待时间）。这是顾客最为关心的，每一个顾客都希望这段时间越短越好。 服务机构的工作强度。指服务机构累计的工作时间占全部时间的比例，这是衡量服务机构的资源利用效率的指标。 系统中平均顾客数（）或者平均队长（），这不仅是顾客和服务机构都关心的指标，还决定了排队服务系统所需空间大小，在系统设计中占重要地位。排队系统的主要特征指标有：队长、顾客逗留时间、顾客在系统中的等待时间等。5.0.2数据的分析 (一)病人到达医院数据分析。病人的到达是一个随机的过程,具有以下2 个特点: 以天为单位,到达两个病人的时间间隔,可视作一个无后效性的过程,即在不相重叠的时间段内病人到达的数量相互独立。在任意时间段内到达1 个病人的概率与无关,即在任意时刻起的固定时间段内到达1 个病人的概率与时刻无关。以上特点正符合分布,为了证实病人的到达服从分布，本文对数据进行如下处理。 根据医院的实际情况，病人主要分为白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤四大类，由于白内障病人分为单眼病人与双眼病人，所以将白内障病人分为两种类型，根据附录给出的数据，将所有数据按照不同的类型分成五类。（详细见附录一），然后通过进行拟合，得到拟合图像（选取两个，其余见附录一）： 白内障（双眼） 外伤（图二）分布模拟图通过拟合结合图像，发现各类病人的输入近似的接近分布，从而证实病人输入符合分布。同时还可以得到分布的参数为：表1 五类病人到达率 类型参数白内障（单眼）白内障（双眼）视网膜疾病青光眼外伤1.99242.22462.94441.2131.204根据分布的可加性可推断所有病人的输入流也服从分布。(二)医院住院病人数量的分析根据医院给出的病人的数据信息，通过用分析与编程模拟发现医院住院病人的人数的变化趋势如图三所示：（图三） 住院人数随时间变化趋势同时还可以得到，住院人数符合期望为64、方差为4.9516的正态分布，从而可以确定病床开放的区间为。通过模拟图像，可以明确观察到医院的病床每天都有剩余，其中开始阶段与结束阶段因为数据的限制，住院人数较少，不能准确的说明问题，所以本文只考虑住院人数处于稳定阶段的情形（即图中两虚线之间）。根据数据，发现医院的住院人数最高达72人，此时，依然有7张病床没有利用，造成了医院卫生资源的浪费，为此，在评价指标体系中，应该考虑医院病床的利用率。(三)外伤病人特殊性的分析通过病人数据得到外伤病人的基本信息如图四：（图四） 外伤急诊人数变化趋势图 由于外伤属于急症，只要有空位就立刻安排入住，并且入住第二天之后立刻进行手术，所以外伤与其它几类疾病不同，需要单独考虑，预留出固定床位。由小概率理论可知，发生的事件不能被视为小概率事件，所以急诊床位数不得少于11个。均值：6.3443，方差：2.7862。5.1 评价指标体系的确立与应用5.1.1 评价指标的确立（一）从病人的角度出发评价病床安排的合理性，主要是在合理利用医院病床的情况下，能尽可能大的提高病人的满意度，为了方便衡量，本文将病人满意度转化为队列长度（含概率分布）、病人等待时间（等待时间的均值和方差）两个因素，建立指标体系。队列长度、病人等待时间两个性能指标通过排队论中的模型求解。为了简化表述，又不失一般性，本文仅对等待队列分为两端（）的情形进行讨论，用表示任意时刻队列中病人的个数为个的概率，表示当一个新的病人到医院就诊时，队列中有个病人的概率，则服务时间服从参数为的指数分布：且如果知道了，可以很容易的求得，本文利用排队模型的嵌入式马氏链求解，可以通过以下线性方程组得到：根据上述方法以及概率论的知识，可以确定出这两个评价指标的具体计算公式如下：病人队列长度的计算方法。用随机变量表示任意时刻医院病人的队列长度，用随机变量表示一位新的病人到医院进行门诊时队列长度，则其中，表示任意时刻队列中有个病人的概率，表示一个新病人到医院就诊时队列中有个病人的概率。显然，对于患者来说队列长度越小，患者需要等待住院的时间就越少，其满意度就会增加。因此，队长能够对医院床位安排进行评价。