2019届高考数学考点五解析几何考查角度1直线与圆锥曲线的位置关系突破训练文.docx

考查角度1直线与圆锥曲线的位置关系分类透析一直线与圆锥曲线的位置关系问题 例1 已知直线x-2y+2=0与圆C:x2+y2-4y+m=0相交,截得的弦长为255.(1)求圆C的方程.(2)过原点O作圆C的两条切线,与抛物线y=x2相交于M,N两点(异于原点),证明:直线MN与圆C相切.(3)若抛物线y=x2上任意三个不同的点P,Q,R,满足直线PQ和PR都与圆C相切,判断直线QR与圆C的位置关系,并加以证明.分析 (1)利用弦长的一半、半径、弦心距构成直角三角形及勾股定理求出圆C的半径;(2)由于切线过原点,可设切线方程为y=kx,利用圆心到切线的距离等于圆的半径求k,再联立切线与抛物线方程,求出M,N两点的坐标,得出MN的方程,然后证明圆心C到MN的距离等于半径;(3)由三点在抛物线上,可设P(a,a2),Q(b,b2),R(c,c2),用a,b,c表示圆心C到直线QR的距离d,由直线PQ和PR都与圆C相切,得到a,b,c的关系式,再代入d,即可得直线QR与圆C相切.解析 (1)圆心C的坐标为(0,2),圆心C到直线x-2y+2=0的距离为d=|0-4+2|12+(-2)2=255.截得的弦长为255,r2=2552+552=1, 圆C的方程为x2+(y-2)2=1.(2)设过原点O的切线方程为y=kx,即kx-y=0,|0-2|k2+(-1)2=1,解得k=3.过原点O的切线方程为y=3x.不妨设y=3x与抛物线的交点为M,则y=3x,y=x2,解得x=3,y=3或x=0,y=0(舍去),故M(3,3),同理可求得N(-3,3),直线MN的方程为y=3.圆心C(0,2)到直线MN的距离为1且圆C的半径为1,直线MN与圆C相切.(3)直线QR与圆C相切.证明如下:设P(a,a2),Q(b,b2),R(c,c2),则直线PQ,PR,QR的方程分别为PQ:(a+b)x-y-ab=0,PR:(a+c)x-y-ac=0,QR:(b+c)x-y-bc=0.PQ是圆C的切线,|-2-ab|(a+b)2+1=1,化简得(a2-1)b2+2ab+3-a2=0.PR是圆C的切线,同理可得(a2-1)c2+2ac+3-a2=0.则b,c为方程(a2-1)x2+2ax+3-a2=0的两个实根,b+c=-2aa2-1,bc=3-a2a2-1.圆心到直线QR的距离为d=|-2-bc|(b+c)2+1=2+3-a2a2-14a2(a2-1)2+1=a2+1a4+2a2+1=1,且圆C的半径为1,直线QR与圆C相切.方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以借助代数法进行判断,而对于直线与圆的位置关系问题,则可以借助几何法进行判断.分类透析二直线与圆锥曲线的交点问题例2 已知抛物线C:x2=2y的焦点为F.(1)设抛物线上任意一点P(m,n),求证:以P为切点,与抛物线相切的切线方程是mx=y+n.(2)若过动点M(x0,0)(x00)的直线l与抛物线C相切,试判断直线MF与直线l的位置关系,并予以证明.分析 (1)利用导数求出抛物线的切线(或把直线与曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,利用判别式等于0求出斜率;(2)分别求出直线MF与直线l的斜率,找出其斜率的关系,即可得解.解析 (1)由抛物线C:x2=2y,得y=12x2,则y=x,在点P(m,n)处切线的斜率k=m,切线方程是y-n=m(x-m),即y-n=mx-m2.又点P(m,n)是抛物线上的一点,m2=2n,切线方程是mx-2n=y-n,即mx=y+n.(2)直线MF与直线l的位置关系是垂直.证明如下:由(1)得,设切点为P(m,n),则切线l的方程为mx=y+n,切线l的斜率k=m,点Mnm,0.又点F0,12,此时,kMF=12-00-nm=-m2n=-m212m2=-1m,kkMF=m-1m=-1,直线MF直线l.方法技巧 直线与圆锥曲线的位置关系问题可以转化为相应方程组的解来讨论,即联立方程组Ax+By+C=0,f(x,y)=0,通过消去y(或消去x)得到关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(ay2+by+c=0),然后进行讨论.这时要注意考虑a=0和a0两种情况,对双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况除a0,=0外,直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时,都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见,直线与圆锥曲线只有一个公共点,并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.分类透析三弦长问题例3 设椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴为23,E上一点P到右焦点距离的最小值为1.(1)求椭圆E的方程;(2)过点(0,2)且倾斜角为60的直线交椭圆E于A,B两点,求AOB的面积.分析 (1)根据已知条件寻找a,c的关系,进而解出a,c 及b的值;(2)先求出弦长|AB|,再求出点O到直线的距离可求AOB的面积.解析 (1)由题意得b=3,且a-c=1,a2-c2=3,a-c=1,解得a=2,c=1,椭圆E的方程为x24+y23=1.(2)过点(0,2)的直线的方程为y=3x+2,代入椭圆方程x24+y23=1,可得15x2+163x+4=0,判别式0恒成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-16315,x1x2=415,|AB|=1+k2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=83315.由点O到直线AB的距离d=21+(3)2=1,SAOB=|AB|2d=43315.方法技巧 解决直线与圆锥曲线的相交弦长问题时,一方面,我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),把它转化为代数问题,通过代数的计算,使问题得到解决;另一方面,由于弦长问题和平面几何联系得非常紧密,因此,我们要勤动手,准确地作出图形,并充分挖掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得到解决,注意圆锥曲线的几何性质的运用.1.(2018年全国卷,文20改编)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求抛物线C的方程;(2)求过点A,B且圆心到直线l的距离为22的圆的方程.