通用版2020版高考数学大一轮复习第7讲二次函数与幂函数学案理新人教A版.docx

第7讲二次函数与幂函数1.二次函数的图像和性质解析式y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0(a0)恒成立的充要条件是“a0且0”;(2)ax2+bx+c0(a0)恒成立的充要条件是“a0且0”.题组一常识题1.教材改编 若函数f(x)=4x2-kx-8在5,20上是单调函数,则实数k的取值范围是.2.教材改编 已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,2),则函数f(x)=.3.教材改编 函数f(x)=x2-2x+3在闭区间0,3上的最大值为,最小值为.4.教材改编 若函数y=x2+(a+2)x+3,xa,b的图像关于直线x=1对称,则b=.题组二常错题索引:图像特征把握不准出错;不会利用二次函数图像解决问题;二次函数的单调性理解不到位;忽略幂函数的定义域;幂函数的图像掌握不到位出错.5.如图2-7-1,若a0,则函数y=ax2+bx的大致图像是(填序号).图2-7-16.设二次函数f(x)=x2-x+a(a0),若f(m)”“”或“=”)7.若函数y=mx2+x+2在3,+)上是减函数,则m的取值范围是.8.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)npB.mpnC.npmD.pnm(2)2018乌鲁木齐二模 已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图像上,设a=f33,b=f(ln ),c=f22,则a,b,c的大小关系为()A.acbB.abcC.bcaD.ba4ac;2a-b=1;a-b+c=0;5ab.图2-7-4其中正确的是()A.B.C.D.总结反思 一般地,给定了二次函数的图像,我们可以从图像中得到下列信息:(1)开口方向;(2)判别式的正负;(3)对称轴;(4)特殊点的函数值的正负.微点2二次函数的单调性问题例4 (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(xR)的最小值为f(1),则f(2),f-32,f(3)的大小关系是()A.f(2)f-32f(3)B.f-32f(2)f(3)C.f(3)f(2)f-32D.f(2)f(3)f-32(2)已知二次函数f(x)=2kx2-2x-3k-2在区间-5,5上是单调函数,则实数k的取值范围为.总结反思 对于二次函数的单调性,关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解;(2)利用二次函数的单调性比较大小,一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较,或通过与对称轴之间的距离大小进行比较.微点3二次函数的最值问题例5 已知函数f(x)=x2+ax+3,当函数f(x)在区间-1,1上的最小值为-3时,求实数a的值. 总结反思 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.微点4二次函数的恒成立问题例6 (1)设函数f(x)=mx2-x-32,若对于一切实数x,f(x)0(a0)恒成立,即转化为a0,b2-4acf(cx)D.不确定3.【微点2】已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,5上为减函数,则实数a的取值范围为.4.【微点4】若一元二次不等式2kx2+kx-380,且过原点,故大致图像是.6.解析 f(x)=x2-x+a图像的对称轴为直线x=12,且f(1)0,f(0)0,而f(m)0,m(0,1),m-10.7.m-16解析 当m=0时,函数在给定区间上是增函数,不合题意;当m0时,函数是二次函数,其图像的对称轴为直线x=-12m,依题意知m0,-12m3,解得m-16.8.(3,5)解析 幂函数f(x)=x12在定义域(0,+)内单调递减,由f(a+1)0,10-2a0,a+110-2a,解得3a0时,根据题意知m1,所以0m1;当m=0时,函数为y=1(x0),符合题意;当mpm,故选C.(2)函数f(x)=(m-1)xn为幂函数,所以m=2.由题意,点(2,8)在幂函数的图像上,即8=2n,所以n=3,即f(x)=x3,则f(x)在(0,+)上是增函数,又33221ln ,所以f33f22f(ln ),所以acb,故选A.变式题2解析 易知m2-4m为偶数,且小于0,由m2-4m0,解得0m0,即b24ac,正确.对称轴为直线x=-1,即-b2a=-1,即2a-b=0,错误.结合图像知,当x=-1时,y0,即a-b+c0,错误.由对称轴为直线x=-1知,b=2a,又函数图像开口向下,所以a0,所以5a2a,即5a0,且其图像的对称轴为直线x=1.