病人等待时间的计算方法。用随机变量表示病人在排队系统中的等待时间，则：其中，表示医院病人输入符合的指数。显然，对于患者来说等待时间越短越好，患者能够及时的住院并把自己的治好，此时患者对医院的满意度增加。相反，若等待时间很长，那么患者对医院的满意度就会降低。因此，等待时间能够对医院床位安排进行评价。 (二)站在医院的角度病床使用率是反映医院工作质量和管理效益的主要内容之一，病床的利用效率与医院业务收入有着非常直接的影响，作为专科医院，要想提高自己的社会竞争力，病床的合理利用显得尤为重要。为了能够合理科学的计算病床的，病床的使用率受到医院占用的总床位数、开放病床数、出院人数等因素。为此得到：其中，表示病床使用率。根据题目假设，此医院是一家三级医院，根据国家卫生部有关三级医院评审标准为床位使用率的上限为。因此，可以根据病床的使用率进行对病床安排进行评价。5.1.2 评价医院现行模型利用本文给出的评价指标体系，评价医院从200.7.13-2009.9.4的349位病人的数据，利用本文给出的评价指标体系，评价医院提供的病人的数据，结果如下：(1)队列长度（图五）的模拟图：（图五）等待队长演示图(2)病人等待时间（表2）表2 住院到手术等待人数变化表住院等待天数（天）住院到手术等待的人数（人）白内障白内障(双眼)青光眼视网膜疾病1231200222212363313101638488005615006080070800平均住院天数（天）2.333.602.412.38方差1.583.750.2420.235(3)稳定时病床使用效率（图六）（图六）病床使用率变化趋势指标的综合分析：(1)通过图五明显的可以发现，等待住院的病人的队列人数在稳定后一直高于医院现有的床位数，就是说明每一位新病人到来，都必须等待前面的队伍中所有人员住院之后才能住院，这样会使医院丧失很大一部分病人，同时，对于病人来说，这样会降低他们的满意度。(2)表2说明不同的病人需要等待的天数不同，特别是对于白内障(双眼)病人来说等待天数明显的比其他类型的病人多，白内障病人等待人数比其他病人多，而对于其他类型的病人，只需等待2-3天即可，而且白内障手术前病人在病床等待时间过长，这既占用了病床资源，又浪费病人的住院费，会造成病人的流失，减少医院的收入。同时白内障病人方差较大，偏差较大，不利于医院的统一管理。(3)根据假设，医院的病床最大使用率为93%，但是从图六可以看出，现在医院的病床使用率基本上80%左右，显然，造成了医院资源的严重浪费。 综合这三方面的指标，可以确定医院现在实行的病床安排方案有很大的缺陷，需要进行合理的重新安排。5.2病床模型的建立5.2.1模型的准备(一)首先把各种类型的疾病进行分类。因为外伤疾病属于急症，考虑到外伤的特殊性，医院需要单独为外伤病人预留出一部分床位，然后根据医院外伤病人的输入流，可以确定出大约需要预留的床位数。对于其他疾病病人，需要用一下方法确定。由于白内障病人分为单眼病人与双眼病人，且双眼病人需要分两天来完成手术，为此，本文将白内障病人分为两类，因此，除外伤之外，还有四种类型的病人。对于每一类病人，到医院门诊之后，会根据病人的疾病类型形成四个队列，然后，考虑病人的优先级与病人的影响比确定出谁先进行住院，同时要考虑到手术时间的问题，流程图如下：输出输入门诊白内障（单）白内障（双）视网膜疾病青光眼手术4手术2手术33出院排队服务流程图手术1住院1住院2住院3住院4（图七）当病人到医院门诊接受治疗，此时病人到达符合参数为的分布，然后根据病人所患疾病的不同，病人会自动形成队列等待住院，此时每种类型的病人输入是参数为的分布，然后经过优先级的排序后，确定出那些病人住院，另外的病人继续等待。当病人住进医院之后，又进入新一轮的排队，排队等待手术，由于各种病的手术准备时间的不同，这是进行手术的疾病的病人的到达率变为参数为的分布。在整个过程中，都会涉及到病人的优先级问题。(二)优先级的确定。为了能够在合理的安排病床的使用，本文建立基于优先级的串联排队服务模型。