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第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示 1 设为三个事件，试用表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件：（1）仅有一个事件发生； （2）至少有两个事件发生；（3）三个事件都发生； （4）至多有两个事件发生；（5）三个事件都不发生； （6）恰好两个事件发生。 分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件表示出来。 解：（1）仅有一个事件发生相当于事件有一个发生，即可表示成；类似地其余事件可分别表为（2）或；（3）；（4）或；（5）；（6）或。 由上讨论知，（3）与（4）所表示的事件是互逆的。2如果表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、互不相容等关系： 解：（1）包含关系： 、 。（2）互不相容关系：与（也互逆）、与、与。3写出下列随机事件的样本空间：（1） 将一枚硬币掷三次，观察出现（正面）和（反面）的情况；（2）连续掷三颗骰子，直到6点出现时停止, 记录掷骰子的次数； （3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；（4）生产产品直到有10件正品时停止，记录生产产品的总数。解：（1）；（2）； （3）；（4）。4设对于事件有, ，求至少出现一个的概率。 提示：至少出现一个的概率即为求，可应用性质4及性质5得 5设、为随机事件，求。 提示：欲求，由概率性质3可先计算。 解：由于，且，从而 即 由概率性质3得。6已知事件、满足且，求。 解法一：由性质（5）知 = （性质5） = （性质3） = （对偶原理）= （已知条件） 解法二：由于 = =从而得，即 7一个袋中有5个红球2个白球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：（1）第一次和第二次都取到红球的概率； （2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。解：设表示：“第一次和第二次都取到红球”； 表示：“第一次取到红球，第二次取到白球“。 （1）由于()=，且()=，故 （2）由于()=，且()=，故 8一批产品有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：（1）两次都取到正品的概率；（2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；（3）第二次取到次品的概率；（4）恰有一次取到次品的概率。解：设表示：“第次取出的是次品”（=1，2），则所求概率依次化为、。由于无放回地从10个产品中任取两次，每次取一个，第一次有10个可取，第二次有9个可取，因此(。（1）由于(87，所以 （2）(82，所以 或直接用乘法公式 （3）由于(21，(82，且，所以 。或直接用乘法公式 （4）由于互不相容， 。 9设有80件产品，其中有3件次品，从中任取5件检查。求所取5件中至少有3件为正品的概率。解：设：“所取5件中至少有3件为正品”；则的对立事件为至多有2件为正品，即：“恰有2件为正品”（最多有3件次品）。因此 或： 。 10从5双不同的鞋子中任取4只，求4只鞋子至少有2只配成一双的概率。 分析：直接求4只鞋子至少有2只配成一双的概率不易得到正确的结果，这是由于所考虑事件比较复杂，解决此类问题的方法通常是利用概率性质3，即先求逆事件的概率。该题的解法较多，现分述如下： 解：设事件表示：“取出的4只鞋子至少有2只配成一双”，则事件表示：取出的4只鞋任意两只均不能配成一双”。方法一若取鞋子是一只一只地取（不放回），则共有取法10987种，而取出的4只鞋任意两只均不能配成一双的取法共有10864种，所以 方法二、从5双不同的鞋子中任取4只，共有=210种取法。取出的4只鞋任意两只均不能配成一双共有=80种取法（先从5双中任取4双共种取法，然后从每双鞋子中任取一只，每双鞋子有2种取法，故共有种取法）。所以 方法三、为了使取出的4只鞋子任意两只均不能配成一双，故可考虑4只鞋子中取左脚（只，右脚只（这只右脚只能从剩余的双鞋子中任取）其共有种取法，故 方法四、（直接法）设事件表示：“取出的4只鞋子恰有双配对”（=1，2），则，且。