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高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 1 页/共 17 页 第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续 1.1 函数函数 1、 （1） （2） （3） 2、(1)不同，定义域不同； (2)不同，定义域不同； （3）相同 3、 (1) 1,2； (2) 1,e 4、 （1）偶； （2）非奇非偶； （3）奇. 5、 (1) 1 1 y x ；(2)ln 1 x y x 6、 (1) 2, 21yuux； (2) cos ,2 3yu ux； (3) 3 e ,sin u yuvvx； (4) arcsin ,ln ,21yu uv vx 7、 (1) 1 2 ( ) 1 2 x x f g x ； (2) ( ) 2 x f g x x ； (3) 2 ( )tan(313)f g xx 8、略 9、2,2()kkk 10、 2 1 23xx 11、( ( ) 12 x f f x x ；( ( ( ) 1 3 x f f f x x . 1.2 极限极限 1、(1) 0 n n x ；(2) 3 n n x ； (3) 极限不存在； (4) 极限不存在 2、(1) 例： 10 ( ) 10 x f x x ，( )0g x (2) 例： 10 ( ) 10 x f x x ， 10 ( ) 10 x g x x 3、(1) 极限不存在； (2) ， 2 arctan x x arctan 2 x x ， x时,xarctan的极限不存在； (3) ，11 xx e 1 e xx ， x时， x e1的极限不存在 4、 0 lim1 x x x ； 当0x 时，( ) x x x 左、右极限不一样， 极限不存在 5、 0 lim( )1 x f x ； 1 lim( ) x f x 不存在. 1.3 极限的运算法则极限的运算法则 1、2； 2、0； 3、2x； 4、 1 2 5、 1 2 6、 1 2 7、1,1ab . 8、2,8ab 1.4 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 1、(1) e 1 ；(2) 2 e；(3) -2 e；(4) 1；(5) 0； 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 2 页/共 17 页 (6) 3 5 ；(7)2；(8)2 ；(9) x；(10) 1 2 . 2、1 3、lim2 n n x . 1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 1、 （1）x时是无穷小；0x 时是无穷大. （2）x时是无穷小；1x 时是无穷大. （3）() 2 xkk 时是无穷小； ()xkk时是无穷大. （4）1x 时是无穷小；0x 以及x时 是无穷大. 2、 （1）既不是无穷小，又不是无穷大； （2）前者是无穷小，后者是无穷大. 3、 （1）错（2）正确（3）正确（4）正确 （5）错例：当0x 时，x与 2 x均是无穷小， 但商为无穷大 （6）错例：当x时，x和1x 均是无 穷大，但其和为有界函数 （7）正确 4、，理由理由：无穷小的倒数是无穷大. 5、，理由理由：无穷小的倒数是无穷大. 6、(1)xx arctan； (2)ea 时等价; ea 时同阶； (3) 同阶； (4) 同阶 7、(1)6n； (2) 1n； (3) 1 2 m ，2n 8、 （1） 3 2 （2） 2 3 （3） 1 2 1.6 连续函数的概念与性质连续函数的概念与性质 1、连续 2、(1)1x 是可去间断点，3x 是无穷间断点. (2) 0x 是可去间断点，0xkk是无穷 间断点 (3) 0x 是第跳跃间断点，1x 是无穷间断点. (4) 1x 是无穷间断点. (5) 0x 是跳跃间断点，2x 是无穷间断点. （6）（）（，）（0100100fff, ，0x第一类跳跃 3、(1) 0a （2）1a ，eb 4、43ab， 5、(1) 1 12ln e ；(2) 0；(3) 1/2；(4) 0； (5) lna；(6) 2 3ln2 ln 3 (7) 2 e (8) 1 6、 解： 令 5 ( )31f xxx， 显然( )0,1f xC. (0)10,(1)10ff ，由零点定理知，至 少存在一点使得( )0f，原即方程在 0 与 1 之间至少有一实根 证毕 7、解：令( )21 x f xx，显然( )0,1f xC. (1)10,(0)10ff ，由零点定理知，至 少存在一点使得( )0f，原即方程至少有一 个小于 1 的正根 证毕 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 3 页/共 17 页 8、(,) 9、1a 10、间断 综合练习题一综合练习题一 1、 3(31) 1,0, ( )31,01, ,1. xx f f xxx xx 2、证：当0x 时， 1 ( )( ) c af xbf xx 1 ( )( )afbf xcx x 联立得： 22 ( )( ) ac a f xb f xbcx x 22 ( ) ca f xbx abx . 