其大体思想如下：假定在病人排队服务系统中，将顾客可以划分为个等级，第一级享有最高的优先权，第级享有最低级别的优先权，对属于同一级别的优先权的顾客，仍按的原则。又假定这个系统中每一级别的顾客的输入都服从分布，用表示第级优先权顾客的平均到达率，对任何级别的顾客服务时间据均服从一般分布，且不管哪一级别的顾客，具有相同的服务率，用表示每个服务站对任何级别的顾客的平均服务时间。假定当一个具有高级别优先服务的顾客到来时，正在被服务的顾客是一个具有低级别优先权的顾客，则该顾客将中断服务，回到排队系统中等待重新得到服务。根据以上假设，对具有高级别的优先权的顾客来到服务系统时，当只有具有同样是最高级别的顾客挣得到服务事故需要等待外，其余情况下均可以立即得到服务。因此对具有同一级优先服务权的顾客在排队系统中得到服务的情况就如同没有其他级别的顾客时一样。因此首先考虑享有第一级优先权的顾客，顾客输入率为，然后在一并考虑享有第一、二级优先权的顾客，由于他们的服务不受其它级别优先权的顾客的影响，设以表示一、二两级综合在一起的每个顾客在系统中的平均停留时间，则有其中、分别表示享有第一级和第二级优先服务权的每个顾客在系统的平均逗留时间。根据负指数分布的性质（如果服务设施对顾客时间服从负指数分布，则不管对某一个顾客的服务已经进行了多久，剩下来的服务时间的概率分布仍然同原先的分布一样），对由于高一级别的顾客到达而中断服务，重新回到队伍中的低级别的顾客的服务时间的概率分布，不会因为已得到服务而发生改变，因此对只要将一、二两级顾客的输入率加在一起，可以得到：同理有所以依此类推可以得到： (三)病人优先级的确定。病人住院与优先级有关，影响优先级的因素主要有病人在就诊之后到住院之间的等待时间，病人入院到第一次手术之间的时间，病人的住院的总时间。为了综合考虑这几方面的因素，本文将其转化为响应比与住院有效率进行衡量。响应比为：住院有效率：由于响应比和住院有效率的数量级不同一，为建立优先级与这两者的关系，本文想将响应比与住院有效率归一化得到相对响应比和住院有效率，从而对它综合处理。本文认为相对响应比和相对住院有效率是同级关系，因此得到优先级为：5.2.2模型的建立根据以上分析，病人到达医院门诊服从分布，住院时间服从一般分布，因此病人到达与住院构成的具有优先权的排队模型，记为。模型用下列数学模型进行描述：其中，代表床位数,代表到达率,代表平均使用率, 代表平均等待时间, 代表平均队长,代表不需等待的概率。5.2.2模型的求解5.2.2.1 外伤病人单独处理计算给外伤病人预留床位数目。设需要给外伤病人留出床位数，根据医院给出的2008年7月13日2008年9月11日到医院进行门诊的病人患病类型，依据外伤病人平均到达率与需要住院的天数，根据小概率事件（概率小于）一般不会发生，确定出关于的置信区间，其中，从而根据得到的置信区间为(小于0的那一部分舍去)，从而得到需要为外伤病人预留床位数为11张。剩余的68张床位进入其他类型疾病的排队服务系统。5.2.2.2 对于模型的求解算法 本文对模型求解是一种搜索算法，是一种状态转移到另一种状态中搜索最优解的过程，因此本文设立以下算法： 算法条件：1、病人输入：首先病人经门诊进入病床服务系统，这时病人开始进入门诊等待时间，由门诊到住院的等待时间设为天。本文通过对所给输入人流的分析可得，五种疾病病人的输入流大致服从参数为，的分布。2、 接受住院：病人经过天等待，被医院接收成为住院病人，这时病人自动转为手术排队系统的等待者，这时病人需要住院等待手术的安排，由住院到手术的等待时间为天。这个等待时间越长，病人就需要支付额外的住院费，因此时间越短，模型越优良。同时，医院对不同的手术有不同的准备要求，因此本文引入等待时间的下限参数，用来限制（不同类型的病人下限不同）。3、 手术安排：病人再经过天等待开始手术，这时手术的服务时间是固定的为1天，同时由于手术的资源充足，因此，不存在多名病人同时手术的等待时间。但是，由于医院的某些规定，固定的手术必须在固定的时间上进行，因此，本文假设星期（）只能进行手术（），这时所患类病的病人在满足下限等待时间后可以立即进行手术。