上海交大大学物理下册答案新版.pdf

习题习题 1111 11-1直角三角形ABC的A点上，有电荷 C108 . 1 9 1 q ，B点上有电荷 C108 . 4 9 2 q ，试求C点的电场强度(设0.04mBC ，0.03mAC )。 解：1 q 在 C 点产生的场强： 1 1 2 0 4 AC q Ei r ， 2 q 在 C 点产生的场强： 2 2 2 0 4 BC q Ej r ， C点的电场强度： 44 12 2.7 101.8 10EEEij ； C点的合场强： 224 12 3.24 10 V EEE m ， 方向如图： 1.8 arctan33.733 42 2.7 。 11-2用细的塑料棒弯成半径为cm50的圆环，两端间空隙为cm2，电 量为C1012. 3 9 的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小 和方向。 解：棒长为 23.12lrdm ， 电荷线密度： 91 1.0 10 q C m l 可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为 0， 有一段空隙， 则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去md02. 0 长的带电棒在该点产生的场强， 即所求问题转化为求缺口处带负电荷 的塑料棒在O点产生的场强。 解法 1：利用微元积分： 2 0 1 cos 4 Ox Rd dE R ， 2 000 cos2sin2 444 O d Ed RRR 1 0.72V m ； 解法 2：直接利用点电荷场强公式： 由于dr，该小段可看成点电荷： 11 2.0 10qdC ， 则圆心处场强： 11 91 22 0 2.0 10 9.0 100.72 4(0.5) O q EV m R 。 方向由圆心指向缝隙处。 11-3将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电 荷线密度为， 四分之一圆弧AB的半径为R， 试求圆 j i 2cm O R x 心O点的场强。 解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。 对于半无限长导线A在O点的场强： 有： 0 0 (coscos) 42 (sinsin) 42 Ax Ay E R E R 对于半无限长导线B在O点的场强： 有： 0 0 (sinsin) 42 (coscos) 42 Bx By E R E R 对于AB圆弧在O点的场强：有： 2 0 00 2 0 00 cos(sinsin) 442 sin(coscos) 442 ABx ABy Ed RR Ed RR 总场强：0 4 Ox E R ，0 4 Oy E R ，得：0 () 4 O Eij R 。 或写成场强： 22 0 2 4 OxOy EEE R ，方向45。 11-4一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的 线密度为，求环心处O点的场强 E。 解：电荷元 dq 产生的场为： 2 0 4 d q d E R ； 根据对称性有： 0 y dE ，则： 2 0 0 sin sin 4 x Rd EdEdE R 0 2R ， 方向沿x轴正向。即：0 2 Ei R 。 11-5带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度 为 0sin ，式中 0 为一常数，为半径R与x轴 所成的夹角，如图所示试求环心O处的电场强度。 解：如图， 0 2 00 sin 44 d dl dE RR ， o RX Y d dq Ed x y E cos sin x y dEdE dEdE 考虑到对称性，有： 0 x E ； 2 000 00 000 sin (1 cos2 ) sin 4428 y d d EdEdE RRR ， 方向沿y轴负向。 11-6一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求 球心O处的电场强度。 解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为dl Rd ，所带电 荷： 2dqr dl 。 利用例 11-3 结论，有： 33 2222 22 00 2 4()4() xdqrxdl dE xrxr 3 22 2 0 2cossin 4( sin)( cos ) RRRd dE RR ， 化简计算得： 2 0 00 1 sin2 224 Ed ，0 4 Ei 。 11-7图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷 体密度为。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即xE 图线(设原点在带电平板的中央平面 上，Ox轴垂直于平板)。 解： 在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1 S 为高斯 面， 当2 d x 时，由 1 2 S E dSES 和 2qxS ， 有：0 x E ； 当2 d x 时，由 2 2 S E dSES 和 2qdS ， 有：0 2 d E 。图像见右。 11-8在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如 图所示)， 平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量. 解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。 xO r 0 2 d x E 0 2 d 2 d 2 d O 【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r，有 22 Rdr ， 球冠面一条微元同心圆带面积为：2sindSrrd 球冠面的面积： 20 0 cos 2sin2cos d r Srrdr 2 2(1) d r r 】 球面面积为： 2 4Sr 球面 ，通过闭合球面的电通量为：0 q 闭合球面 ， 由： S S 球冠球面 球面球冠， 22 00 1 (1)(1) 22 dqqd r Rd 球冠 。 11-9在半径为 R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为 ，求圆柱体内、外的场强分布，并作 Er 关系曲线。 解：由高斯定律0 1 i S S E dSq 内 ，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r， 长为l的高斯面。 （1）当rR时， 2 0 2 r l rl E ，有0 2 E r ； （2）当rR时， 2 0 2 R l rl E ，则： 2 0 2 R r E ； 即： 0 2 0 () 2 () 2 r rR E R rR r ； 图见右。 11-10半径为1 R 和2 R （21 RR ）的两无限长同轴圆柱面，单位长度 分别带有电量和，试求： （1）1 Rr ； （2）21 RrR ； （3）2 Rr 处各点的场强。 解：利用高斯定律：0 1 i S S E dSq 内 。 （1） 1 rR 时，高斯面内不包括电荷，所以： 1 0E ； （2） 12 RrR 时，利用高斯定律及对称性，有： 2 0 2 l rl E ，则： 2 0 2 E r ； d x O rsinr E r R 0 2 R o （3） 2 rR 时，利用高斯定律及对称性，有： 3 20rlE ，则： 3 0E ； 即： 1 12 0 2 0 2 0 ErR ErRrR r ErR E 。 