MATLAB综合性实验报告7.doc

本科学生综合性实验报告一、实验综述1、实验目的及要求学习由实际问题去建立数学模型的全过程；训练综合应用数学模型 、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题；应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计 matlab程序来求解其中的数学模型；提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力。 通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。2、实验仪器、设备或软件电脑 MATLAB二、实验过程（实验步骤、记录、数据、分析）内容1数学建模的基本方法；2查阅资料理解 Malthus 人口指数增长模型和 Logistic 模型； 3Matlab软件中曲线拟合函数的异常情况处理； 4误差分析与模型检验。步骤 1分析理解 Malthus 人口指数增长模型和 Logistic 模型 ； 2利用 Matlab 软件求解上述两个模型； 3设计数据拟合方法； 4编写M文件，保存文件并运行观察运行结果 ( 数值或图形 ) ，并进行误差分析； 5利用至少两种模型预测人口数量； 6分析、整理和总结，写出实验报告。要求与任务从 1790 1990 年间美国每隔 10 年的人口记录如下表所示：用以上数据检验马尔萨斯 ( Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010 年的人口数量。 提示 1 ： Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。记时刻 t的人口为 x ( t )（即 x ( t )为模型的状态变量），且初始时刻的人口为 ，于是得到如下微分方程： 提示 2 ：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设 人口的增长率为x 的减函数，如设 r(x)=r(1-x/xm) ，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ，xm为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程： 解答指数增长模型（马尔萨斯人口模型）1 假设：人口增长率是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.2 建立模型： 记时刻t=0时人口数为x0=3.9, 时刻t的人口为，由于量大，可视为连续、可微函数.t到时间内人口的增量为：于是满足微分方程： （1）3 模型求解： 用MATLAB求解，dsolve(Dx=r*x,x(0)=3.9,t)ans = (39*exp(r*t)/10即Xt=3.9rt （2）表明：时，（0）.4 模型的参数估计：对非线性模型Xt=3.9rt回归分析建立M文件volum.mfunction xhat=volum(beta,t)xhat=3.9*exp(beta(1)*t);输入数据t=0:10:200;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;beta0=0.01;求回归系数beta,r,J=nlinfit(t,x,volum,beta0);beta结果beta =0.0217预测及作图YY,delta=nlpredci(volum,t,beta,r,J);plot(t,x,k+,t,YY,r)通过表中17901980的数据拟合得： =0.0217. 5 模型检验： 将x0=3.9，=0.0217 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的17901990的人口数，t=0:10:200;x=3.9*exp(0.0217.*t)x = Columns 1 through 143.9000 4.8451 6.0193 7.4781 9.2904 11.5418 14.3389 17.8139 22.1309 27.4942 34.1573 42.4351 52.7190 65.4952Columns 15 through 2181.3676 101.0865 125.5842 156.0188 193.8290 240.8024 299.1594从图和数据可看出，17901990间的预测人口数与实际人口数吻合较好。6 模型应用：现在预测美国2010 年的人口数量：t=220;x=3.9*exp(0.0217.*t)x = 461.7283所以，美国2010 年的人口数量为461.7283百万人。 阻滞增长模型（logistic模型）1假设：（a）人口增长率为人口的函数（减函数），最简单假定（线性函数），叫做固有增长率.（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量.2建立模型： 当 时，增长率应为0，即=0，于是，代入得： （3）将（3）式代入（1）得：模型： （4） 3 模型的求解： dsolve(Dx=r*(1-(x/xm)*x,x(0)=3.9,t)ans =xm/(1+1/39*exp(-r*t)*(10*xm-39)4 模型的参数估计：建立M文件volum.mfunction xhat=volum1(beta,t)xhat=beta(1)./(1+(beta(1)/3.9-1).*exp(-beta(2).*t);输入数据t=0:10:200;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;beta0=500 0.02;求回归系数beta,r,J=nlinfit(t,x,volum1,beta0);beta结果beta = 311.95560.0280预测及作图YY,delta=nlpredci(volum1,t,beta,r,J);plot(t,x,k+,t,YY,r)利用表1中17901990的数据对和拟合得：=0.0280, =311.9556. 5 模型检验：将=0.0280, =311.9556代入，求出用指数增长模型预测的17901990的人口数t=0:10:200;x=311.9556./(1+(311.9556/3.9-1).*exp(-0.0280.*t)x =Columns 1 through 13 3.9000 5.1394 6.7641 8.8876 11.6521 15.2334 19.8427 25.7257 33.1550 42.4118 53.7548 67.3733 83.3284Columns 14 through 21101.4940 121.5149 142.8054 164.6021 186.0660 206.4082 224.9996 241.4350从图和数据可看出，17901990间的预测人口数与实际人口数比指数增长模型（马尔萨斯人口模型）更吻合。 6 模型应用： 现应用该模型预测2010年