又(0)0f， 显然( )f x是奇函数. 证毕 3、证明略 4、ln3c 5、 （1）0（2）3（3） a n .（4） 1 2 e （5） 1 e （6） 1 2 6、 1 2 7、1x 是无穷间断点；1x 是可去间断点； 0x 是跳跃间断点. 8、解解： 2 1, | 1 0, | 1 1 lim 1,11 0,1 n n xx x x f x xx x （） 1x 是函数的跳跃间断点. 在点1x 处连续. 9、0a ，b . 10、 （1）0（2）3（3） 1 2 11、证证：由于令( )f x在 , a b上连续，且. 12n axxxb，故( )f x在 1 , n x x上 连续，由最值定理知，在 1 , n x x上( )f x有最大 值M和最小值m，即有 1 ( ),() n mf xMmf xM 于是，可得 12n f xf xf x mM n 由介值定理可知，在 1 , n x x上至少存在一点， 使得 12 ( ) n f xf xf x f n 证毕 12、证证：令( )( )e2 x F xf xxx，显然 ( )F x在0,2上连续，且 0(0)10Ff 2 2(2)2e40Ff， 由零点定理可知， 在0,2上必存在点使( )0F， 即( )f 13、11ab. 第第二二章章 一元函数的导数与微分一元函数的导数与微分 2.1 导数的概念导数的概念 1、 （1）6 （2）1 2、 （1）(0) f （2） 0 ()fx（3） 0 4()fx 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 4 页/共 17 页 3、4,5ab 4、1,1yx yx 5、证法一证法一： 00 ( )(0)( )(0) (0)limlim 0 xx f xff xf f xx 00 ( )(0)()(0) (0)limlim tx xt f xfftf f xt （因为( )f x为偶函数） 0 ( )(0) lim(0)(0) t f tf ff t （因为(0)(0)(0)fff ） (0)(0)(0)0fff . 证毕 证法二证法二： 00 ( )(0)( )(0) limlim(0) 0 xx f xff xf f xx 00 ()(0)( )(0) (0)limlim 0 xx fxff xf f xx (0)(0)0ff. 证毕 6、(0) 1 a f k 2.2 函数的函数的求导法则求导法则 1、 （1） yx x lnln2222 (2) 2 1 (1) y xx (3) 2 cossinxxx y x (4)(2)(3)(1)(3)yxxxx (1)(2)xx (5) 2 1 cossin (1 cos ) xx y x 2、 （1）-2 （2） 2 (1) 42 3、 (1) 24 5 21 ()yxxx (2)3sin(4 3 )yx (3) 22 x y ax (4) 2 4cos 2sin4yxx (5) arctan 21 x e y xx (6) 1 2(1) y xx (7)secyx (8) 11 sincos sinsin cos nnnn ynxxxxxx (9) 2 2 arcsin 3 9 x y x 4、 证证：（1） 设( )f x为偶函数， 且可导， 下证( )fx 为奇函数. 00 xDxD ， 0 0 0 0 ( )() ()lim xx f xf x fx xx 0 0 0 0 ( )() ()lim xx f xfx fx xx 00 00 00 ()()( )() limlim tx txtx ftfxf tf x txtx 0 0 0 0 ( )() lim() t x xx f xf x fx xx 所以，( )fx为奇函数. 证毕 另一个同理可证. （2） 设( )f x是以T为周期的周期函数， 且可导， 下证( )fx也是以T为周期的周期函数. 00 xDxTD， 0 0 0 0 ( )() ()lim xx f xf x fx xx 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 5 页/共 17 页 0 0 0 0 ( )() ()lim () xxT f xf xT fxT xxT 0 0 0 ()() lim x T t tx f Ttf xT tx 0 0 0 0 ( )() lim() tx f tf x fx tx . 