解析 (1)由题意得Fp2,0,直线l的方程为y=x-p2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x-p2,y2=2px得x2-3px+p42=0.又=8p20,故x1+x2=3p.所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=4p.由题意知4p=8,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)因为圆心到直线l的距离为22,|AB|=8,易得圆的半径r=26.由(1)得直线l的方程为y=x-1,AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,|x0-y0-1|2=22,解得x0=5,y0=0或x0=1,y0=4.因此所求圆的方程为(x-5)2+y2=24或(x-1)2+(y-4)2=24.2.(2016年全国卷,文20改编)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,椭圆E的左顶点为A,斜率为k(k0)的直线交椭圆E于A,B两点,点C在椭圆E上,ABAC,直线AC交y轴于点D.(1)当点B为椭圆的上顶点,ABD的面积为2ab时,求椭圆的离心率e;(2)当b=3,2|AB|=|AC|时,求k的取值范围.解析 (1)由题意知,直线AB的方程为y=bax+b,直线AC的方程为y=-ab(x+a),令x=0,得y=-a2b.又SABD=12b+a2ba=2ab,于是a2+b2=4b2,a2=3b2,所以e=ca=63.(2)设直线AB的方程为y=k(x+a),联立x2a2+y23=1,y=k(x+a),整理得(3+a2k2)x2+2a3k2x+a4k2-3a2=0,解得x=-a或x=-a3k2-3a3+a2k2,所以|AB|=1+k2-a3k2-3a3+a2k2+a=1+k26a3+a2k2.设直线AC的方程为y=-1k(x+a),同理可得|AC|=1+k26a3k+a2k.因为2|AB|=|AC|,所以21+k26a3+a2k2=1+k26a3k+a2k,整理得a2=6k2-3kk3-2.因为椭圆E的焦点在x轴上,所以a23,即6k2-3kk3-23,整理得(k2+1)(k-2)k3-20,解得32kb0)的离心率为12,右焦点F(1,0).(1)求椭圆C的方程;(2)点P在椭圆C上,且在第一象限内,直线PQ与圆O:x2+y2=b2相切于点M,且OPOQ,求点Q的纵坐标t的值.解析 (1)由题意得ca=12,c=1,a=2,b=a2-c2=3,椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当PQx轴时,P3,32,Q(3,t),由OPOQ得OPOQ=0,可得t=-23.当PQ不垂直于x轴时,设P(x0,y0),直线PQ的方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0.PQ与圆O相切,|kx0-y0|k2+1=3,(kx0-y0)2=3(k2+1),2kx0y0=k2x02+y02-3k2-3.又Q(t-y0+kx0k,t),由OPOQ=0,得t=x0(y0-kx0)x0+ky0.t2=x02(y0-kx0)2(x0+ky0)2=x02(y0-kx0)2x02+k2y02+2kx0y0=x02(3k2+3)x02+k2y02+k2x02+y02-3k2-3=x02(3k2+3)(1+k2)x02+(1+k2)(3-34x02)-3k2-3=12,t=23.综上可得,t=23.2.(2018届贵州省黔东南州一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,动直线l:x-my-1=0(mR)经过点F2,且AF1F2是等腰直角三角形.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l交C于M,N两点,若点A在以线段MN为直径的圆外,求实数m的取值范围.解析 (1)因为直线l:x-my-1=0经过点F2,所以c=1.又AF1F2是等腰直角三角形,所以a2+a2=(2c)2,所以a2=2,所以b2=a2-c2=1.故椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)设M(my1+1,y1),N(my2+1,y2),联立x-my-1=0,x22-y2=1,消去x得(m2+2)y2+2my-1=0,所以y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2.因为点A在以线段MN为直径的圆外等价于AMAN0,所以AMAN=(m2+1)y1y2+(m-1)(y1+y2)+2=(m2+1)-1m2+2+(m-1)-2mm2+2+20,所以m2-2m-30,解得-1mr,此时不满足直线与圆相交,故舍去,圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.(3)点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB|+|PQ|BQ|.又点B到圆上点Q的最短距离为|BC|-r=(-6)2+32-5=35-5=25,|PB|+|PQ|的最小值为25,直线BC的方程为y=12x,则直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为-43,-23.4.(安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测)直线y=kx+4与抛物线C:x2=2py(p0)交于A,B两点,且OAOB=0,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程;(2)当k=0时,过点A,B分别作C的切线相交于点D,点E是抛物线C上在A,B之间的任意一点,抛物线C在点E处的切线分别交直线AD和BD于点P和Q,求ABE与PQD的面积之比.解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+4代入x2=2py,得x2-2pkx-8p=0.其中0,x1+x2=2pk,x1x2=-8p.所以OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+x12x224p2=-8p+16.由-8p+16=0,得p=2.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)当k=0时,A(-4,4),B(4,4),易得抛物线C在点A,B处的切