包含基本事件数为从5双鞋子中任取一双，同时在另外4双鞋子中任取不能配对的两只的不同取法共有种（）；包含基本事件数为从5双鞋子中任取2双，不同取法共有种。故 11假设每个人的生日在一年365天都是等可能的，那么随机选取个人，求他们的生日各不相同的概率及这个人至少有两个人生日在同一天的概率；若，求上述两个事件的概率。 分析：此问题属于占位问题。 解：设表示事件：“个人的生日各不相同”；表示事件：“这个人至少有两个人生日在同一天”。由于每个人的生日在一年365天都是等可能的，所以()=，()，从而。 由于事件是事件的对立事件，所以 若取，则 12某进出口公司外销员与外商约谈，两人相约某天8点到9点在预定地点会面，先到者要等候另一个人20分钟，过时就离去，若每人在这指定的一个小时内任一时刻到达是等可能的，求事件=两人能会面的概率。 解：设分别表示两人到达预定地点 的时刻，那么两人到达时间的可能结果 60 对应边长为60的正方形里所有点（见图1-1）， 这个正方形就是样本空间，而两人能会面 的充要条件是，即且 ，所以，事件对应图中阴影 图1-1部分里的所有点。因此，所求概率为 13设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时被打破的概率为3/10，第二次落下时被打破的概率为1/2，第三次落下时被打破的概率为9/10，试求透镜落下三次未打破的概率。 分析：解决此问题的关键在于正确理解题意，弄清概率1/2、9/10的具体含义。依题意“第二次落下时被打破的概率为1/2”指的是第一次落下未被打破的情况下，第二次落下时被打破的概率；概率9/10的含义类似。 解：设表示“第次落下时未被打破”，表示“落下三次未被打破”，则， 14由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为4/15，刮风（记作事件）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件）的概率为1/10。求， ，。 解： .15设、为随机事件，若，求：（1）；（2） 。 分析：该题主要是考查条件概率公式、乘法公式及概率性质的应用。解：（1）； （2）。 16一机床有1/3的时间加工零件，其余时间加工零件，加工零件时，停机的概率是3/10，加工零件时，停机的概率是4/10，求这台机床停机的概率。分析：依题意，这是一全概率问题。解：设事件表示：“加工零件”；事件表示：“加工零件；事件表示：“机床停机”。 则由全概率公式得 17有两个口袋，甲袋中盛有2个白球1个黑球；乙袋中盛有1个白球2个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。 分析：依题意，这是一全概率问题，因为从乙袋中取出一球是白球有两个前提，即由甲袋任取一球放入乙袋有两种可能（由甲袋任取出的球可能是白球，也可能是黑球），并且也只有这两种可能。因此若把这两种可能看成两个事件，这两个事件的和事件便构成了一个必然事件。 解：设表示：“由甲袋取出的球是白球”；表示：“由甲袋取出的球是黑球”；表示：“从乙袋取出的球是白球”。则由全概率公式得 18设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中是第一家工厂生产的，其余两家各生产，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一只，求： （1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品，它是第三家工厂生产的概率。 解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。则，且。（1）又由于两两互不相容，由全概率公式得 （2）由条件概率定义、乘法公式、全概率公式得 =。 19某专门化医院平均接待K型病患者50%，L型病患者30%，M型病患者20%，而治愈率分别为7/10、8/10、9/10。今有一患者已治愈，问此患者是K型病的概率是多少？ 分析：依题意，这是一全概率公式及贝叶斯公式的应用问题，解决问题的关键是找出一组两两互斥事件。 解：设事件表示：“一患者已治愈”；事件（）表示：“患者是K、L 、M型病的”。则，且，两两互斥，由全概率公式得 = 20三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5、1/3、1/4，求此密码被译出的概率。 解：设事件表示：“此密码被译出”；事件表示：“第个人破译出密码”（），则。 