证毕 5、 44 5(3) ,5xx 6(1) -2 4 () tt y ee (2) 2 1 x y x 2.3 高阶导数高阶导数 1. (1) 2sincosxxx (2) (27)exx (3) 22 3 () x y ax 2(1)!n (2) (). x xn e (3) 1 1 2sin 2 2 nn n yx . (4) ( ) 1 ( 1)! (1) n n n n y x 3. (1) 2 sin22cos2 . e (2) 2 2e . 2.4 隐函数的导数与由参数方程所确定的函数隐函数的导数与由参数方程所确定的函数 的导数的导数 1、(1) cossin 1 sincos (2) cossin sincos tt tt 2、 2 23 d1 d y xt 3、 (1) 2 2 . ayx yax (2) y yxxy xxy sincos() coscos() 4、 （1） 4 5 2 3145 2431 1 xx xxx x （2） 2tan22 2 2 tan (1)secln(1) 1 x xx xxx x 2.5 函数的微分函数的微分 1、参考答案： （1）可导与可微是等价的，即存在 性是一样的. （2）导数和微分是两个完全不同的概念. 导数 0 ()fx是一个数；是函数在该点处的变化 率； 是曲线( )yf x在点 00 (,()xf x处的切线的 斜率. 微分 0 d()yfxx是函数( )f x在点 0 x处增量（改变量）的线性主部，是y的近似 值，是x的线性函数；是曲线( )yf x在点 00 (,()xf x处的切线的纵坐标在点 0 x的改变量. 2、(1)(sin22 cos2 )d .xxxx (2) 2 3 1 d (1) x x (3) 2ln 1) d . 1 x x x （ 3、 （1） 3 1 3 xC（2）cosxC （3） 1 sin3 3 xC（4） 21 1 2 x eC （5） 1 ln(31) 3 xC（6）lnln xC 4、d x 5、 1sin dd 1sin yxy yx xxy 2.6 微分中值定理微分中值定理 1、方程( )0fx有且仅有三个实根,它们分别在 区间( 2, 1),( 1,0),(0,1) 内. 2、证证：(0)10,(1)10ff ，由零点定理 得，函数在(0,1)内至少存在一零点. 下证函数在 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 6 页/共 17 页 (0,1)内不可能有两个及以上的零点. （反证法） 不妨令 12 01xx是函数的两个零 点， 即 12 ()()0f xf x. 1 ( )(,)f xC ， 由 Rolle 定理得：至少存在一点(0,1)，使得 ( )0f. 而实际上， 2 ( )33fxx在(0,1) 内无实根，矛盾. 证毕 3、证证：设 sinf tt，则( )f t在 , y x上连续， ( , )y x内可导，由 Lagrange 中值定理得：至少存 在一点( , )y x，使得 sinsin ( ) xy f xy ， 即 sinsin cos xy xy ，于是有： sinsin cos1 xy xy 整理变形即可. 证毕 4、证证： 设 2 2 2arctanarcsin 1 x f xx x 当x 1时， 2 2 2arctanarcsin 1 x fxx x 22 2 2 212 11 2 1 1 x xx x x 22 22 2 2 2 2 2 14 21 1 1 1 1 xx x x x x 22 22 0 11xx 所以 1f xC x 又因为 10f 所以 2 2 2arctanarcsin0 1 x f xx x 整理变形即可. 证毕 2.7 洛必达法则洛必达法则 1、 （1）2 ； （2）1； （3） 1 3 ； （4）1. 2、 （1）不能 极限为 1 （2）不能 极限为 1 （3）不能 极限为 1 3、 1 ( ) 2 fa 4、( )fx. 5、 1 6 .（提示：令 1 t x ） 6、 5 1, 2 ab . 2.8 泰勒公式泰勒公式 1、 1 6 . 2、 1 2 . 3、证证： 1 1 1 2 2 1 1 1 12 2 11(1) 22! xxxx (01) 3 2 2 111 1(1)1 282 xxxx . 证毕 4、 23 11 () 2!(1)! xnn xexxxxo x n 2.9 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 1、证证： 2 1 ( )1 1 fx x 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 7 页/共 17 页 当(,)x 时，( )0fx. 