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高等数学A2作业与练习答案 第九章 多元函数微分法及其应用作业题答案1 计算极限.解：利用，得 .2 设，求.解：，所以 .3 设，其中具有一阶连续偏导数，求.解：，.4 设，求.解：方程组中两个方程分别对求导，得，所以 ，.5 设，求证：.解：将y和z视为常量，对x求导，得；将x和z视为常量，对y求导，得 ；将x和y视为常量，对z求导，得 ，从而=.6 已知函数由方程确定，求.解：方程两边对求导，得 ， 上式两边对求导，得 .又 ，所以 .7 求圆周曲线在点处的切线和法平面方程.解：方程两边对求导，并移项得： ， ， ， .从而可取切向量，故所求切线方程为：,法平面方程为： 即 .8 证明曲面上任意一点的切平面在各坐标轴上截距的平方和等于常数.解：令，则 ，故在曲面上任一点处切平面方程为：.上式中令得切平面在轴上截距为：.由曲面方程对称性可知切平面在轴上截距分别为： ， .因此，.9 如果函数在点处的从点到点方向导数为2，从点到点方向导数为，求： 该函数在点处梯度； 点处的从点到点方向的方向导数.解：已知： ， ， ，.10. 一厂商通过电视和报纸两种方式做销售某种产品的广告。据统计资料，销售收入（万元）与电视广告费用（万元）及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下的经验公式：,试在广告费用不限的前提下，求最优广告策略.（提示：所谓最优广告策略是指，如何分配两种不同传媒方式的广告费用，使产品的销售利润达到最大。）解：设利润函数为，则由解得唯一驻点（0.75，1.25）,根据实际意义知，利润一定有最大值，且在定义域内有唯一的驻点，因此可以断定，该点就是利润的最大值点。因此当（万元），（万元）时，厂商获得最大利润（万元）。练习题答案1. 设，求解：令，则，所以 .2. 设，其中f 可导，求.解：.3. 已知，而是由方程确定的x，y的函数，求.解：将两个方程对x求导数，得解方程可得 .4. （1） 在处是否连续？（2） 是否存在？（3） 偏导数在处是否连续？（4） 在处是否可微？解：（1）函数在处是否连续，只要看是否成立.因为所以在处连续.（2）如同一元函数一样，分段函数在分界点处的偏导数应按定义来求.因为所以 ，类似地可求得.(3)当时.因为 不存在，所以在处不连续。同理在处也不连续（4）由于在处不连续，所以只能按定义判别在处是否可微.由，故 .由全微分定义知在处可微，且5. 求曲面平行于平面的切平面方程. 解：曲面在点的法向量为 n ，已知平面的法向量为n(1，4，6),因为切平面与已知平面平行，所以n/n,从而有 （1）又因为点在曲面上，应满足曲面方程 （2）由（1）、（2）解得切点为(1,2,2)及,所求切平面方程为：或。6. 在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大. 解：因为e, 所以由题意，要考查函数在条件下的最大值，为此构造拉格朗日函数.令解得可能取极值的点为 及 .因为所要求的最大值一定存在，比较，知为所求的点.7. 求由方程确定的函数的极值. 解：法1：将方程分别对求偏导，并联立方程组 由函数取极值的必要条件为： 将代入得： 为驻点. 将的两个方程分别对求偏导得： ， 取极值.将代入原方程得：.把代入：， 为极小值.把代入：， 为极大值.法2：配方法：原方程可变形为： 显然，当时，根号中的极大值为4，由此可知为极值，为极大值，为极小值.8. 某城市的大气污染指数取决于两个因素，即空气中固体废物的数量和空气中有害气体的数量.它们之间的关系可表示成.（1）计算和，并说明它们的实际意义；（2）当增长10%，不变或不变，增长10%，该城市的空气污染的情况怎样？（3）当增长10%，减少10%，该城市的空气污染是否有所改善？解： （1）由，得根据偏导数定义，表示当空气中有害气体且固定不变，对（当时）的变化率，也就是说是常量，是变量，且自10发生一个单位的改变时，大气污染指数大约改变个单位.同理，表示当空气中固体废物不改变时，对（当时）的变化率，或者说，当不变，自5发生一个单位的改变时，大气污染指数P大约改变个单位.(2) 显然在点处连续，根据增量公式，有 ，其中.当，增长10%时，1010%=1, ，则有；当，510%=0.5时,有.由此可见，当自变量，在点处一个保持不变，另一个增加10%时