方法一、 方法二、由相互独立知，也相互独立，所以 。21若，证明事件相互独立。 证明：由于，且，所以 从而有 故由定义1-4知，事件相互独立。22一个系统由三个元件按图所示方式连接而成，设每个元件能正常工作的概率（即元件的可靠性）均为 A；求系统的可靠性。（设三个元件能否正常工作是 C相互独立的）。 B分析：此问题是考查事件间的关系及独立性的应用。解：设事件、分别表示如图：“元件、正常工作”； 则问题化为求。23设事件与相互独立，已知，求，。 解： = 解得，；所以 。 24已知，求。 分析：由，因此转化为计算概率及，而。 解：由条件概率公式知 又，所以 故。25随机地向半圆（为正常数）内掷一点，若该点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率。 解：设事件：“表示掷的点和原点的连线与轴的夹角小于”；这是一个几何概型的概率计算问题。由几何概率公式（如图） 而故 26设有来自三个地区的各10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，求：（1）先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。 分析：依题意，所有报名表来自三个地区，因此随机地取一个地区的报名表，抽到各个地区的报名表的概率应是相等的；若从中先后抽出两份，则（1）可用全概率公式求得；（2）是一个条件概率。 解：设（表示“第次抽到的一份是女生表”； （表示“抽到的报名表来自第个地区”。 （1）) （2） 补充1（修订版15）甲、乙、丙三商店分别有50、75、100名职工，女职工依此占50%、60%、70%。设所有职工受顾客表扬是等可能的，与性别无关。现知一女职工受到顾客表扬，问此人是丙商店职工的概率是多少？ 分析：依题意，这是一全概率公式及贝叶斯公式的应用问题，解决问题的关键是找出一组两两互斥事件。 解：设事件表示：“一女职工受到顾客表扬”；事件（）分别表示：“此人是甲、乙、丙商店的职工”。则，且，两两互斥，由全概率公式得 = 。补充2（修订版17）设A、B是一个试验中的两个事件，假设，则取何值时可说明A和B是相互独立的。分析：此问题是考查独立性概念及加法公式。解：由概率性质5及已知条件知 由独立性定义及已知条件应有 解得。故取0.5时可说明A和B是相互独立的。补充3（修订版18）已知在制造某一产品时，出现A类不合格的概率为0.1，出现B类不合格的概率为0.05（假定出现两类不合格是相互独立的）求下列事件的概率： （1）一件产品没有两类不合格；（2） 一件产品有不合格。分析：此问题是考查事件间的关系。解：设事件表示：“出现A类不合格”； 事件表示：“出现类不合格”；则“一件产品没有两类不合格”相当于“都不发生”，即（1）化为求；“一件产品有不合格” 相当于“至少有一个发生”，即（2）化为求。故（1）（2）。补充4（修订版21） 设事件与事件相互独立，试证明：事件与事件，事件与事件，事件与事件也相互独立。分析：欲证明相互独立，只需证；证明：由于，所以 由事件独立的定义知，事件与事件相互独立。 同理可证，事件与事件相互独立。 （3）由于 所以事件与事件相互独立。第二章 随机变量及其分布 1对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为，求射击次数的分布律。解：设表示射击次数，由题意知的可能取值为1，2，3，而 所以射击次数的分布律为 1 2 3 2一批零件中有9个合格品与3个废品，安装时从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取得合格品以前取出的废品数的分布律。分析：在取得合格品以前取出的废品数是一随机变量，要求其分布律，只需确定随机变量的一切可能取值及相应的概率即可。解：设表示在取得合格品以前取出的废品数，由题意知的可能取值为0，1，2，3，而 （相当于第一次取到的是合格品） （相当于第二次才取到合格品） 所以，随机变量的分布律为 0 1 2 3 3/4 9/44 9/220 1/220 3设随机变量的分布列为 0 1 2 3 1/5 2/5 3/10 1/10求：（1）的分布函数；（2）；（3）解：（1）由概率分布与分布函数的关系式 得的分布函数 （2）； （3）。4已知的分布函数为。设是某一随机变量的分布函数，求常数。 解：要使是某一随机变量的分布函数，由分布函数的性质知，必有 =1 即，从而解得。 5将3个球随机地放入4个杯子中去，求某杯中有球个数的分布律。 