岩石强度准则的数学形式和参数确定的研究.doc

第 29 卷 第 11 期 岩石力学与工程学报 Vol.29 No.11 2010 年 11 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Nov.，2010 收稿日期：收稿日期：20100501；修回日期：修回日期：20100627 基金项目：基金项目：国家自然科学基金资助项目(10572047) 作者简介：作者简介：尤明庆(1964)，男，博士，1984 年毕业于复旦大学数学系力学专业，现任教授，主要从事岩石力学方面的教学与研究工作。E- mail： 衿芆蚈蝿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅莂节螅螁莁莄薈肀莁蒆螄羆莀虿薆羂荿莈袂袈莈蒁蚅膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈蒅莅袈袄肂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿肅聿蒁羅羁肈薄螈袇肈蚆薁膆肇莆螆肂肆蒈蕿羈膅薀螄袄膄芀薇螀膃蒂螃膈膂薅蚅肄膂蚇袁羀膁莇蚄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁芈芁袈羇芇莃蚀袃芆薅袆衿芆蚈蝿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅莂节螅螁莁莄薈肀莁蒆螄羆莀虿薆羂荿莈袂袈莈蒁蚅膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈蒅莅袈袄肂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿肅聿蒁羅羁肈薄螈袇肈蚆薁膆肇莆螆肂肆蒈蕿羈膅薀螄袄膄芀薇螀膃蒂螃膈膂薅蚅肄膂蚇袁羀膁莇蚄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁芈芁袈羇芇莃蚀袃芆薅袆衿芆蚈蝿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅莂节螅螁莁莄薈肀莁蒆螄羆莀虿薆羂荿莈袂袈莈蒁蚅膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈蒅莅袈袄肂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿肅聿蒁羅羁肈薄螈袇肈蚆薁膆肇莆螆肂肆蒈蕿羈膅薀螄袄膄芀薇螀膃蒂螃膈膂薅蚅肄膂蚇袁羀膁莇蚄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁芈芁袈羇芇莃蚀袃芆薅袆衿芆蚈蝿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅莂节螅螁莁莄薈肀莁蒆螄羆莀虿薆羂荿莈袂袈莈蒁蚅膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈蒅莅袈袄肂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿肅衿芆蚈蝿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅莂节螅螁莁莄薈肀莁蒆螄羆莀虿薆羂荿莈袂袈莈蒁蚅膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈蒅莅袈袄肂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿肅聿蒁羅羁肈薄螈袇肈蚆薁膆肇莆螆肂肆蒈蕿羈膅薀螄袄膄芀薇螀膃蒂螃膈膂薅蚅肄膂蚇袁羀膁莇蚄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁芈芁袈羇芇莃蚀袃芆薅袆衿芆蚈蝿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅莂节螅螁莁莄薈肀莁蒆螄羆莀虿薆羂荿莈袂袈莈蒁蚅膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈蒅莅袈袄肂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿肅聿蒁羅羁肈薄螈袇肈蚆薁膆肇莆螆肂肆蒈蕿羈膅薀螄袄膄芀薇螀膃蒂螃膈膂薅蚅肄膂蚇袁羀膁莇蚄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁芈芁袈羇芇莃蚀袃芆薅袆衿芆蚈蝿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅莂节螅螁莁莄薈肀莁蒆螄羆莀虿薆羂荿莈袂袈莈蒁蚅膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈蒅莅袈袄肂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿肅聿蒁羅羁肈薄螈袇肈蚆薁膆肇莆螆肂肆蒈蕿羈膅薀螄袄膄芀薇螀膃蒂螃膈膂薅蚅肄膂蚇袁羀膁莇蚄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁芈芁袈羇芇莃蚀袃芆薅袆衿芆蚈蝿膇芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅莂节螅螁莁莄薈肀莁蒆螄羆莀虿薆羂荿莈袂袈莈蒁蚅膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈蒅莅袈袄肂蒇蚁螀肁蕿袇聿肀艿虿肅 岩石强度准则的数学形式和参数确定的研究岩石强度准则的数学形式和参数确定的研究 尤明庆 (河南理工大学 能源科学与工程学院，河南 焦作 454010) 摘要：摘要：基于 6 种岩石的试验数据研究 6 种常规三轴强度准则。