2019高考数学二轮复习第一篇微型专题6解析几何知识整合学案理.docx

专题6解析几何一、直线和圆1.如何判断两条直线平行与垂直?(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有k1=k2l1l2.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行.(2)两条直线垂直若两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则k1k2=-1l1l2,当一条直线的斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.2.如何判断直线与圆的位置关系?设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d.方法位置关系几何法代数法相交d0相切d=r=0相离drr,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:位置关系相离外切相交内切内含几何特征dR+rd=R+rR-rdR+rd=R-rdb0)y2a2+x2b2=1(ab0)图形范围-axa-byb-bxb-aya对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=ca(0,1)a,b,c的关系c2=a2-b22.双曲线的标准方程怎么求?几何性质有哪些?标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形范围xa或x-a,yRxR,y-a或ya对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=baxy=abx离心率e=ca,e(1,+)实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b23.抛物线的标准方程是什么?几何性质有哪些?y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离顶点O(0,0)对称轴直线y=0直线x=0焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2离心率e=1准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR开口方向向右向左向上向下三、直线与圆锥曲线的位置关系1.怎样判断直线与圆锥曲线的位置关系?判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即Ax+By+C=0,F(x,y)=0消去y,得ax2+bx+c=0.(1)当a0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为,则0直线与圆锥曲线C相交;=0直线与圆锥曲线C相切;0)的渐近线方程为y=12x,则a=.解析因为a0,根据题意,双曲线的渐近线方程为y=2ax=12x,所以a=4.答案44.(2018天津卷文T7改编)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的渐近线方程为y=3x,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1,d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为().A.x23-y29=1B.x29-y23=1C.x24-y212=1D.x212-y24=1解析由题意可得图象,如图,CD是双曲线的一条渐近线y=bax,即bx-ay=0,右焦点为F(c,0),且ACCD,BDCD,EFCD,所以四边形ABCD是梯形.又因为F是AB的中点,所以EF=d1+d22=3,得EF=bca2+b2=b,所以b=3.又ba=3,所以a=3,故双曲线的方程为x23-y29=1,故选A.答案A(三)考查圆锥曲线的几何性质,属中等偏难题目,主要包含离心率、范围、对称性、渐近线、准线等性质.5.(2018全国卷文T4改编)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为(2,0),离心率为22,则C的标准方程为().A.x28+y22=1B.x212+y24=1C.x28+y24=1D.x28+y26=1解析因为椭圆焦点在x轴上,且c=2,离心率e=ca=22,解得a=22,所以b=2,故C的标准方程为x28+y24=1,故选C.答案C6.(2018全国卷文T10改编)已知点(4,0)到双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线的距离为22,则C的离心率为().A.2B.2C.322D.22解析由题意可知双曲线的一条渐近线为y=bax,即bx-ay=0,故点(4,0)到C的渐近线的距离d=|4b|a2+b2=22,整理可得a=b,故双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率e=ca=1+b2a2=2,故选A.答案A(四)考查圆锥曲线中的最值和范围问题,属偏难题目,主要考查以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值与取值范围问题.7.(2017全国卷文T12改编)已知椭圆C:x23+y2m=1离心率的取值范围为63,1,则m的取值范围为().A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)解析当0m3时,焦点在x轴上,则ca=1-ba263,ba33,即m333,得03时,焦点在y轴上,则ca=1-ba263,ba33,即3m33,得m9.故m的取值范围为(0,19,+),故选A.答案A8.(2017全国卷文T5改编)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的虚轴长为2,实轴长大于2,则双曲线C的离心率的取值范围是().A.(2,+)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2)解析由题意知,b=1,a1,则e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2.因为a1,所以11+1a22,则1e0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去)或k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16,解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.2.(2017全国卷T20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OPPQ=1,证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=2NM得x0=x,y0=22y.因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQPF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以OQPF=0,即OQPF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(二)已知图形的几何性质,求有关参数的值(或取值范围)3.(2018北京卷文T20)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q-74,14共线,求k.解析(1)由题意得a2=b2+c2,ca=63,2c=22,解得a=3,b=1.所以椭圆M的方程为x23+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由y=x+m,x23+y2=1,得4x2+6mx+3m2-3=0,所以x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34.所以|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=2(x2-x1)2=2(x1+x2)2-4x1x2=12-3m22.当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为6.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x12+3y12=3,x22+3y22=3.直线PA的方程为y=y1x1+2(x+2).由y=y1x1+2(x+2),x2+3y2=3,得(x1+2)2+3y12x2+12y12x+12y12-3(x1+2)2=0.设C(xC,yC),所以xC+x1=-12y12(x1+2)2+3y12=4x12-124x1+7.所以xC=4x12-124x1+7-x1=-12-7x14x1+7.所以yC=y1x1+2(xC+2)=y14x1+7.设D(xD,yD),同理得xD=-12-7x24x2+7,yD=y24x2+7.记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,则kCQ-kDQ=y14x1+7-14-12-7x14x1+7+74-y24x2+7-14-12-7x24x2+7+74=4(y1-y2-x1+x2).因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0.故y1-y2=x1-x2.所以直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=1.(三)求证图形的几何性质中一些几何量的相等问题4.(2018全国卷文T20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).(1)证明:k-12.(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:2|FP|=|FA|+|FB|.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y123=1,x224+y223=1.两式相减得(x1+x2)(x1-x2)4+(y1+y2)(y1-y2)3=0,由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23k=0.由题设知x1+x22=1,y1+y22=m,于是k=-34m.由题设可知点M在椭圆内部,所以14+m231,解得0m32,故k-12.(2)由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0,x20.由y=k(x-2),y2=2x,得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.1.圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域等,综合性比较强,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求的几何量或代数表达式表示为某些参数的函数解析式,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2.圆锥曲线的几何性质主要包括离心率、范围、对称性、渐近线、准线等.这些性质问题往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,主要考查利用几何量的关系求椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线方程.对于圆锥曲线的最值问题,正确把握圆锥曲线的几何性质并灵活应用,是解题的关键.3.圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题,常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题,综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法.4.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解