分析：某杯中有球个数只有4种可能：3个球都在该杯中；3个球中的两个球放在该杯中；3个球中的一个球放入该杯中；3个球都不在该杯中。因此某杯中有球个数是一个离散型随机变量，它可能的取值为0，1，2，3。运用第一章的有关知识可求出取相应值的概率。若将每个球随机地放入4个杯子中，它是否落入某杯中看作一次试验，则它是一贝努利试验。随机地将3个球放入4个杯子中去，即是三重的贝努利试验，因此某杯中有球个数服从二项分布。 解法一：设表示“某杯中有球个数”，则可能取值为：0，1，2，3。而将3个球随机地放入4个杯子中去共有种放法，即3个球随机地放入其它3个杯子中去，共有种放法，所以 同理得 故某杯中有球个数的概率分布列为 0 1 2 3 27/64 27/64 9/64 1/64 解法二：设表示“某杯中有球个数”，则服从，的二项分布，即，所以的分布律为 或表示为 0 1 2 3 27/64 27/64 9/64 1/64 6自动生产线在调整以后出现废品的概率为，生产过程中出现废品时立即调整。求在两次调整之间生产的合格品的分布律。解：设表示在两次调整之间生产的合格品的个数，由题意知的可能取值为0，1，2，3，而 所以的分布律为 0 1 2 7一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求的概率分布和分布函数。 解：由题意知的一切可能取值为0，1，2，3。为计算方便设： 表示：“汽车在第个路口遇到红灯”，则相互独立，且由条件知。所以 ； 即的概率分布列为 0 1 2 3 1/2 1/4 1/8 1/8 的分布函数为 8 设随机变量的分布函数为 求：（1）系数A；（2）随机变量落在区间（0.3，0.7）内的概率； （3）随机变量的概率密度。 分析：本题是已知随机变量的分布函数，由分布函数的性质可求出系数A；再由概率密度函数性质可求得（2）及（3）。解：（1）由分布函数的连续性性质得，故分布函数为 （2）由概率密度函数性质知，落在区间（0.3，0.7）内的概率为 （3）由概率密度函数性质知，所求概率密度为 9设随机变量的概率密度为 求：（1）系数；（2）落在区间内的概率；（3）的分布函数。 分析：连续型随机变量的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数及的分布函数，至于（2）可由的分布函数求得。 解：（1）由归一性， 解得。 （3）由连续型随机变量的定义知的分布函数为 当时，=0； 当时， 当时，故的分布函数为 （2）所求概率为 10 设随机变量的分布函数为 求：（1），；（2）的概率密度。解：（1） （2）随机变量的概率密度为 11 设随机变量的分布密度 ，求分布函数。 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时， 。故随机变量的分布函数为 12公共汽车站每隔5分钟有一辆客车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的。求乘客侯车时间不超过3分钟的概率。解：设表示乘客侯车时间，则，乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 补充1（修订版11）某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，13设随机变量，求；。解： 14设测量从某地到某目标的距离时，带有的随机误差具有分布密度 （1）求测量误差的绝对值不超过30的概率；（2）如果接连测量三次，各次测量是相互独立的，求至少有一次误差的绝对值不超过30的概率。解：（1） （2）设表示3次独立重复测量中事件出现的次数，则服从二项分布，即,从而问题化为求。 15在电源电压不超过200、和超过240伏三种情况下，某种电子元件埙坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，假定电源电压，试求：（1）该电子元件被埙坏的概率； （2）电子元件被埙坏时，电源电压在伏内的概率。 分析：电子元件被埙坏时，电源电压只可能是不超过200、和超过240伏三种情况下之一，因此（1）属于全概率问题；（2）属于条件概率问题。 解：设：“电源电压不超过200伏”；：“电源电压在伏”； ：“电源电压超过240伏”； ：“电子元件被埙坏”。由于，所以 或 由题设,，所以由全概率公式 由条件概率公式 16随机向量的分布密度为 求（1）系数；（2）落在圆内的概率。解：（1）由归一性， 得。