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负数取模运算转自:最近带的助教班中,有人问 负数怎么取模,故上网搜了一下,感觉下面这篇帖子写得很不错,故拷过来借鉴下,原文:/blog/mod-in-real/最近在一道 Java 习题中,看到这样的一道题:What is the output when this statement executed: System.out.printf(-7 % 3);正整数的取余运算大家都很熟悉,但是对于负数、实数的取余运算,确实给人很新鲜的感觉。于是我对此进行了一些探索。我发现,这里面还是颇有一点可以探索的东西的。自然数的取模运算的定义是这样的(定义1):如果a和d是两个自然数,d非零,可以证明存在两个唯一的整数q和r,满足a=qd+r且0 rd。其中,q被称为商,r被称为余数。那么对于负数,是否可以沿用这样的定义呢?我们发现,假如我们按照正数求余的规则求 (-7) mod 3 的结果,就可以表示 -7 为 (-3)* 3 +2。其中,2是余数,-3是商。那么,各种编程语言和计算器是否是按照这样理解的呢?下面是几种软件中对此的理解。C+(G+ 编译): cout (-7) % 3 / 输出2百度计算器:(-7) mod 3 =2Google 计算器:(-7) mod 3 =2有道计算器:(-7) mod 3 = -1可以看到,结果特别有意思。这个问题是百家争鸣的。看来我们不能直接把正数的法则加在负数上。实际上,在整数范围内,自然数的求余法则并不被很多人所接受,大家大多认可的是下面的这个定义2。如果a与d是整数,d非零,那么余数r满足这样的关系:a = qd + r , q 为整数,且0 |r| |d|。可以看到,这个定义导致了有负数的求余并不是我们想象的那么简单,比如,-1 和 2 都是 (-7) mod 3 正确的结果,因为这两个数都符合定义。这种情况下,对于取模运算,可能有两个数都可以符合要求。我们把 -1 和 2 分别叫做正余数和负余数。通常,当除以d 时,如果正余数为r1,负余数为r2,那么有r1 = r2 + d对负数余数不明确的定义可能导致严重的计算问题,对于处理关键任务的系统,错误的选择会导致严重的后果。看完了(-7) mod 3,下面我们来看一看 7 mod (-3) 的情况(看清楚,前面是 7 带负号,现在是 3 带负号)。根据定义2,7 = (-3) * (-2) + 1 或7 = (-3) * (-3) -2,所以余数为 1 或 -2。C+(G+ 编译): cout 输出-2百度计算器:7 mod (-3) =-2Google 计算器:7 mod (-3) = -2有道计算器:不支持从中我们看到几个很有意思的现象:1. Java 紧随 C+ 的步伐,而 Python、Google、百度步调一致。难道真是物以类聚?联想一下,Google 一直支持 Python,Python 也颇有 Web 特色的感觉,而且 Google Application Engine 也用的 Python,国内的搜索引擎也不约而同地按照 Google 的定义进行运算。2. 可以推断,C+ 和 Java 通常会尽量让商更大一些。比如在 (-7) mod 3中,他们以 -2 为商,余数为 -1。在 Python 和 Google 计算器中,尽量让商更小,所以以 -3 为商。在 7 mod (-3) 中效果相同:C+ 选择了 3 作为商,Python 选择了 2 作为商。但是在正整数运算中,所有语言和计算器都遵循了尽量让商小的原则,因此 7 mod 3 结果为 1 不存在争议,不会有人说它的余数是-2。3. 如果按照第二点的推断,我们测试一下 (-7) mod (-3),结果应该是前一组语言(C+,Java)返回 2,后一组返回 -1。(请注意这只是假设)于是我做了实际测试:C+(G+ 编译): cout 输出-1百度计算器:-7 mod (-3) =-1Google 计算器: -7 mod (-3) = -1结果让人大跌眼镜,所有语言和计算机返回结果完全一致。总结时间到我们由此可以总结出下面两个结论: 对于任何同号的两个整数,其取余结果没有争议,所有语言的运算原则都是使商尽可能小。 对于异号的两个整数,C+/Java语言的原则是使商尽可能大,很多新型语言和网页计算器的原则是使商尽可能小。最后是拓展时间。对于实数,我们也可以定义取模运算(定义3)。当a 和 d 是实数,且d 非零, a 除以 d 会得到另一个实数(商),没有所谓的剩余的数。但如果要求商为一个整数,则余数的概念还是有必要的。可以证明:存在唯一的整数商 q 和唯一的实数 r 使
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