故函数( )f x在 区间(,) 内单调减少 证毕 2、解： 2 ( )3693(1)(3)fxxxxx 令( )0fx得： 12 1,3xx . 列表解析： 3、 2 2 , 3 3 单调增, 2 (, 3 , 2 ,) 3 单调减. 4、证略 5、 凸区间(,1， 凹区间1,), 拐点 11 (1,) 9 6、 39 , 22 ab 2.10 函数的极值与最值函数的极值与最值 1、单调增区间为 , 1 , 3, ； 单调减区间为1,3 极小值(3)47f ；极大值( 1)17f . 2、 2 ,0 5 xx 3、最大值为 2,最小值为 -2. 4、最小值 3 27 x y 5、储油罐底半径 3 2 5 V r ，高为 3 25 4 V h 6、 4 3 R 2.11 函数图形的描绘函数图形的描绘 1. 水平渐近线0y . 2. 水平渐近线0y ；垂直渐近线0x . 2.12 曲率曲率 1. 曲率2K ,曲率半径 1 2 . 2. 2 x 处曲率最大,为 1. 综合练习题综合练习题二二 1. （1）)(sec2 5 sin 5 1 2 3cos3 22 xx x x x y （2）3e (cossin )sec tan x yxxxx （3） 2 222 2(1)sin4 cos (1) cos xxxx y xx (4) 2 sec (12)x y x (5) 2 1 1 y x (6) 1 lnln ln y xxx (7) y x xx xx x x 322 22 1 2 1 2 3 ln ()ln cos (8)arcsin 2 x y 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 8 页/共 17 页 2. 22 d sin2(sin)(cos) d y x fxfx x 3. d11 2 d y xff xxx 4. 1 ( )ft 5. sin (tan )(cos lntansec )(ln1) xx xxxxxx 6. 2 8tan3sec 3dx. 7、 d d e1 y x y 8、0 9、 （1） （2） 5 2 （3） 1 2 (4) 0 10、证明：设 3 ( )3f xxxm，则 2 ( )330fxx，所以( )f x在, 上 单调增加；当4m 时，有140fm， 140fm，由零点定理可知，存在且只 存在一点1,1 ，使得 0f，即当 4m 时，证明：方程 3 30xxm只有一个 实根 11、hm. 12、 （1）（2）（3）（4）（5） 13、 2 (,),( ,) 3 aa单调增, 2 (, ) 3 a a上单调减. 14、略 15、3,9,8abc. 16、 3,0,1abc 17、两个正数都是 4 18、 5 4 Q 时，最大利润为 25 4 L Q . 高等数学期中高等数学期中自测题答案自测题答案 一、一、填空题填空题（本题共本题共 6 小小题，题，每小题每小题 3 分，共分，共 18 分分） 1. ( 1,1) 2. e 3. 0 4. 1yx 或 1yx 5、e 6、(cose ) x x 二、二、单项单项选择题选择题（本题共本题共 6 小题，小题，每小题每小题 3 分，分， 共共 18 分分） 1 （C）2 （B）3. （B） 4. （B） 5. （C） 6、 （C） 三三. 判断判断题题（本大题共（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 2 分分, 共共 10 分）分） 1、 2、 3、 4、 5、 四四. 计算题（计算题（本大题共本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分分, 共共 24 分分） 1、解：解： 2 2 00 1 1 cos 2 limlim sin xx x x xxx 1 2 2、 d ( ) sin(sin ) d y xxxx x sincosxxx 3. 解：解：eee(1)e xxxx yxyxx (2)exyx (3)exyx (4) (4)exyx 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 9 页/共 17 页 五五、综合综合题（题（本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分分, 共共 30 分分） 1 、解解: 22 e3 x yx， 2 2e6 x yx 2 dd(2e6 )d x yy xxx 2 00 d(2e6 )d2d x xx yxxx 2. 解：解：设 5 ( )1f xxx ( )f x在 1,0上连续，且(0)10f ， ( 1)10f 故由零点定理知，( )f x在 ( 1,0)内至少有一个零点。 4 ( )510fxx ，( )f x在 ( 1,0)内单调增 加。