手术耗时1天，完毕后病人再次进入院院服务系统，本文从人性化角度出发，认为病人在手术过程中，自己的病床仍为利用状态，不会被他人占用。（对白内障病人（双眼）需要做两次手术，由于仅仅是服务时间由1天升为3天，并不改变模型的类型，因此本文对其不单独处理。）4、 术后服务系统：病人在手术完毕后，再次进入病床排队系统进行服务，本文用来表示手术完毕的住院服务时间。这时由于不再受其他客观因素的影响，服务时间应较为稳定，通过对所给数据和散点图的分析，对于不同类型的病人，其术后服务周期不同，但基本上服从正态分布，本文为简化模型计算，通过对数据的分析，发现服务周期的方差较小，可以利用定长服务系统来近似替代，因此本文固定了不同类别服务时间。5、病人输出：通过服务时间后，病人病情好转，可以出院，出院是不依赖于主观意志而转移，仅与最后一次手术时间和服务时间有关。 算法建立，第天病床安排步骤如下：步骤1：由于病人输入系统是服从分布的，因此本文通过随机函数模拟出病人每天的到达情况。步骤2：分析病人是否在门诊等待序列里，如果存在可以根据病人的门诊时间计算出病人的门诊等待时间，这时假设病人进入住院系统，从而等待手术到来。步骤3：判断病人是否是外伤，如果是，则安排病人在第二天进行手术；如果不是，则病人自动转入正常排队系统中。步骤4：假设病人已经等待了天，这时要判断出是星期几。如果是星期一，则判断病人的类型，如果是白内障病人，则判断是否大于，若是则对病人安排手术，这时病人的手术等待时间是，若不是不予安排手术；如果不是白内障病人，则不予安排手术。如果是星期三，则判断病人的类型，如果是白内障（双眼）病人，则判断是否大于，若是则对病人安排手术，这时病人的手术等待时间是，若不是不予安排手术；如果不是白内障（双眼）病人，则不予安排手术。如果不是星期一或者星期三，则判断病人的类型，如果不是白内障病人，则判断是否大于，若是则对病人安排手术，这时病人的手术等待时间是，若不是不予安排手术；如果是白内障病人，则不予安排手术。步骤5：假设病人经过天手术后，自动进入术后服务系统，这时判断病人的类型，根据不同类型的病人确立其术后定长服务。步骤6：根据求出的时间、和确立病人的影响比和住院有效率。步骤7：对下一个病人重复步骤2到步骤6，得到一系列影响比和住院效应率。步骤8：通过对影响比和住院效应率进行归一化得到新的一组相对影响比和相对住院效应率，本文认为这两种的重要程度是相同的，因此病人进入住院系统的优先度。步骤9：比较各个病人之间的优先比，确立首位被选中的病人，并输出该病人的序号、得病类型、门诊时间、住院时间、手术时间（包括可能的第二次手术时间）和出院时间，这时在原有的排队系统中剔除该病人。步骤10：根据当天的普通病床空闲数，重复步骤9，直到普通病床空闲数为0或者等待队列为空。简单流程图如下：周一否否否否否否周三周三否是是术后术后服务时间服务时间是是术后术后服务时间服务时间是是白内障病人(双单)障病人(双单)是是其它青光眼视网膜疾病病否是白内障病人 (双单)否第i+j天为周几是在原等待队列中剔除第i号病人是否优先度最高有空闲病床进入病床等待手术手术术后服务是外伤是否在等待队列第t天住院安排序号为i的病人确定门诊等待时间手术等待时间术后服务时间确 定 优 先 度 手术等待时间青光眼术后服务时间手术等待时间5.2.3模型的应用根据上述建立的模型，应用实现上述算法（详见附录2.1），选取2008.8.10-2008.8.13拟出院人数，根据模型确定出第二天应该如何安排病人的入院，如表3：表3 床位安排方案时间床位空闲数病人入院方案2008.8.10211、152008.8.11316、17、212008.8.121332008.8.13651、57、58、61、244、246同时对排队进入系统的2008-8-30到2008-9-11病人进行预测得到部分变化趋势为表2，其余请见附录三。