（2） 17只取下列数组中的值（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），其相应的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，试列出的概率分布表，并求出关于的边缘分布。解：的概率分布表为 -1 0 2 0 0 1/6 5/12 1/3 1/12 0 0 1 1/3 0 0关于的边缘分布为 0 1/3 1 7/12 1/12 1/3 18袋中装有标有号码1，2，2的三只球，从袋中任取一球后不再放回，然后再从袋中任取一球，以、分别表示第一次、第二次取得球上的号码。求和的联合概率分布。解：的所有可能取值为(1，2)、(2，1)、(2，2)，由概率乘法公式得 此外是不可能事件，所以,于是（，）的概率分布表为 1 2 1 0 1/3 2 1/3 1/3 19设的概率密度为求：（1）常数；（2）关于的边缘概率密度；（3）随机变量与是否相互独立，为什么？解：（1）由归一性 解得 （2）所以 所以 （3）由于，故随机变量与相互独立。20设随机向量（，）的分布函数 求：（1）系数、； （2）（，）的分布密度； （3）边缘分布密度。解：（1）由分布函数性质 （1） （2） （3）由（1）得，由（2）得，代入（3）得。故随机向量（，）的分布函数为 （2）由分布函数性质（4）知 （3） 21设二维随机变量（，）的概率分布为 求随机变量和的边缘分布密度、。 分析：二维随机变量（，）关于随机变量和的边缘概率密度，可应用（2-10）式和（2-11）式求得。 解：（1）如图2-4，由（2-10）式知，当时 = 其它情形均为零，故的边缘概率密度为 1 = 图2-4 同理，当时 = 其它情形均为零，故的边缘分布密度为 22设的分布密度为 （1）求条件分布密度及；（2）判断是否独立。 分析：条件分布密度及，可由（2-17）及（2-19）式求得，这就需先求关于、的边缘概率分布。 解：（1）的非零取值区域如图2-5阴影部分，由（2-10）式，当时， =其它情况均为零，故关于的边缘分布密度为 由（2-19）式知，当时，的条件分布密度为 1 同理，由（2-11）式 图2-5 =由（2-17）式，时 时， （2）不独立，因为。23随机向量（）在矩形区域，内服从均匀分布。求（）的分布密度及边缘分布密度，并判断是否独立。解：由题意知（）的分布密度为 当， ，其它均为0，故（）关于的边缘分布密度为 同理得（）关于的边缘分布密度为 又由于，所以独立。补充2（修订版23）在习题22中，求及的条件分布密度。解：由上题独立的结论知，当时，有 当时，有 24设，求的分布密度。解： 25设的概率分布为 -2 -1 1 2 3/10 1/10 1/5 2/5求；（1）的概率分布；（2）的概率分布。解：（1）的概率分布为 3 6 3/10 7/10 （2）的概率分布为 -7 0 2 9 3/10 1/10 1/5 2/526设，求：（1）的分布密度；（2）的分布密度。解：（1）由，即解得，故，当时 当时，所以的分布密度为 （2）由分布函数定义，当时，当时 所以的分布密度为 27. 设随机变量的概率密度为是的分布函数。求随机变量的分布函数。分析:先求出分布函数的具体形式，从而可确定 ,然后按定义求的分布函数即可。注意应先确定的值域范围，再对分段讨论.解: 易见，当时，； 当时，。对于，有 。设是随机变量的分布函数. 显然，当时，=0；当时，=1. 对于，有 = =。于是，的分布函数为 注：事实上，本题为任意连续型随机变量均可，此时仍服从均匀分布:当时，=0;当 时，=1;当 0时， = =。28已知随机变量且与相互独立，设随机变量，求的概率分布。 解：本题考查有关正态分布的性质，由正态分布的性质“若与相互独立，且，则仍服从正态分布，即”，再由正态随机变量的线性函数也服从正态分布，即，故 29设与相互独立，都服从0，2上的均匀分布，求。 分析：由条件知、的分布密度分别为 ， ，从而由独立性得与的联合概率分布为 所以由概率分布的性质 。30设和相互独立，下表列出了二维随机变量(，)联合分布律及关于和关于的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。 1/81/81/61解：由联合分布律与边缘分布律的关系知；由和相互独立性知，即；同理，依此得表中空白处的其它数值见下表： 1/241/81/121/41/83/81/43/41/61/21/3131设相互独立，其密度函数分别为 求的概率密度。解：当时， 当时，所以 或： 所以 32. 