数学中常用极限方法总结.doc

【1】 忽略高阶无穷小方法。很多极限看起来很复杂，而且也不好使用洛必达法则，但是如果忽略掉次要部分，则会很容易计算。比如，忽略掉比x低的无穷小项后为x / 2x = 1/2再比如斐波那契数列，忽略掉(1-5)/2n的次要项后，可以求得lim a(n+1)/a(n) = (1+5)/2再比如 lim(x-) (sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x)当x-的时候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高阶无穷小所以lim(x-) (sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x)= lim(x-) sinh(x)/2Cosh(x)= lim(x-) (ex-e(-x) / 2(ex+e(-x)= lim(x-) ex / 2ex=1【2】 取对数与洛必达法则洛必达法则是求极限的时候用的最多的方法，但是很多题目都会饶下弯子，需要先对代数式进行一些变形，否则计算起来会越来越烦，常见的的代换包括取对数，等价无穷小代换，省略高阶无穷小部分，在用完这些方法后，再使用洛必达法则，可以有效的解决这类问题。比如这个直接用等价无穷小代换后会因为损失了高阶无穷小导致结果不正确，取对数后就会化成容易计算的形式了lim(x-) x2*ln(1+1/x) - x再做代换 t = 1/x=lin(t-0) (ln(1+t)-t) / t2再用洛必达法则 = lim(t-0) (1/(1+t) - 1) / 2t = -1/2所以原式极限为e(-1/2)再比如 tanx (1/lnx)在x-0+的时候的极限这个极限是0的形式直接取对数得 ln(tanx) / lnx ，现在是/的形式用洛必达法则得 = x / ( sinx cosx) = x/sinx * 1/cosx = 1所以tanx(1/lnx)在x-0+的时候的极限为e【3】 常用等价无穷小经常用到的等价无穷小有(1) tanx sinx acrsinx arctanx sinh(x) acsinh(x) x (x-0)(2) 1-cosx x2/2 (x-0)(3) ex - 1 x (x-0)(4) ln(1+x) x (x-0)(5) (1+x)a - 1 ax (x-0)(6) e - (1+x)(1/x) ex / 2 (x-0)【4】 极限存在准则有些极限问题直接计算很困难，但是合理地使用放缩，再利用极限存在准则，可以很容易的得到，这个方法在判别级数收敛，反常积分计算的时候更是经常用到。比如显然n/(n2+n) 1/(n2+i) n/(n2+1)而limn/(n2+n) = limn/(n2+1) = 1所以极限是1再比如显然 1 = 2sin2n + cos2 n = 2所以1(1/n) = (2sin2n + cos2 n)(1/n) 0处的极限，这个可以使用多次洛必达求得，或提取sinx后用两个等价无穷小代换，也可以用tanx和sinx的级数代入求得= (x+x3/3 + O(x4) - x + x3/6 + O(x4) / x3 = 1/2但如果要求 tan(sin(tan(sinx)-sin(tan(sin(tan(x) / x7 (x-0)这个极限一般的方法就显得无助了，基本上只能使用泰勒级数来做tan(sin(tan(sinx)在x=0处的幂级数展开为x + x3/3 + x5/30 - (13 x7)/210 + O(x9)sin(tan(sin(tan(x)在x=0处的幂级数展开为x + x3/3 + x5/30 - (9 x7)/70 + O(x9)所以原式极限为1/15 （当然这个幂级数的展开式的计算量会很大）再比如求 ( (1+x) + (1-x) - 2 ) / x2在 x-0处的极限用泰勒公式就比较简单(1+x) 1+x/2 - x2/8 + O(x3)(1-x) 1 - x/2 - x2/8 + O(x3)所以原式 = (2 - x2/4 - 2 + O(x3) ) / x2 = -1/4经常可能用到的泰勒级数展开主要有正弦函数，余弦函数，正切函数，对数函数，指数函数，下面给出一个经常被问到的极限的级数展开(1+x)(1/x)在x=0处的级数展开为e - (e x)/2 + (11 e x2)/24 + O(x3)(1+1/x)x在x=0处的级数展开为1-x lnx + (1+(lnx)2) x2 + O(x3)【6】 中值定理有些极限用常见的方法处理比较困难，但是可以很容易的看出这是某个函数在两个很近的点处的割线的斜率或两个点之间的面积，那么这个时候可以考虑使用微分中值定理或积分中值定理。比如求sin(x+1) - sinx在x-的时候的极限由微分中值定理知，存在x处的极限令f(x) = arctan a/x那么存在x x+1使得 a/(a2+2) = (arctan a/x - arctan a/(x+1)所以lim x2 (arctan a/x - arctan a/(x+1) = lim a x2/(a2+2)由于x2/(a2+(x+1)2) x2/(a2+2) x2 / (a2+x2) ，取极限得1 = lim x2/(1+2) 处的极限显然Pi/2 - arctanx = 1/(1+t2)dt (积分限为x,)所以存在x ，并且y(n)y(n-1)那么lim x(n)/y(n) = lim x(n)-x(n-1)/y(n)-y(n-1)这个定理其实是离散化的洛必达法则例(1)求(1+1/2+1/3+.+1/n)/n在n-的极限这个可以先把分子的和求出来（当然结果是一个定积分），然后再求极限，但是比较麻烦由于满足Stolz定理的条件，所以lim(1+1/2+1/3+.+1/n)/n = (1/n) / (n)-(n-1) = 1/n = 0例(2) (1k+2k+3k+.+nk)/n(k+1)在n-的极限直接使用Stolz得=nk / n(k+1) - (n-1)(k+1) =nk / n(k+1) - n(k+1) + C(k+1,1)nk - C(k+1,2)n(k-1) + .=nk / C(k+1,1)nk - C(k+1,2)n(k-1) + .= 1/C(k+1,1) = 1/(k+1)例(3) 求 (ln(n!) -n ln(n) )/n在n-的极限lim(ln(n!) -n ln(n) )/n=lim( ln(n+1)!)-(n+1)ln(n+1) - ln(n!) + n ln(n) ) / (n+1-n)=lim ln(n+1) - n ln(n+1) - ln(n+1) + n ln(n) =lim n * ln (n/(n+1)=-1【8】 利用定积分的数值公式有些求和的极限用夹挤定理只能得到级数收敛，但不能求出具体的极限值，而一些题刚好是利用定积分的数值公式（主要是矩形公式）分解而来，这个时候可以考虑凑定积分的方式来对级数求和。比如求可以写成1/n 1/(1+(k/n)2)所以这个刚好是1/(1+x2)在0,1上的定积分所以极限为Pi/4再如上面出现过的 (1k+2k+.+nk) / n(k+1)这个可以写成1/n (i/n)k所以可以看成是 xk在0,1上的定积分所以极限是1/(k+1)【9】 利用级数展开某些涉及到求和的极限可能刚好是某个函数的级数展开的特殊值比如交错级数1-1/2+1/3-1/4+.这个刚好是ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + .在x=1处的值所以极限是ln2而对于其他一些级数也可能是函数展开的特殊值比如1 + 1/22 + 1/32 + 1/4 + 1/n2 + .