因此，曲线( )yf x与x轴至多只有一个交 点。 所以方程 5 10xx 在( 1,0)内有且仅有 一个实根。 3. 解：解： 两边同时对x求导得：e0 y yyxy ey y y x ， 0 1 1 (0) e e x y y y y x 4. 解：解： 32 3yxx， 2 363 (2)yxxx x ； 666(1)yxx ； 00,2yxx 令得： 01yx 令得： 故( )yf x在(,0)和(2,)为单调增 加区间，(0,2)为单调减少区间 极大值为 (0)0f；极小值为(2)4f 曲 线( )yf x 在(,1)为 凸 区 间 ， (1,)为凹区间 拐点为(1, 2) 5. 解解：设房间每天定价为x 元，则宾馆有客人住 宿的房间为 180 50 10 x 套 每天的总收入为： 180 ( )(20)(50)(20)(68) 1010 xx R xxx 1 ( )(68)(20)()70 10105 xx R xx. 令( )0R x得唯一驻点为：350x . 由于每天总收入的最大值一定存在，函数又 只存在唯一驻点，故该驻点为函数的最大值点， 即当房间每天定价为 350 元时， 宾馆总收入最大， 为：(350)10890R元 第第三三章章 一元函数一元函数积积分分学学 3.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 1. 求下列不定积分： （1）sincossin3xxxC 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 10 页/共 17 页 （2） 31 22 210xxC （3）2arctanxxC （4）cossinxxC （5）3tan xxC （6） 2 1 2 xx eexC 2 2 21yxx 32ln1yx 3.2 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法 1、用凑微分法求下列不定积分： （1） 4 3 3 1 1 4 xC； （2） 2 cos C x （3） 2 1 arctansin 2 xC； （4） 33 444 3 d3dd 111 xxxx xxx xxx 42 24 2 3111 d 1d 4 12 1 xx x x 42 31 ln(1)arctan 42 xxC； （5） 1 cosC x ； （6） 3 arcsin 3 x C （7）ln 2exC （8）lnlnlnxC （9）2 sincosxxC 2、用换元积分法求下列不定积分： （1） 2 1 x C x ； （2）c xaa x 222 ； （3）2ln(12 )xxC （4） 121 ln 2 221 x C x （5） 11 ln 11 x x e C e ； （6）解解：令 1 , t x 则 2 11 , ddxxt tt . 72 7 111 dd 1 1(2) 2 xt x xt t t 6 7 77 11 dd(1 2 ) 1 214 1 2 t tt tt 7 7 112 ln 12ln 1 1414 tCC x . 3.3 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法 1、lnxxxc 2、 2 211 cos2sin2 42 x xxxC 3、 22 ln11xxxxC 4、 2 1 tantan 2 xxxxC 3.4 其它类型不定积分举例其它类型不定积分举例 1、10 4 ln5ln2 77 xxC 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 11 页/共 17 页 2、 2tan1 2 2 arctan 33 x C 3、ln sinln1 sinxxC 4、 44 244ln(1)xxxC 3.5 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 1、 11 2 00 1ddxxx x . 2、 （1）4, 24； （2）1, e； （3）, 2 3、 （1） 1 3 0 dxx 1 4 0 dxx ； （2） 10 2 0 sindx x 2 2 0 sindxx ； （3） 2 1 2dxx 2 1 1 3dx x 3.6 微积分基本公式微积分基本公式 1、 （1） 4 3 ； （2）2； （3）1； （4） 1 3 . 2、 （1）arctan x； （2） 4 1 1x ； （3） 21 23 32 11 ln(1)ln(1) 32 xxxx （4）tanx 3、 （1） 1 6 （2） 1 3 4、4,1.ab 5、 （1） 65 12 ；(2) 5 2 ； （3） 解解： 22 00 sin d1 d(cos ) 1 cos1 cos xx x xx 0 arctan(cos ) 2 | x . （4） 2 23 3 . 