利用偏差平方和最小即最小二乘法确定强度准则中 的待定系数，误差较大的个别数据使拟合曲线整体偏离多数正常数据；将强度准则变化后线性回归的结果可能完 全失真；建议以拟合偏差的绝对值之和最小为目标直接搜索强度准则中的待定参数。剪应力正应力的 Mohr 强 度准则所陈述的力学含义并非真实，且不易确定其中的待定参数，建议使用显式的主应力强度准则。含有单一参 数的抛物线准则可以描述多种岩石的强度特征，优于含有 2 个待定参数的 Hoek-Brown 和 Coulomb 准则；含有 3 个参数的指数强度准则具有较小的平均拟合偏差，且可以凸显异常数据点，优于二次多项式准则与广义 Hoek- Brown 准则。 关键词：关键词：岩石力学；强度准则；参数确定；Hoek-Brown 准则；抛物线型准则；指数型准则 中图分类号：中图分类号：TU 45 文献标识码：文献标识码：A 文章编号：文章编号：10006915(2010)11217213 STUDY OF MATHEMATICAL EQUATION AND PARAMETER DETERMINATION OF STRENGTH CRITERIA FOR ROCK YOU Mingqing (School of Energy Science and Engineering，Henan Polytechnic University，Jiaozuo，Henan 454010，China) Abstract：Six conventional triaxial strength criteria are studied based on test data of six rocks cited from public literatures. The least square method used to determine parameters in criteria may result in the deviation of fitting solution from main regular data for a few abnormal data；and the linear regression of equations transferred from criteria，such as Hoek-Brown criterion and Fairhurst criterion，may bring totally untrue outcome. The parameters should be searched directly according to the least absolute deviation. The Mohr criterion with the form of normal- shear stress does not describe the real physical phenomenon，in which the parameters are also difficult to be determined mathematically. The explicit criterion of principal stresses is the best choice for rock. The parabolic criterion with a single parameter，uniaxial compression strength，may fit test data of many rocks better than Coulomb criterion and Hoek-Brown criterion with two parameters. The exponential strength criterion with three parameters，which are determined on the least absolute deviation，will approximate to a great number of normal test data，and open out the abnormal data points. It can describe the relationship between strength and confining pressure in the entire experimental range better than that from the generalized Hoek-Brown criterion and quadratic polynomial criterion. 