因为2,-32,3与对称轴之间的距离分别为|2-1|,-32-1,|3-1|,且|2-1|3-1|-32-1,所以f(2)f(3)f-32,所以选D.(2)f(x)是二次函数,k0.f(x)的图像关于直线x=12k对称,要使f(x)在区间-5,5上是单调函数,则必有12k-5或12k5,解得-110k0或0k110,即实数k的取值范围是-110,00,110.例5思路点拨 根据图像的开口方向和对称轴与区间-1,1的关系分类讨论求解.解:由题意得,函数f(x)=x2+ax+3的图像的对称轴为直线x=-a2. 当1-a2,即a-2时,f(x)在-1,1上单调递减,f(x)min=f(1)=1+a+3=a+4=-3,解得a=-7,符合题意.当-1-a21,即-2a2时,由题意得f(x)min=f-a2=43-a24=-3,解得a2=24,a=26或a=-26,不合题意,舍去.当-a2-1,即a2时,f(x)在-1,1上单调递增,f(x)min=f(-1)=1-a+3=4-a=-3,解得a=7,符合题意.综上可知,a=7或a=-7.例6思路点拨 (1)对m进行分类讨论,结合二次函数的图像和性质得到关于m的不等式,求得m的取值范围.(2)根据对称轴与区间m,m+2的位置关系进行分类讨论.解:(1)若m=0,则显然不成立;若m0,则m0,1-4m-320,解得m-16.综上可知,m-16.(2)f(x)2m-2在区间m,m+2上恒成立,即2x2-4x+m-20在m,m+2上恒成立,设g(x)=2x2-4x+m-2,其图像的对称轴为直线x=1.若m1,则函数g(x)在m,m+2上单调递增,要满足g(x)0,只需g(m)0,即2m2-3m-20,解得m2或m-12(舍);若m1m+2,即-1m1,则函数g(x)在m,m+2上的最小值为g(1),由g(1)0得m4,不符合题意,舍去;若m+21,即m-1,则函数g(x)在m,m+2上单调递减,要满足g(x)0,只需g(m+2)0,即2(m+2)2-4(m+2)+m-20,解得m-5-414或m-5+414(舍).综上可得,m的取值范围为m-5-414或m2.应用演练1.C解析 函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,x0,1,函数f(x)=-x2+4x+a在0,1上单调递增,f(x)有最小值f(0)=a=-2,f(x)的最大值为f(1)=3+a=3-2=1,故选C.2.A解析 由题意知,函数f(x)的图像关于直线x=1对称,b=2,又f(0)=3,c=3,则bx=2x,cx=3x.易知f(x)在(-,1)上单调递减,在1,+)上单调递增.若x0,则3x2x1,f(3x)f(2x);若x0,则3x2xf(2x).f(3x)f(2x),即f(bx)f(cx).故选A.3.a-4解析 易知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的图像开口向上,且以直线x=1-a为对称轴,若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,5上是减函数,则51-a,即a-4.4.(-3,0)解析 由题意知k0,且=k2+3k0,所以-3k0.5.-,12解析 由题意知2ax2+2x-30在-1,1上恒成立.当x=0时,符合; 当x0时,a321x-132-16恒成立.因为1x(-,-11,+),当1x=1,即x=1时,y=321x-132-16取得最小值12,所以a12.综上,实数a的取值范围是-,12.【备选理由】 例1考查常见幂函数的性质;例2考查含绝对值的二次函数的单调性,需要先去掉绝对值再求解;例3为轴定区间动的最值问题,需要依据对称轴进行分类讨论求解;例4为与二次函数有关的恒成立问题,结合了指数函数的性质.例1配合例1使用 已知a-1,2,12,3,13,若f(x)=xa为奇函数,且在(0,+)上单调递增,则实数a的值是()A.-1,3B.13,3C.-1,13,3D.13,12,3解析 B因为f(x)=xa为奇函数,所以a-1,3,13,又因为f(x)在(0,+)上单调递增,所以a3,13,因此选B.例2配合例4使用 若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+)上单调递增,则实数a的取值范围是.答案 -4,0解析 f(x)=x2+ax-2a,x2,x2-ax+2a,0x2,若函数f(x)在(0,+)上单调递增,注意到f(x)在x=2处连续,则只需-a22,a20-4a0.例3配合例5使用 设函数f(x)=x2-2x+2,xt,t+1,tR,求函数f(x)的最小值.解:f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,xt,t+1,tR,其图像的对称轴为直线x=1.当t+11,即t1时,函数图像如图所示,函数f(x)在区间t,t+1上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2.综