高一数学函数、函数与方程知识点总结.doc

学 优 教 育 朋友式相处 快乐式学习传定义近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射函数三要素定义域值域对应法则函数的表示方法解析法列表法图象法函数的基本性质单调性传统定义：在区间a，b上，若axxb，如果ff，则f在a，b上递增，a，b是递增区间；如果ff，则f在a，b上递减，a，b是递减区间。导数定义：在区间a，b上，若f0，则f在a，b上递增，a，b是递增区间；若f0，则f在a，b上递减，a，b是递减区间。最值最大值：设函数y=f的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有fM；存在xI，使得f=M，则称M是函数y=f的最大值。最小值：设函数y=f的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有fM；存在xI，使得f=M，则称M是函数y=f的最大值。奇偶性f= -f，x定义域D，则f叫做奇函数，其图像关于原点对称。f= f，x定义域D，则f叫做偶函数，其图像关于y轴对称。周期性：在函数f的定义域上恒有f= f（T0的常数）则f 叫做周期函数，T为周期；T的最小正值叫做f的最小正周期，简称周期。函数图像的画法描点连线法：列表、描点、连线变换法平移变换向左平移a个单位：y=y，x-a=xy=f向右平移a个单位：y=y，x+a=xy=f向上平移b个单位：x=x，y-a=yy-b=f向下平移b个单位：x=x，y-b=yy+b=f伸缩变换横坐标变换：把各点的横坐标x缩短（当w1时）或伸长（当0w 1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x=wxy=f横坐标变换：把各点的纵坐标y伸长（当A1时）或缩短（当0A 1时）到原来的A倍（横坐标不变），即y=y/Ay=f对称变换关于点（x，y）对称：x+x=2xy+y=2y关于直线x=x对称x=2x-xy=2y-y关于直线x=x对称x+x=2xy=yx=2x-xy=yy=fx=xy+y=2yx=xy=2y-y2y-y=f关于直线y=x对称x=xy=yy=f函数例题精讲例1. (1)设A=a,b,c,B=-1,0,1,映射f：AB 若映射f满足f(a)f(b)f(c),则映射f的个数为 。（4）解：列表法：f(a)f(b)f(c)f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0. 根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:f(a)f(b)f(c)10010-11-1-10-1-1由此可知符合条件的映射是4个.例2. (1)已知f(x)=x2+2x-1(x2),求f(2x+1)的解析式;(2)已知 ,求f(x1)的解析式. 解: (1) f(x)=x2+2x-1 (x2) 以2x+1替代上式中的x得 f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+12) f(2x+1)=4x2+8x+2 (x1/2 ) (2)由已知得 以x替代上式中的 得f(x)=x2-1 (x1) f(x+1)=(x1)2-1 (x+11)即f(x+1)=x2+2x (x0)例3.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f()=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，则a=_。(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立，则对f(x)的奇偶性的判定是?解: (1)由f()=-f(x)知f(x)是周期函数，且3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数f(-x)=f(x)(xR)，在此基础上，寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:f(2)=f(-2)=f(-2)+3=f(1) 而f(1)=a，f(2)=1， a=1(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x) 又这里f(x+T)=f(T-x) 为了靠拢，在中以(x+T)替代x的位置得 f(x+2T)=fT-(x+T)=f(-x)由， 得f(-x)=f(x) f(x)为偶函数.易错题例4. 已知函数f(x)=，y=g(x)的图象与y= 的图象关于直线y=x对称，求g的值.典型错解: 由题设知g(x)与 互为反函数 = g(x)=f(x+1) 由此得g()=f()=- 错因分析:上面正确，由导出出现错误.在这里的反函数是g(x)，但的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是y= ，而是y= -1；y= 的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.正确解法: (着力于寻求 的解析式):由已知得 = (x-2) =- (x-3)又由题设知g(x)的反函数为 ， = =- 令g()=b，则 = 由得- = ，解得b=-1，g()=-1.当堂检测1.设函数，则 2.已知的定义域为2，2，求的定义域_3. 已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式_.4. 设f(x)是在(,+)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间2，3上时，f(x)=2(x3)2+4，求当x1,2时f(x)的解析式_.5. 已知函数（1）若是增函数，求a的取值范围;（2）求上的最大值.直击高考1.函数y= ( x0)的反函数是(B ) A. y= (x-1)B. y= (x-1)C. y= (x0) D. y= (x0)2.(2004北京卷)函数f(x)= -2ax-3在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是(D )A. a(-，1B. a2，+)C. a1，2D. a(-，12，+3. 设函数f(x)的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数f，f(4)=0，则f=_-2_5. 已知函数y=f(x)是奇函数，当x0时，f(x)= -1.设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=_-2_6. 若存在常数p0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px)( xR)，则f(x)的一个正周期为_p/2_函数与方程零点：对于函数y=f，我们把使f=0的实数x叫做函数y=f的零点定理： 如果函数y=f在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有ff 0，那么，函数y=f在区间a，b内有零点。即存在c（a，b），使得f=0.这个c也是方程f=0的根。关系：方程f=0有实数根函数y=f有零点函数y=f的图像与x轴有交点知识梳理零点与根的关系二分法求方程的近似解确定区间a，b，验证ff 0，给定精确度；求区间a，b的中点c；计算f； 若f=0，则c就是函数的零点； 若ff 0，则令b=c（此时零点x（a，b）； 若ff 0，则令a=c（此时零点x（c，b）；判断是否达到精确度，即若，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复以上步骤。例题精讲1. 已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数的取值范围。解：设方程的两根分别为，则，所以由韦达定理得，即，所以2.判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。解：因为，所以在区间上有零点又当时，所以在上单调递增函数，所以在上有且只有一个零点。易错题3.设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ B ）A B C D不能确定当堂检测1.如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）A B C D2.已知函数，则函数的零点是_3.若方程有两个实数解，则的取值范围是（ ）A B C D4.函数的实数解落在的区间是( )A B C D5.求函数零点的个数为 （ ）A B C D直击高考1.设二次函数，方程的两根和满足；（1）求实数的取值范围；（2）试比较与的大小，并说明理由。解：令则由题意可得： 故所求实数的取值范围是。2.函数f=2+3x的零点所在的一个区间是（