2 岩石力学与工程学报 2010 年 Key words：rock mechanics；strength criteria；parameter determination；Hoek-Brown criterion；parabolic criterion；exponential criterion 1 引引 言言 就岩石材料而言，只有拉伸和剪切 2 种破坏形 式。承受拉应力的岩石破坏特征，因试验方法的困 难和试验数据的离散，尚缺乏明确结论1，2；压应 力下剪切破坏已有大量的理论和试验研究3；而断 裂力学、损伤力学概念的引入以及计算机便利的作 图、分析功能，更使得多种数学形式的强度准则得 到了广泛研究410。 目前真三轴应力状态的试验数据还较少，离散 性也较大，而不考虑中间主应力的强度准则是偏于 安全的。就此而言，除了利用孔壁崩落确定地应力 需要准确的岩石真三轴强度准则 11，12外，岩体工程 设计需要研究的主要是常规三轴强 度准则13，14，即 一定体积的岩体处于均匀应力状态下，总是满足： (1) 13 ()0F， 式中：1为最大主应力，3为最小主应力。式(1) 中以压应力为正，且该式等号成立时，岩石破坏。 通常都尽可能将强度准则写成显式，即 (2) S3 ()f 一方面，基于圆柱试样的常规三轴压缩试验结 果，即强度S与围压2 = 3的关系，利用数学方法 可以确定函数 f 的形式；另一方面，基于岩石压应 力下的剪切破坏特征，认为岩石内任一断面上的剪 切应力 和正应力 总是满足： (3)()0G， 式(3)等号成立时，岩石破坏。将其写成显式 为 (4) S ( )g 这就是通常所说的 Mohr 强度准则。其自然的 推论是，中间主应力对剪切破坏没有影响。如尤明 庆15所论述，即使这一结论对微元体成立，因岩 石在细观上并非各向同性，对宏观岩块并不能成立。 直接剪切试验中试样内部以及预定的剪切破坏 面上并非承载均匀的应力，试验结果的可靠性值得 怀疑。除非确定指定结构面的剪切强度，一般仍是 基于圆柱试样的强度S与围压2 = 3的关系，即函 数 f 来确定函数 g。 在围压2 = 3时岩石的强度为S，试样内不同 倾角断面上的正应力和剪应力分别满足： (5) 22 S3 cossin (6) S3 ()sincos 岩石的强度准则和 Mohr 应力圆如图 1 所示。 不同围压下所有应力圆的外包络线就是给定正应力 下岩石所能承受的最大剪应力。外包络线与应力圆 有相同的切线，因而有 (7) 33 0 O 2 SC3 S = g() (，S ) 图 1 岩石的强度准则和 Mohr 应力圆 Fig.1 Strength criterion for rock and Mohr stress circles 将式(5)，(6)代入式(7)，化简后可得 (8) S2 3 3 d tan() d f 式中： 为基于 Mohr 理论确定的试样破坏断面倾 角。将式(2)，(8)代入式(5)，(6)，如能再消去参变 量3，就可以得到岩石破坏时剪切强度与正应力的 关系。 如果得到了剪切强度与正应力的函数关系 g， 那么记 (9) S d tan( ) d g 从图 1 可以看出： (10) S3S 2cos (11) S3 Stan 2 将式(4)，(9)代入式(10)，(11)，得到岩石破坏 时最大主应力与最小主应力之间关系。 式(2)，(4)在数学上可以互换，但体现的力学 第 29 卷 第 11 期 尤明庆. 岩石强度准则的数学形式和参数确定的研究 2173 含义并不相同。前者表明试样内应力状态满足某一 条件材料即发生破坏；而后者表示某一断面上正应 力与剪切力满足某一条件则发生破坏，但岩石并非 只在单一断面上破坏，最终破裂面倾角与 Mohr 准 则给出的式(8)也并不完全一致。 本文将讨论强度准则中参数的确定方式，用 6 种强度准则具体拟合相关文献中 6 种岩石的试验数 据，评价强度准则适用性。 2 强度准则的数学形式强度准则的数学形式 2.1 直线型强度准则直线型强度准则 式(2)的最简单形式是线性关系，即 (12) S3 QK 式中：Q 为单轴压缩强度，K 为围压对强度的影响 系数。相应的式(4)的形式为 (13) Sntan c 式中：为内摩擦角，c 为岩石的黏聚力。K，Q 分 别满足： (14) 2 0 tanK (15) 0 2 tanQc 式中：0为岩石剪切破坏面的倾角，且有 (16) 0 42 Coulomb 强度准则的物理背景是，岩石具有黏 结和摩擦特性。不过，岩石是非均质材料，各处不 会同时达到承载极限而破坏，因而实际试验数据并 非直线关系，破坏角与 0也不会完全相同。 2.2 抛物线型强度准则抛物线型强度准则 考虑到对称性，抛物线 Mohr 准则16，17可写 为 (17) 2 S 0 0 T aT 式中：T0为岩石的单轴抗拉强度；a 为参数，与岩 石的压拉强度比 R 相关，可由下式确定： (18) 2 2 (11) R a R 相应的主应力关系为 (19) 2222 S30S300 ()2()4aTaTa T 式(19)为以S =3为对称轴的抛物线。注意到 抛物线式(17)在顶点的曲率半径为 aT0/2，因而3 = T0，S (a 1)T0的应力圆都与顶点相切，即岩 石都是在拉应力下破坏。这也给出了式(19)的适用 范围。 R = 8，a = 4 就是含有单一材料参数T0的 Griffith 准则，其具有明确的物理背景：岩石破坏是内部裂 纹的失稳扩展18。