表4 2008-8-30到2008-9-11病人变化预测值（部分）序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间1白内障（双眼）2008-8-302008-8-312008-9-82008-9-102008-9-132视网膜疾病2008-8-302008-8-312008-9-4/2008-9-143青光眼2008-8-302008-8-312008-9-4/2008-9-124视网膜疾病2008-8-302008-8-312008-9-4/2008-9-145视网膜疾病2008-8-302008-8-312008-9-4/2008-9-146白内障（双眼）2008-8-302008-8-312008-9-82008-9-102008-9-137白内障2008-8-312008-9-72008-9-10/2008-9-138青光眼2008-8-312008-9-12008-9-4/2008-9-129白内障（双眼）2008-8-312008-9-12008-9-82008-9-102008-9-135.2.4模型的评价利用本文给出的评价指标体系，评价医院从200.7.13-2009.9.4的349为病人的数据，利用本文给出的评价指标体系，评价医院提供的病人的数据，结果如下：(1)队列长度（图八）的模拟图：（图八）等待队长演示图(2)病人等待时间（表5）表5 住院到手术等待人数变化表住院等待天数（天）住院到手术等待的人数（人）白内障白内障(双眼)青光眼视网膜疾病12617002272912473111314214577155385116051570302平均住院天数（天）2.062.843.213.13方差3.393.403.393.40(3)稳定时病床使用效率（图九）（图九）病床使用率变化趋势指标的综合分析(1)通过图八明显的可以发现，等待住院的病人的队列人数在稳定后一直处于较低位置，就是说明每一位新病人到来，都能较快的进入住院系统中去，这样会使医院拥有较好的服务效率，同时，对于病人来说，这样会提高他们的满意度。(2)表5说明不同的病人需要等待的天数不同，较原来医院方案白内障(双眼)病人来说等待天数明显的比原先少了许多，白内障病人的等待天数也有下降，虽然其他病人的等待天数略有上升，但是是为白内障患者提供更多的床位导致的，只是一种合理的资源优化。同时白内障病人方差也有所下降，更利于医院的统一管理。(3)根据假设，医院的病床最大使用率为93%，但是从图九可以看出，现在医院的病床使用率基本上80%左右，显然，与原先的指标基本一致，对比较影响不大。 综合这三方面的指标，可以确定医院经改进后的模型更适合医院的病床安排，较模型为优。5.3 预测病人的入院时间5.3.1 问题分析为了能够较为准确的预测出病人的入院时间区间，本文根据小概率事件的不可发生性，多次利用随机数进行计算机模拟求解，已获得各种类型病人的住院时间区域。这时外伤作为一种急诊，其等待时间恒定为1天，所以在此问中不予考虑。5.3.2 模型建立由于该模型是基于问题二的基础上，对进入门诊人数按不同类型的分布进行随机模拟输入以确定进入排队系统的病人，因此，本文加入随机模拟，步骤如下：步骤一：根据四类病人的到达率确定出当天到达个病人的概率。步骤二：利用中的随机函数产生随机数，当且时，本文认为这时到达系统的病人数为，由此确立出一天中四类不同病人的到达率。步骤三：假设病人第天进入模型，那要对其前后各100天的病人输入流重复步骤一和步骤二，以确定病人输入数。步骤四：利用问题二的模型对201天的输入数进行求解，以确定病人的出院时间。步骤五：多次进行随机模拟，重复步骤一到步骤四,得到一系列出院时间，病人的出院区间应覆盖所求出的出院时间。