上海交大附中2010-2011学年度第一学期第一次月考卷.doc

上海交大附中2010-2011学年度第一学期 高三数学第一次月考试卷 2010-10-08一、填空题：本大题共14小题，每小题4分，共56分。1集合，则。解：，。2设， 全集，则右图中阴影表示的集合中的元素为。解：，。3. 有个命题：很多男生爱踢足球；所有男生都不爱踢足球；至少有一个男生不爱踢足球；所有女生都爱踢足球。其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定命题的是 。4. 函数，则。解：，。5. 不等式的解集为。解：或或。6若点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式是。解：。7设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是。解：，对称中心为。8. 若 ，是的反函数，则。解：当时，；时，。9若，的最小值是。解：，。即当且仅当时，的最小值是为。10. 已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围是。解： 在上，则在上。11函数的值域为，则实数的取值范围是。解：，的值域为；，的值域为可以取到所有的正实数当时，的最小值。12. 建造一个容积为, 深为的长方形无盖水池，如果池底和池壁每的造价分别为元和元，那么水池的最低造价为元。解：设水池的长与宽分别为，(单位：)，总造价为，则有，当且仅当时，总造价有最小值为。13已知函数，给出下列四个命题：为奇函数的充要条件是；的图象关于点对称；当时，方程的解集一定非空；方程的解的个数一定不超过两个。其中所有正确命题的序号是 ， 。解：。由图像易得、正确；当时，总有解，正确；当，时，的解集为，错。14请把下列命题补充完整，并使之成为真命题：若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数=(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可，两个空位都填对，方能得分)。以下两个答案供参考： 直线；=； 直线；=。二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。15. 命题“对任意的，都有”的否定是 ( ) 不存在，使得 存在，使得 存在，使得 对任意的，都有16. 已知函数是偶函数，其定义域为，则点的轨迹是 （ ） 线段 直线的一部分 点 圆锥曲线解：偶函数的定义域关于原点对称，点的轨迹为。17. 若不等式在上恒成立，则的取值范围 （ ） 一切实数 解：构造函数，则函数的值域为。18. 对于函数和实数、，下列结论中正确的是 ( ) 若，则 若，则； 若，则； 上述命题都不正确。解：是定义在上的偶函数，当时，且，且，所以在上递增，在上递减。三、解答题：本大题共5题，74分。19.（本小题满分12分）命题：“函数在区间上递增”；命题：“ 在区间上递增”。若命题与命题有且仅有一个真，求实数的集合。解：当时，在区间上递增， 2分当时，。即当时，真； 5分当时，在区间上递增， 7分当时，。即当时，真； 10分满足题意的的集合为。 12分(或。)20.（本小题满分12分，第1小题7分，第2小题5分）甲、乙两商场同时促销原售价为元的某种型号的彩电，甲商场一律按销售价的折促销，即按原价的销售；乙商场按如下方式促销，买一台优惠，买两台优惠，买三台优惠，以此类推，即每多买一台，每台再优惠个百分点，但每台最低价不能低于元，某公司需购买这种型号的彩电台（），若到甲商场购买的费用为元，到乙商场购买的费用为元。(1) 分别求出函数、的关系式；(2) 问去哪家商场购买花费较少？并说明理由。解：(1) 到甲商场购买，易得 ， 3分到乙商场购买，按每多买一台每台多优惠个百分点计，买台的费用为，但每台最低价不会低于元，即， 。 7分 (2) ，当且仅当时，等号成立。 10分当时，去甲商场；当时，甲乙都可；当时，去乙商场。 12分21.（本小题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知正数、满足，(1) 求证：；(2) 求的最大值。解：(1) 。 3分且不能同时成立， 5分。 6分(2) 10分当且仅当时，等号取得， 12分当且仅当时，的最大值为。 14分【说明】如学生先解出(2)再证明(1)正确，也算对。22.(本小题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分)已知函数，其中。(1) 若，求的值；(2) 证明：当时，函数在区间上为单调函数，并指出是增还是减；(3) 若函数在区间上是增函数，求的取值范围。解：(1) 由，可得：，得 4分(2) 任取，令 = 6分因为，所以 8分若，则，在单调递减。 10分综上所述，当时，函数在为单调减函数。(3) 任取，因为单调递增，所以，又，那么必须恒成立 14分，相加得 16分所以。 18分23.（本小题满分18分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。(1) 求函数的解析式；(2) 当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；(3) 当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。 解：(1) 时， 则 函数是定义在上的奇函数，即，即 ， 3分又可知 。 4分函数的解析式为