6、1. 3.7 定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法与分部积分法 1、 （1）4； （2） 2 1 e1 4 . （3） 2 （4）1 （5） 1 2 1e （6）2 2 2、 （1） 3 2 （2） 3 324 （3）0 3、证证： 2 2 32 00 1 ()d( )d 2 t x aa x f xxtf tt 2 0 1 ( )d 2 a xf xx . 证毕 4、 71 3e . 3.8 定积分的几何应用定积分的几何应用 1、（1） 2 2 1(2 )dxxx ；（2） 1 2 0 d a x axx a （3） ln ln d b y a ey 或 0 (lnln )d(lnln )d ab a baxbxx 2、 2 3 ； 3、 2 3 a 4、16 15 ， 16 15 ； 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 12 页/共 17 页 5、) 12(2； 6、略 3.9 定积分的物理应用举例定积分的物理应用举例 1、 5 8.75 10(J)g 2、 4400 (N) 3 g 3、 2 1 2 hR. 3.10 反常反常积分积分 （1） 2 ln2 3 ； （2）发散 （3） 2 （4） 综合练习题综合练习题三三 1、提示：提示：用洛必达法则. 2、求下列不定积分 1) 2 3 3 sincos 2 xxC 2) 22 2 1xa C ax 3) 2 2 11 ln1ln1 2422 xx xxxC 4) ln cossinxxC 5) 35 222 22 21 111 35 xxxC 6) 2 (arctan)xC 7) sin lncos ln 2 x xxC 8) 11 sin 2cos 2 224 x xxxc 9) 1 e1 (24) 1 e2ln 1 e1 x x x xC . 10) 2 1 ln1arcsinxxC x 3、 3 1 ( )1 3 f xxx. 4、 2sin cos x xC x . 5、计算下列定积分 （1） 3 2 ； （2） 1 4 3 23 ； （3） 2 4 ； （4） 1 2 1 e （5）1 （6） 4 6、前一种做法正确，后一种做法错误，错误之处 在于： 1 arctan x 不是 2 1 1x 在 1,1上的原函 数. 7、错误在于对不定积分 cos d sin x x x 的理解. 8、0 9. 9 4 ； 10. 32 92 ； 11. 2 2ab； 12. 22 6!8!32 6 7!9!105 abab . 第四第四章章 常常微分方程微分方程 4.1 微分方程微分方程的的基本概念基本概念 1、 （1） 一阶； （2）二阶； （3）一阶；(4)三阶 2、不是 3、 （3） （4） 4、略 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 13 页/共 17 页 5、所求函数为（1） 2x yxe （2） cosyx 6、 2 xy ；7、 y x y 4.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 1 （1）1010 yx C （2） eC xy 2 （1）特解为 lntan 2 x y （2）y x x 2 1 1 3 lnln 3. 22 1yx 4.3 齐次齐次方程方程 1 （1）xyCe y x 22 arctan （2）ln1 y Cx x 或 1 eC xyx （3） 112 sinln 24 yy xC xx 2 （1）通解为exC y x ln，Ce 特解为eex y x ln （2）通解为yC yx 322 () C=1 特解为：yyx 322 4.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 1.（1） -sin 1e x yC (2) 3(e + )x yxC (3) ( ) ( ) 1e f x yf xC 2. 3 82 e 33 x y 3. e1 x yx 4、( )21 x y xe 5、( )2f xCx 4.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 1 （1） 12 lnyCxC （2） 12 lncos()yxCC （3） 12 1 1y C xC 2 （1） 2x ye （2）arcsinyx 4.6 二阶常系数齐次线性二阶常系数齐次线性微分方程微分方程 1. yCkxCkx e x (cossin) 12 2. 解： 2 11 3,6yxyx 223 1 6390xxxxxy是解. 