（程序详见附录2.2）5.3.3 模型的应用由于同一天到达门诊的同一类病人优先级是相同的，所需的住院等待时间应是相同的，因此本文分析了作为代表性的一周内的入住时间区间分析，即2008.7.272008.8.2期间4类病人大致入院时间区间区间，如表6：表6 一周内4类病人大致入院时间区间区间时间2008-7-272008-7-282008-7-292008-7-302008-7-312008-8-12008-8-2白内障7-288-87-298-87-308-87-318-88-18-108-28-128-38-9白内障（双）7-288-107-298-107-308-107-318-108-18-128-38-127-288-10青光眼8-148-308-238-308-299-38-319-68-309-69-19-88-149-8视网膜疾病8-239-139-69-159-69-199-99-199-129-199-139-218-239-215.4 手术受限制模型5.4.1问题分析假设该住院部周六、周日不安排手术，那么主要会影响到病人的入院时间，此时，因为周六、周日不安排手术，那么从病人入院到病人接受手术的等待时间会受到影响，为了能够少的支付住院费用，病人一般不会选择在周四、周五入院医院，在这种情况下，重新考虑问题二，现在变化的只是搜索时的约束条件发生变化，受到周六、周日不进行手术的限制。5.4.2模型的建立 由于是在第二问的基础上，所以该问题的模型与第一问的模型相同，也是模型。模型用下列数学模型进行描述：5.4.3模型的求解求解算法与问题二的求解大体相同，不同之处有以下方面：在步骤4中，需要考虑病人在星期六、星期天不能进行手术，所以需要在步骤4中加入限制。假设病人已经等待了天，这时要判断出是星期几。如果是星期六或者星期天，则不安排手术，否则在进行问题二中的判断步骤。（程序详见附录2.3）5.4.4医院手术安排是否调整的确定医院现在实行的手术安排是周六、周日不做手术，白内障病人手术只安排在周一、周三做。根据题目的假设周六、周日不做手术确定，所以现在主要的研究目标是确定白内障手术时间能否改变,一位白内障（双眼）手术需要三天时间（包括中间一天准备时间），所以医院手术调整的可能方案只能是把白内障手术时间调整为周二与周四做或者周三与周五做，为了确定这些方案的优劣性，根据问题一给出的评价指标体系，得到这三种三种方案的评价指标结果如表7：表7 三种方案的综合评价指标白内障手术时间平均队列长度平均等待时间平均病床使用率周一、周三8.588.3289.68%周二、周四8.444.7389.48%周三、周五8.678.7490.83%表格说明： 通过平均队长长度的分析，将白内障手术安排在周二、周四时，平均队列长度较其他略小，但不可作为决定性的排序指标。 通过平均等待时间的分析，将白内障手术安排在周二、周四时，平均等待时间远小于其他，在其他条件变化不大下，可以认为这项指标为绝对占优指标。 通过平均病床占用率的分析，三种可能的平均病床占有率差别不大，在病床总数较小时，其对病床利用总数影响不大，可以作为忽略性指标。调整后的结果如表8：（部分结果）表8 调整后的结果序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间247白内障2008-8-102008-8-222008-8-25/2008-8-28248白内障（双眼）2008-8-102008-8-102008-8-112008-8-132008-8-16249青光眼2008-8-102008-8-102008-8-12/2008-8-20250外伤2008-8-102008-8-112008-8-12/2008-8-20251外伤2008-8-102008-8-112008-8-12/2008-8-18252白内障（双眼）2008-8-102008-8-102008-8-112008-8-132008-8-16253白内障2008-8-102008-8-222008-8-25/2008-8-28254视网膜疾病2008-8-102008-8-102008-8-12/2008-8-22255视网膜疾病2008-8-112008-8-282008-8-31/2008-9-10256青光眼2008-8-112008-8-272008-8-31/2008