设的分布密度为 求：（1）关于的边缘分布密度，并判断是否独立； （2）的概率分布。 分析：由于的分布密度中包含待定常数，故应首先将其确定。解：由归一性, 解得。（1）所以关于的边缘分布密度为 同理得关于的边缘分布密度为 由于,故相互独立。 （2）当时 ； 当时 故的分布函数为 的概率分布为 33已知的概率分布 1 0 1 0 1 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2而且。求：（1）随机变量和的联合分布；（2）问和是否独立？为什么？ 分析：随机变量与的联合分布即为随机向量（，）的概率分布。由于和均为离散型随机变量，所以（，）为离散型随机向量，求其概率分布就是求（，）的所有可能取值及其相应的概率。解：（1）依题意，(,)所有可能取值：(-1，0)，(0，0)，(1，0)，（-1，1），（0，1），（1，1），由。易得又由的概率分布与和的联合概率分布间的关系知 因此由归一性（或由边缘分布与联合概率分布间的关系），必有 于是得和的联合概率分布表如下： 0 1 -1 1/4 0 0 0 1/2 1 1/4 0（2）由联合概率分布表得和的分布列分别为 -1 0 1 1/4 1/2 1/4 0 1 1/2 1/2 显然，故和不独立。34假设一电路装有三个同种电子元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0的指数分布，当三个电子元件都无故障时电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间的概率分布。 分析：电路正常工作的时间即三个电子元件无故障工作时间的最小值。 解：设表示“第个元件无故障时间”，且的分布为 而电路正常工作的时间，即 故电路正常工作的时间服从指数分布，其概率分布为。35设和的联合分布是正方形上的均匀分布，试求随机变量的概率密度。解：由条件知和的联合概率密度为 32 1 1 2 3 以表示随机变量的分布函数。显然，当时，； 当，。设时，则 图2-6 于是，随机变量的概率密度为 36设随机变量与独立，其中的概率分布为 0 1 0.3 0.7而的概率密度为，求随机变量的概率密度。分析：求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算。解： 设是的分布函数，则由全概率公式，知的分布函数为 = =。由于和独立，可见 =由此,得的概率密度 =注： 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，具有一定的难度和综合性。第 三 章 随机变量的数字特征 1设随机变量的概率分布为 3 0 1 5 0.1 0.2 0.3 0.4试求。解：。2已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.4 0.2求：（1）常数 ；（2）数学期望；（3）方差。解：（1）由归一性，；（2）；（3）由于；所以， 3 已知随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.5 求：（1）数学期望；（2）方差。解：（1）由归一性，；设，则随机变量的分布列为 0 1 0.2 0.8 所以， ；又；所以， 4已知连续型随机变量的概率分布为 求的数学期望。解：5设随机变量服从拉普拉斯分布，其分布密度为，（）。求的数学期望。分析：该题要求熟练掌握计算连续型随机变量的数学期望的公式。解：由数学期望的定义，有 令，则 =。6设随机变量的概率密度为，求：（1）常数；（2）数学期望；（3）方差 。 解：（1）由归一性， 从而得，； （2）=；（3）由于=； 于是 。7设的概率分布为 （）求、。解： 8设的概率分布为 求的数学期望和方差。分析：该题考察计算连续型随机变量的数学期望和方差的公式。解：由数学期望的定义，有，由是奇函数，故有，令，则有从而可得 。9设用A、B两测量仪器测量某一产品的直径多次，结果如下表：118 119 120 121 122 0.06 0.14 0.60 0.15 0.05118 119 120 121 122 0.09 0.15 0.52 0.16 0.08试比较两种仪器的优劣。分析：由于题设中没有给出所测产品直径的真实值，故要比较两种仪器的优劣，就是要比较这两种仪器哪个的测量精度更高一些，即要比较两种仪器测量的方差哪个更小一些。解：由题设，得，。而 =1.104。 =0.6552。显然有，可见A 仪器的测量误差要比B仪器的测量误差大，故B仪器要优良些。10设的概率分布