而选择其他数值，式(17)和(19) 不再具备物理背景，只是一个经验公式。此外，除 平台巴西圆盘劈裂利用 Griffith 准则分析19，未见 其他场合使用；而若考虑裂隙闭合后的摩擦作用， Griffith 准则将与线性的 Coulomb 准则等同18。 岩石单轴压缩强度和拉伸强度的离散性均较大， 为了得到描述压应力状态的强度准则， 应以式(19)拟 合试验结果确定相应的参数。若记为 (20) 2 S3S3 ()()AC 则可以利用线性回归方法得到强度准则参数。 抛物线 Mohr 准则最先由 C. Fairhurst20提出， 用于研究圆盘试样的巴西劈裂强度。不过，依据实 际试验数据线性回归的式(20)，围压较低时可能没 有实数解21，后面给出实例予以说明。 Hoek-Brown 准则在主应力空间也是抛物线， 其对称轴只是与S = 3平行，即 (21) S3c3c /1m 式中：m 为材料参数，c为岩石单轴抗压强度。 式(21)可以改写为 (22) 22 S3c3c ()m 主应力差之平方与最小主应力成线性关系，利 用试验数据回归可得到参数m，c。这也是E. Hoek 等22，23所推荐的方法。不过，如果数据离散较大， 回归参数可能成为负值24。 2 c 2.3 抛物线型强度准则的修正形式抛物线型强度准则的修正形式 为了追求对试验结果的更好拟合，可以对已有 的强度准则进行修正，通常都要增加公式中待定参 数的数量，新增加参数的某一特定取值就是原来的 强度准则。例如，将式(17)修正为 (23) S0 n AT 式(23)中：n = 1 与 Coulomb 准则等价；n = 2 就 是式(17)；该式也可以如汪 斌等4写为 (24) S n ec 式中：e，n 均为待定参数。 不过，直接剪切试验中破坏断面并非承载均匀 2174 岩石力学与工程学报 2010 年 应力，因而除确定弱面的剪切强度之外，多是进行 圆柱试样的常规三轴压缩试验。但利用式(23)，(24)拟 合试验数据存在数学上的困难。强度准则通常并没 有明确的物理背景，只是对岩石强度特征的数学描 述，因而选择主应力表述的公式可能更便于 应用。 如用于完整岩石的广义 Hoek-Brown 准则： (25) S3c3c (/1)nm 式(25)在 n = 1 时退化为 Coulomb 准则，在 n = 1/2 时就是式(21)。 对同一种强度准则可以有不同的修正方法。抛 物线的形状取决于焦距，抛物线的位置由对称轴和 顶点坐标确定。静水压力加载时岩石不会发生破 坏， 因而对称轴应与S = 3平行。于是，一般形式的抛 物线型即二次多项式强度准则可写为 (26) 2 S3S3 ()ABC 显然，Fairhurst 准则式(20)是式(26)在 A = B 时 的特例，对称轴就是S = 3；而 Hoek-Brown 准则 式(22)是其在 A = 0 时的特例。 式(26)可以写成如下等价的显式形式： (27) 2 S3cDc3D m 式(27)在D = c时就是 Hoek-Brown 准则，而 在 m = 4(cD )/c时就是Fairhurst 准则，即式(20) 可以写成如下等价的显式形式： (28) 2 S3cDcD3D 4() 随着正应力或最小主应力增大，上述抛物线型 的强度准则及其修正形式所预测的剪切强度和主应 力差S3都趋于无限，但满足： (29) S3 3 3 d() 0 lim d (30) S d 0 lim d 也就是说，内摩擦角将趋于 0，基于 Mohr 理 论所预测的破坏角趋于 45 。 2.4 其他类型的强度准则其他类型的强度准则 双曲线强度准则以直线为渐进线，如： (31) 22 S000 (3)() /4()RTT T 将趋于如下直线： (32) 0 S0 3()/2 3 T RT R 即 Coulomb 强度准则，其最大主应力与最小主应力 也将趋于直线关系。正如汪 斌等4的实际拟合所 示，这与试验结果似乎不能协调。 M. You9，24，25基于岩石材料的非均质性和黏 结、摩擦力在局部不能同时存在的观点，认为随着 最小主应力增加岩石内最大剪切力或主应力差将趋 于常数，构造含有3 个材料参数的指数型强 度准则： (33) 03 S30 0 (1) ()exp K QQQ QQ 式中：Q0为单轴压缩强度，Q为极限主应力差， K0为围压为 0 时对强度的影响系数。 2.5 分析比较的分析比较的 6 种强度准则种强度准则 本文将利用试验数据研究下述 6 种强度准则： (1) Coulomb 强度准则，式(12)； (2) Fairhurst 准则，式(20)和(28)； (3) Hoek-Brown 准则，式(21)和(22)； (4) 二次多项式准则，式(26)和(27)； (5) 广义 Hoek-Brown 准则，式(25)； (6) 指数强度准则，式(33)。 前 3 种强度准则含有 2 个待定参数，而后 3 种 强度准则含有 3 个待定参数。 3 强度准则的参数确定强度准则的参数确定 确定强度准则中参数需要不同围压下的试样强 度，而强度只有破坏试验才能得到，不同围压下试 验需要使用不同的试样。岩石具有非均质性，试样 之间可能存在差异，强度差异并不完全是围压引起 的。对此需要有足够的认识。 