注重数学思想方法在实际中的应用.doc

注重数学思想方法在实际中的应用湖北省松滋市南海镇新当中学 肖芝梅在数学教学过程中，随着新课程理念的落实，更注重引导学生把数学知识应用到实际生活中去。而数学知识内含着丰富的数学思想方法，数学思想方法是数学的灵魂，只有掌握了数学思想方法、并灵活应用它解决实际问题，才能体验数学的价值、形成个人的数学素养并转化为能力。为了帮助同学们理清数学思想方法在实际中的应用，现举例如下：一、分类讨论思想方法分类讨论指在解决问题时将可能产生的几种情况不重不漏地进行分类，是使解题过程清晰明了、考虑问题更加全面的一种严密思维策略.例1 已知a是有理数，试比较|a|与2a的大小.分析 由于a是有理数，则a可能是正数、0或负数，所以分三类讨论.解 当a0时，|a|=a0 2a=0 |a|2a 当a=0时， |a|= 0 2a=0 |a|=2a 当a0时，|a|=a0 2a0 |a|2a例2 等腰的周长为13，其中一边长为3，则该等腰的腰长为 。分析 本题需对3为腰或3为底分类讨论解 当3为腰时，则底为1333=7 又3+37不合题意 当3为底时，则腰长为（133）2=5 故应填5例3 在半径为5cm的O中，如果弦CD=8cm，直径ABCD，垂足为点E，则AE的长为 Cm分析 本题中CD弦的位置有两种情况，应分类讨论解 在图（1）中，由垂径定理求得CE=CD=4 ，连结OC，则OC=5，可求OE=3 AE=2同理，在图（2）中，AE=8，故AE的长为2或8二、化归转化的思想方法化归转化是把一般问题转化为特殊问题、把顺向思维转化为逆向思维，是解决新问题、获得新知识的一种基本的思维方式。例4 计算（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）分析 在式子前添上（2-1），便化归为反复运用平方差公式解 原式：=（21）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1） =（21）（2+1）（2+1）（2+1） = =（2） 1=例5 如图所示，已知ABC中，AB=AC，点F在AC上，在BA的延长线上取点E，使AE=AF，求证EFBC.分析：要证EFBC，而BC为等腰ABC的底边，据此作出辅助线将问题转化为证EFAD.证明 延长EF交BC于G，作ADBC于D.AB=AC 1=2= BAC AE=AF E=3又BAC=E+3 1=E EFAD ADBC EFBC例6 一艘轮船由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30方向上，在小岛P的周围18海里内有暗礁，若轮船仍按15海里/时的速度向前航行，有无触礁的危险？分析 解决这类实际问题，关键是审题、画出符合题意的图形，把它转化为数学问题.解 过P作PCAB于C，由题意知CAP=15CBP=30BPA=3015=15=CAP PB=BA=152=30在RtPCB中, PB=30，CBP=30 PC=PB=15 1518 即小岛P到航行AB的距离只有15海里.而小岛周围18海里内有暗礁，故该船继续向北航行会有触礁的危险。三、数形结合的思想方法数形结合指数学表达式与数学图形相结合，是把要解决的问题用图形的形式描述出来、能化繁为简的一种数学思想方法。例7 已知a0c ab0 |b|c|a|化简 |a+c|+|b+c|ab|分析 解此题关键是确定a+c，b+c，ab的符号，于是根据条件可确定a、b、c在数轴上对应的大致位置。解 由数轴知 a+c0，b+c0，ab0根据绝对值概念得 |a+c|+|b+c|ab|=a+cbca+b=0例8 在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是（0，0）（4，0）（3，2）以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第 象限。分析 利用已知条件正确画图、数形结合，能起到事半功倍的作用.解 A、B、C三点位置如图所示，要使四边形ABCD为平行四边形，则点D有三种可能，即分别以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，故第四个顶点不可能在第三象限。例9 如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，学校是否会受到噪声影响？请说明理由.如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？分析 借助图形来研究数量关系,能简捷明快地解答此题.解 （1）作ADMN于点D，在RtADP中，APD=30AD=AP=160=80（m） 80100 学校会受影响（2）以A为圆心，100m为半径画弧交MN于B、C两点，则BC为使学校受影响的路段，连接AB，在RtABD中，BD=（m）ADBC BC=2BD=260=120（m）又18km/h=5m/s 1205=24（S）答：学校受噪声影响，受影响的时间为24s.四、建模思想方法建模思想是将实际问题转化为某种类型的数学问题的思想方法、是将数学知识转化为应用能力的重要途径。例10 我国是一个缺水的国家，大家应该节约用水.据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05ml，小明同学没有把水龙头拧紧离开x小时后，水龙头滴了yml水。（1）试写出y与x之间的函数关系式.（2）当滴了1620ml水时，小明离开水龙头几小时？分析 本题从实际问题中寻找变量之间的关系、建立函数模型，可使问题迎刃而解。解 1小时为3600秒 每小时约滴水360020.05=360(ml) (1)y与x的函数关系式为y=360x（x0）（2）当y=1620时，有360x=1620 X=4.5当滴了1620ml水时，小明离开水龙头4.5小时。例11 某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m，因准备不足，第一天少拆迁了20%.从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度、第三天拆迁了1440m.求（1）该工程队第一天拆迁的面积，（2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数.分析 认真审题、找出等量关系，可建立方程模型解决问题。解 （1）1250（120%）=1000（m）（2）设要求的这个百分数为x则1000（1+x）=1440解得X1=0.2=20% X2=2.2（舍