22 45 12 , 2 yy xx 2 543 211 90 26 xx xxx 2 y是解. 又 9 1 2 6 y x y 常数. 12 ,y y线性无关. 通解是： 3 12 3 1 yC xC x . 3、(1)yemx; (2)pq 01 （3）2,2pq （4）2,0pq （5）0,4pq （6）2,3pq （7） y0 （8） yy0 （9） yk y 2 0 （10） yy0 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 14 页/共 17 页 4、 （1） 解： 2 12 71203,4 通解 34 12 ee xx yCC （2）解： 2 12 123606 通解 6 12 ()e x yCC x （3）解： 2 2501 2i 通解 12 e(cos2sin2 ) x yCxCx 5、 （1） 2 3esin5 x yx （2） 1 2 (2)e x yx 6、 3 51 ee 22 xx y . 4.7 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 1BCDCD BDBBB 2、 （1） 2 12 7 ee (3) 2 xx yCCxx （2） 12 2 cos2sin2cossin 39 x yCxCxxx 3、 2 1 ()() 2 xxx yeeexx 4、3,2,1； 通解： 2 12 xxx yC eC exe. 综合练综合练习题习题四四 一、A BDCAC 二、1lnxatbtt, 其中, a b为常数) 2. yk y 2 0 3. yy0 4. yyy20 5yx AxBxCDxe x* () 22 6. 2 12 3 x yC xC e 三、1、 1 ( )sincos 22 x f xxx 2、 sin e2(sin1) y xCy 3、arcsinln y x xC 4、 yxe x 22 1 sin sin 5、2cos5sin5yxx 6、( )sincosxxCx 四、 （1）证证：e ,e xx yy e( )e( )ee 1( )( )0 xxxx P xQ xP xQ x ex y 是特解. （2）证：1,0yy 0( )( )0P xQ x x yx是特解. （3） 解解： 原方程等价于 1 0 11 x yyy xx . 1 ( ),( ) 11 x P xQ x xx ，显然： 1( )( )0P xQ xex y 是特解. ( )( )0P xxQ xyx是特解. 又显然，exy 与yx线性无关. 方程通解： 12 exyCC x 高等数学作业高等数学作业答案（答案（2017-2018-1） 第 15 页/共 17 页 12 exyCC 1 (0)22yC 122 (0)111yCCC 方程特解：2exyx . 高等数学模拟高等数学模拟试题试题（一一） 一一. 填空题填空题（本题共本题共 5 小题，小题，每小题每小题 3 分，共分，共 15 分分） 1、 3,0)(0,1)； 2、2； 3、 4 ； 4、 12 exC xC ； 5、 2 520rr； 二选择题选择题（本题共本题共 10 小题，小题，每小题每小题 3 分，共分，共 30 分分） 1、C 2、A 3、B 4、A 5、C 6、A 7、A 8、B 9、B 10、A 三三. 判断题判断题（本本题共题共 5 小题，每小题小题，每小题 2 分分, 共共 10 分）分） 1、 2、 3、 4、 5、 四、计算计算题题（本大题共（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 9 分分, 共共 45 分）分） 1、 2 2 0 11 x x x lim. 解：利用等价无穷小的替换 2 2 0 11 x x x lim 2 2 0 1 2 x x x lim 1 2 2.已知cossin()0yxxy，求 d d y x . 解：隐函数求导 cossincos() (1)0yxyxxyy coscos()sincos()yxyxyyxxy coscos()sincos()yxxyyxxy sincos() coscos() yxxy y xxy dsincos() dcoscos() yyxxy xxxy 3. 1 0 ed x x 解：令xt 2 xt 2xttdd 当0x 时0t ； 当1x 时1t . 111 000 22 xtt xttt ede dd e 1 1 0 0 22 tt tt e e d 2 4.4. 已 知xln是)(xf的 一 个 原 函 数 ， 求 2f xxx ( )d 解：由已知，xf x (ln )( ) 或f x dxxC ( )ln 2f xxx ( ( ) ) d=2( )f x dxxdx = 2 xxCln 5.设某产品的需求函数为10 3pQ， 其中p为 价格，Q为需求量，且平均成本为：C