3.1 试验数据试验数据 评价强度准则的试验数据可以从文献中引用， 如汪 斌等4，24，2633；其中部分数据如Dunham 白 云岩和Mizuho 粗面岩29，30是从K. Mogi27，28中图 件数字化得到的，也已广为用于强度准则评价 9，24，2932。表 1 给出 6 种岩石常规三轴压缩强度。 表 1 中锦屏砂岩的试验数据中还给出卸围压试 验的结果，如围压P = 1.2，3.4 MPa 时强度S = 90.0，107.4 MPa；这表明其单轴压缩强度 61.6 MPa 是一个偏低的数值，相应试样可能存在显著 缺陷，属于异常的试验点。 平顶山砂岩试样是利用同一岩块加工的24。 为确认试样的离散性，进行 6 个单轴压缩试验，强 度为 102.9129.4 MPa，表 1 中所列单轴压缩强度 第 29 卷 第 11 期 尤明庆. 岩石强度准则的数学形式和参数确定的研究 2175 为其平均值。围压下压缩时强度差异均较小，本 文以表 1 中的平均值用于确定强度准则参数。 3.2 拟合目标的选取拟合目标的选取 利用最小二乘法确定公式中的待定系数，即要 求对全部试验数据求得的偏差平方之和达到最小： (34) 2 2S3 ()f 对式(34)右端的待定参数求偏导数，依据极值 点偏导数为 0 可得到含待定参数的方程组。对于线 性关系如式(12)可以直接求得待定参数的具体公式， 也称为线性回归；而对非线性关系，可能需要 表 1 6 种岩石的常规三轴压缩强度 Table 1 Conventional triaxial compression strengths of six rocks MPa Westerly 花岗岩26Dunham 白云岩27，28Mizuho 粗面岩27，28 PSPSPS 0201 0257 0100 2231 25400 15193 20430 45488 30253 38605 65568 45300 38620 85624 60339 60747105679 75365 77889125724100419 1001 012 Yamaguchi 大理岩33平顶山砂岩24锦屏砂岩4 PSPSPS 0.0 81 0.0115.1 0.0 61.6 6.0113 5.0157.7 5.0109.5 12.513010.1197.110.0138.6 25.017515.1224.320.0174.6 40.021020.1238.030.0209.0 55.024625.0258.040.0240.5 70.027230.0283.550.0263.0 85.029530.0284.160.0288.5 100.032440.0305.770.0305.4 150.0397 150.0398 1.2 90.0 200.0453 3.4107.4 200.0454 采取迭代的方式求解。不过，偏导数为 0 的点只是 驻值点，可能不是极值点；极值点可能有多个，迭 代可能不收敛；实际需确定参数使2达到最小值， 而最小值可能在边界上而并非驻点达到，等等34。 就此而言，对非线性方程组的迭代求解结果需要进 行仔细的分析和验证。如简单的非线性方程： (35)(1)xxx 随控制参数 在0，4范围内的不同取值，变量 x 在0，1内迭代可以出现种种奇妙的现象35。 顺便指出，对含有多个待定参数的流变模型， 最好依据力学概念分批确定模型参数，而以蠕变公 式的拟合偏差平方和达到极小，对偏导数为 0 的方 程组“反复迭代，直至所需要的精度”36，在数 学上是困难的，甚至是不可能的。 如果试验结果中存在误差较大的个别数据，依 据式(34)确定的曲线可能整体偏离多数正常数据， 靠近异常点以减少其偏差平方。显然，偏差平方之 和最小与偏差绝对值之和最小并不等价。 2 1 可表示为 1 (36) 1S3 abs()f 最小二乘法不可能得到最小拟合偏差(见图 2)。 图 2 最小二乘法确定的线性拟合与最小拟合偏差 Fig.2 Linear fitting determined by the least square method and the least absolute deviation 图 2 中直线为 8 个数据点的最小二乘法拟合结 果，即式(34)计算的偏差平方和2达到最小，此时 所有偏差代数之和为 0；如果将直线略向下移动， 则试验点 A，B 的偏差增大，但其余 6 个试验点的 偏差将等量减少，直至直线通过试验点 C；其后若 继续向下移动直线，则 3 个试验点 A，B，C 的偏 差将增大，但其余 5 个试验点的偏差将等量减少。 在上述移动过程中，偏差绝对值之和1都是减小的。 可以预期偏差绝对值之和达到最小值时直线两侧试 验点各为 4 个。 以偏差绝对值之和1最小为目标确定的拟合曲 B A O x y C 2176 岩石力学与工程学报 2010 年 线，可以保证试验点等量分布在两侧，且能靠近大 量的正常试验点，并使异常点如图 2 中 A，B 具有 较大的偏差。拟合公式f (3)中若含有不与自变量3 相关的常数项，上述分析和结论同样能够成立。 将非线性关系，如 Hoek-Brown 准则的式(21) 转化成式(22)进行线性回归，进一步放大了异常点 的作用，可能使拟合结果完全失真，如对 KTB 闪 岩强度的拟合24。 计算机已经普遍使用，以偏差绝对值之和1最 小为目标直接搜索待定参数在数学上成为可 能 24，25，32。例如，对广义 Hoek-Brown 准则式(25)， 在给定指数 n 后搜索参数 m，c，最后确定最佳的 指数n。图 3 为对 Dunham 白云岩和Westerly 花岗 岩的计算结果，其中 mf 为平均拟合偏差，可表示为 (a) Dunham 白云岩 (b) Westerly 花岗岩 图 3 基于拟合偏差绝对值之和最小不同指数 n 下广义 Hoek-Brown 准则的计算结果以及 Hoek-Brown 准则、Coulomb 准则的拟合结果 Fig.3 Calculated results of generalized Hoek-Brown criterion under various power exponents n based on the least absolute deviation and fitting results of Hoek-Brown criterion and Coulomb criterion n mf/MPa n = 1.0 mf = 32.7 MPa n mf/MPa n = 1.0 mf = 20.3 MPa 3 5 7 9 11 13 0.300.350.400.450.500.55 5 10 15 20 25 0.400.450.500.550.600.65 最佳值 以式(22)线性回归确定的 Hoek-Brown 准则 最佳值 以式(22)线性回归确定的 Hoek-Brown 准则 m n = 1.0 m = 7.37 n m n = 1.0 m = 2.48 0 10 20 30 40 0.300.350.400.450.500.55 15 30 45 60 75 0.400.450.500.550.600.65 最佳值 以式(22)线性回归确定的 Hoek-Brown 准则 最佳值 以式(22)线性回归确定的 Hoek-Brown 准则 n c/MPa n = 1.0 c = 313.3 MPa 250 260 270 280 290 0.300.350.400.450.500.55 最佳值 以式(22)线性回归确定的 Hoek-Brown 准则 n c/MPa n = 1.0 c = 244.9 MPa 160 170 180 190 200 210 0.400.450.500.550.600.65 最佳值 以式(22)线性回归确定的 Hoek-Brown 准则 n 第 29 卷 第 11 期 尤明庆. 岩石强度准则的数学形式和参数确定的研究 2177 (37) S31 abs()/mffNN 式中：N 为数据组数。 从图 3 可以看出，对于 Dunham 白云岩，以拟 合偏差绝对值之和最小与拟合偏差平方之和最小确 定的 Hoek-Brown 准则差别较小；而对于 Westerly 花岗岩则差别较大。这与后者存在异常数据有关， 如相同围压 38 MPa 强度相差 15 MPa。 4 强度准则的评价强度准则的评价 对于表 1 中的 6 种岩石的常规三轴压缩结果， 分别用节 2.5 所列 6 种强度准则进行拟合，即基于 拟合偏差绝对值之和最小确定强度准则中的待定参 数。表 2，3 给出了试验数据的特征和强度准则参 数以及相应的平均拟合偏差。由于锦屏砂岩单轴压 缩强度明显偏低，在剔除该数据之后利用强度准则 对剩余的 8 个数据重新进行了拟合。 为了便于比较，利用柱状图分别绘出 6 种强 度准则拟合同一岩石试验数据的平均拟合 偏差(见 图 4)。 4.1 Coulomb 强度准则强度准则 直线型的 Coulomb 准则尽管具有明确的物理 背景，但拟合偏差极大，因而难以准确描述试验范 围内的强度与围压的关系。就此而言，以 Coulomb 准则为基础的真三轴强度准则，如 Drucker-Prager 准则、线性的 Mogi-Coulomb 准则以及双剪强度理 论(统一强度理论)等29，30，37，可能难以准确描述 岩石的强度特性9，32，所预计的结构承载能力可 能有较大偏差，对此需要持谨慎态度。 当然，岩土工程涉及的应力范围可能较小，那 么利用线性的 Coulomb 准则以及相应的黏结力和 内摩擦角引起的误差并不很大。不过，实际回归强 度准则时，回归结果与单轴强度的选用方式和三轴 强度的数量等有关24，需要予以注意。 4.2 Fairhurst 强度准则强度准则 不同围压下 Westerly 花岗岩的强度是围压的 10 倍以上，主应力之和与主应力之差较为接近， 似乎难以成立式(19)所示的抛物线关系。但利用式 (20)线性回归，可得 (38) 2 S3S3 ()852.25()179 590 以线性回归间接确定 Fairhurst 准则的待定参 数如图 5 所示。相应的强度与围压关系如图 6 中细 实线所示，与试验数据有较大偏离。注意到： (39) 22 S3S3S3 ()()2() 表 2 含有 2 个参数的强度准则基于偏差绝对值之和最小对 6 种岩石常规三轴强度的拟合结果 Table 2 Conventional triaxial strength fitting results of strength criteria with two parameters for six rocks based on the least absolute deviation Coulomb 准则Fairhurst 准则Hoek-Brown 准则 岩性 数据 组数 单轴强度 /MPa 最大围压 /MPa KQ/MPamfC/MPac/MPaD/MPamfF/MPamc/MPamfH/MPa Westerly 花岗岩 8201.01008.37244.932.7351.00.00101.6041.43191.811.70 Dunham 白云岩 7257.01253.48313.320.3257.08.70 7.56 8.93279.711.00 Mizuho 粗面岩 7100.01002.87150.017.5109.10.00 5.21 7.97127.011.40 Yamaguchi 大理岩11 81.02001.78130.518.6 81.017.4 6.95 4.35 94.711.40 平顶山砂岩 8115.0 405.01133.010.0122.40.00 6.2913.00123.4 6.16 锦屏砂岩 1 9 61.6 703.10107.611.8 82.90.00 8.2410.10 78.0 7.34 锦屏砂岩 2 8 2.85117.6 7.4 83.00.00 6.60 7.4496.8 3.49 注：若设定D = 0 MPa 拟合，Dunham 白云岩强度c = 248.4 MPa，mfF = 8.77 MPa；Yamaguchi 大理岩强度c = 64.0 MPa，mfF = 8.90 MPa。 表 3 含有 3 个参数的强度准则基于偏差绝对值之和最小对 6 种岩石常规三轴强度的拟合结果 Table 3 Conventional triaxial strength fitting results of strength criteria with three parameters for six rocks based on the least absolute deviation 二次多项式准则广义 Hoek-Brown 准则指数强度准则 岩性 mc/MPaD/MPamfP/MPanmc/MPamfGH/MPaK0Q/MPaQ0/MPamfEX/MPa Westerly 花岗岩46.70200.5302.308.080.5529.5200.58.5312.841 256.9200.86.89 2178 岩石力学与工程学报 2010 年 Dunham 白云岩5.12257.0 59.505.100.3620.4256.53.81 6.51 684.0257.01.23 Mizuho 粗面岩4.82100.0 0.003.870.3429.7100.03.31 6.91 326.2100.02.86 Yamaguchi 大理岩2.50 81.0 2.205.940.3022.0 81.03.58 3.93 259.6 84.52.89 平顶山砂岩5.53115.1 8.713.340.3139.8115.43.13 9.98 287.3114.92.87 锦屏砂岩 18.28 61.6 8.241.840.3446.0 61.71.50 5.49 270.2 83.43.64 锦屏砂岩 29.12 55.5 1.302.050.3630.7 68.41.64 5.48 270.3 83.41.37 注：若不计单轴压缩数据，仅计算 8 个试样的平均拟合偏差，则二次多项式、广义 Hoek-Brown 和指数强度准则得到的结果分别为 2.07，1.68 和 1.37 MPa。 图 4 6 种强度准则的平均拟合偏差 Fig.4 Mean fitting deviations of six strength criteria for various rocks 图 5 以线性回归间接确定 Fairhurst 准则的待定参数 Fig.5 Linear regression using transformed equation of Fairhurst criterion 对偏差 有放大作用，因此利用式(20)线性回归， 其结果必然偏于强度较大的数据点。 这就是说，尽管式(20)或图 5 中的线性关系具 有很高的相关性(R2 = 0.974 3)，但据此得到的强度 与围压的关系(见图 6)却偏差很大。显然，相关系 数并不能完全证明公式的可靠性38。基于拟合偏差 绝 强度准则 (a) 白云岩 强度准则 (b) 花岗岩 强度准则 (c) 粗面岩 强度准则 (d) 大理岩 101.6 强度准则 (e) 平顶山砂岩 强度准则 (f) 锦屏砂岩 强度准则 (g) 锦屏砂岩不含单轴强度 1Coulomb 准则； 2Fairhurst 准则； 3Hoek-Brown 准则； 4二次多项式准则； 5广义 Hoek-Brown 准则； 6指数强度准则 0 4 8 12 16 20 24 123456 0 10 20 30 40 123456 0 4 8 12 16 20 123456 0 4 8 12 16 20 123456 0 2 4 6 8 10 12 123456 0 3 6 9 12 123456 0 3 6 9 12 123456 mf/MPa mf/MPa mf/MPa mf/MPa mf/MPa mf/MPa mf/MPa (S + 3)/MPa (S 3 )/MPa2 y = 852.25x179 590 (R2 = 0.974 3) 0.0 1.5105 3.0105 4.5105 6.0105 7.5105 9.0105 02004006008001 0001 200 3/MPa S/MPa S = 3 以 1达到最小 的拟合结果 以间接方式线性 回归的结果 0 200 400 600 800 1 000 1 200 020406080100 第 29 卷 第 11 期 尤明庆. 岩石强度准则的数学形式和参数确定的研究 2179 图 6 Fairhurst 准则对 Westerly 花岗岩的拟合结果 Fig.6 Fitting results of Fairhurst criterion determined with various ways for Westerly granite 对值之和1最小，利用式(28)直接搜索得到的结果 如图 6 中细实线所示。 基于图 4 的平均拟合偏差，除 Westerly 花岗 岩之外，Fairhurst 准则都优于 Coulomb 准则，与 Hoek-Brown 准则相当或略优。令人惊奇的是，除 Dunham 白云岩和 Yamaguchi 大理岩，其余岩石的 回归参数D = 0，即式(36)的偏差绝对值之和1在参 数D定义域边界达到了最小值。 若设定D = 0，对 Dunham 白云岩和 Yamaguchi 大理岩拟合，平均偏差分别从 7.56 和 6.95 MPa 增 大到 8.77 和 8.90 MPa，但仍低于 Hoek-Brown 准 则的平均拟合偏差11.0 和 11.4 MPa。显然，含有单 一参数的抛物线准则 (40) S3cc3 4 对岩石强度的拟合优于含 2 个参数的 Coulomb 准 则，与 Hoek-Brown 准则相当或略优。 由式(40)可以得到 (41) Sc 33 d 1 d 式(41)在围压 0 MPa 时为无限大，即岩石强度 随围压急剧增加。图 6 中 Westerly 花岗岩的强度 不具备这一特征，因而不能用该准则进行描述。 式(40)是抛物线，顶点在(1/4，1/4)、对称轴为 第一象限平分线、准线通过原点，即 (42) 22 S3cS3c ()2() 其中，S/c1 的部分曲线见图 7。显然，为了描 述围压从 0 增加时岩石抗压强度急剧增加的特征， 抛物线已向右上移动至极限位置。 以下将式(40)所表示的强度准则称为正则抛物 线准则(Normal parabolic criterion)。 为保持抛物线的真实形状，纵坐标和横坐标的 尺度相同。岩石强度已经换算成量纲 一的数值。尤 明庆25中的赵固砂岩试验数据也在图 7 给出。可 以看出，低围压时强度准则给出的拟合值稍有偏高 (锦屏砂岩实际单轴压缩强度偏低属于异常试验数 据)，单一参数的正则抛物线准则能够以量纲一的 形式统一描述花岗岩之外的 6 种岩石强度特征。 从图 7 可以看出，单参数的正则抛物线准则可 以对砂岩、粗面岩、白云岩等的强度特征给出一个 很好的描述。其具体的适用性以及所体现的力学含 义需要进一步研究和讨论。 式(40)对应的正应力与剪应力关系为 (43) 2 S cc 对称轴为横坐标轴，顶点在坐标原点。其顶点 处曲率半径为c/2，即单轴压缩的应力圆是顶点处 密切圆，而抗拉强度为 0。 3/c S/c Yamaguchi 大理岩 Dunham 白云石 Westerly 花岗岩 Mizuho 粗面岩 赵固砂岩 平顶山砂岩 锦屏砂岩 S33 ccc 4 1 抛物线 对称轴 顶点 (1/4，1/4) 正则抛物线准则 Griffith 准则 3 8 1 2 3 4 0.20.00.81.0 0 2180 岩石力学与工程学报 2010 年 图 7 单参数的正则抛物线准则对 7 种岩石的拟合结果 Fig.7 Fitting results of normal parabolic criterion with one parameter for seven rocks 抛物线式(43)可以看作多种岩石应力圆的统一 外包络线。为清晰起见，图 8 仅绘出 Mizuho 粗面 岩的 7 个应力圆及其余 4 种岩石的最大应力圆。 需要强调的是，只有利用拟合偏差绝对值之和 最小确定强度准则，才能得到上述结果。若以 式(20) 对 Mizuho 粗面岩数据线性回归，可得 图 8 Mohr 应力圆与正则抛物线准则 Fig.8 Mohr stress circles and normal parabolic criterion (R = 0.999) 2 S3S3 ()222.28()12 824 (44) 但是，式(44)对3 = 0 无解，即式(44)的定义 域不包含3 = 0。P. R. Sheorey 等21，39也已经指 出这一现象。 利用拟合偏差绝对值之和最小确定 Fairhurst 准则中 2 个参数，得到D = 0(见表 2)，即仅含有单 一参数的正则抛物线准则，优于两参数的 Coulomb 准则和 Hoek-Brown 准则(见图 9)。显然，将强度 准则转换形式以进行线性回归，并不是可靠的参数 确定方法。过去没有注意到拟合精度较高而又简单 的正则抛物线准则，可能与采用最小二乘法拟合有 关。不同的拟合方法将得到不同的拟合结果40。 图 9 Mizuho 粗面岩 3 种强度准则的拟合结果 Fig.9 Fitting results of three strength criteria for Mizuho trachyte 4.3 Hoek-Brown 强度准则强度准则 从图 4 平均拟合偏差可以看出，Hoek-Brown 准则总是优于 Coulomb 强度准则，因