11-11一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷，若 保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小球 体，球心为 O ，两球心间距离dOO ，如图所示。求： （1）在球形空腔内，球心 O 处的电场强度 0 E ； （2）在球体内 P 点处的电场强度E，设 O 、O、P三点在同一直 径上，且dOP 。 解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为的大球和带有电 荷体密度为 的小球的合成。 （1）以O为圆心，过 O 点作一个半径为d的高斯面，根据高斯定 理有： 1 3 0 4 3 S E dSd 0 0 3 d E ，方向从O指向 O ； （2）过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定 理有： 1 3 0 4 3 S E dSd 1 0 3 P d E ，方向从O指向P， 过P点以 O 为圆心，作一个半径为d2的高斯面。根据高斯定 理有： 2 3 0 4 3 S E dSr 3 2 2 0 3 P r E d ， 12 3 2 0 () 34 PP r EEEd d ，方向从O指向P。 11-12设真空中静电场E的分布为E cxi ，式中c为常量，求空间电 荷的分布。 解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面， 有： 0 S E d ScxS 由高斯定理：0 1 S S E d Sq 内 ， y x z S o 0 x 设空间电荷的密度为 ( )x ，有： 0 0 0 0 ( ) x xSdx cxS 00 0 00 ( ) xx x dxcdx ，可见 ( )x 为常数 0c 。 11-13 如图所示， 一锥顶角为的圆台， 上下底面半径分别为1 R 和2 R ， 在它的侧面上均匀带电， 电荷面密度为，求顶点O的 电势(以无穷远处为电势零点) 解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x轴，在侧 面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为： tan2rx ，环面圆宽： cos 2 d x d l 22tan 2 cos 2 d x dSr dlx ， 利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上0 x 处电势的表达式： 22 0 0 1 4 q U rx 环 ， 有： 2200 2tan 2 cos 1 2 tan 422 ( tan) 2 d x x dUd x xx ， 考虑到圆台上底的坐标为： 11cot 2 xR ， 22cot 2 xR ， U 2 1 0 tan 22 x x d x 2 1 cot 2 cot 02 tan 22 R R d x 21 0 () 2 RR 。 11-14电荷量 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内，试求：离球心r处 （rR）P 点的电势。 解：利用高斯定律：0 1 S S E dSq 内 可求电场的分布。 （1）rR时， 3 2 3 0 4 Qr r E R 内 ；有： 3 0 4 Q r E R 内 ； （2）rR时， 2 0 4 Q r E 外 ；有： 2 0 4 Q E r 外 ； r x cos 2 dx dl P r R P o 离球心r处（rR）的电势： R r rR UEdrEdr 外内 ，即： 32 00 44 R r rR QrQ Udrdr Rr 2 3 00 3 88 QQr RR 。 11-15图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面 半径为1 R ，外表面半径为2 R 设无穷远处为电势零点， 求空腔内任一点的电势。 解：当 1 rR 时，因高斯面内不包围电荷，有： 1 0E ， 当 12 RrR 时，有： 2 0 3 1 3 2 0 3 1 3 2 3 )( 4 )( 3 4 r Rr r Rr E ， 当 2 rR 时，有： 2 0 3 1 3 2 2 0 3 1 3 2 3 3 )( 4 )( 3 4 r RR r RR E ， 以无穷远处为电势零点，有： 2 12 23 R RR UEd rE d r 2 R dr r RR dr r Rr R R 2 0 3 1 3 2 2 0 3 1 3 3 )( 3 )( 2 1 )( 2 2 1 2 2 0 RR 。 11-16电荷以相同的面密度分布在半径为 1 10rcm 和 2 20rcm 的两 个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为 V300 0 U 。 （1）求电荷面密度； （2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度为多少？ （ 21212 0 mNC1085. 8 ） 解： （1）当 1 rr 时，因高斯面内不包围电荷，有： 1 0E ， 当 12 rrr 时，利用高斯定理可求得： 2 1 2 2 0 r E r ， 当 2 rr 时，可求得： 22 12 3 2 0 ()rr E r ， 2 12 023 r rr UEd rEd r 2 12 222 112 22 00 ()r rr rrr d rd r rr )( 21 0 rr 那么： 29 3 12 21 00 1085. 8 1030 3001085. 8 mC rr U （2）设外球面上放电后电荷密度，则有： 0120 ()/0Urr ， 1 2 2 r r 1 r O 2 r 则应放掉电荷为： 22 22 3 4()4 2 qrr 12 4 3.14 8.85 10300 0.2 9 6.67 10 C 。 11-17如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一半 径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端 离球心距离为0 r 。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细 线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能 （设无穷远处的 电势为零） 。 解： （1）以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的 方向为x轴， 均匀带电球面在球面外的场强分布为： 2 0 4 q E r （rR） 。 取细线上的微元：dq dldr ，有：dF Edq ， 0 0 2 00 00 44() rl r qqlr Fdr xr rl （r为r方向上的单位矢量） （2）均匀带电球面在球面外的电势分布为：0 4 q U r （rR， 为电势零点） 。 对细线上的微元dq dr ，所具有的电势能为：0 4 q dWdr r ， 0 0 0 000 ln 44 rl r rlqdrq W rr 。 11-18. 一电偶极子的电矩为p， 放在场强为E的匀强电场中，p与E之 间夹角为， 如图所示 若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p、E平 面的轴转 180，外力需作功多少？ 解：由功的表示式：dA Md 考虑到：M pE ，有： sin2cosApEdpE 。 11-19如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为 (0)今有一质量为m，电荷为 q 的粒子(q0)沿圆板轴线(x轴) 方向向圆板运动，已知在距圆心O（也是x轴原点）为b的位置上时， 粒子的速度为 0 v ，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带 电的均匀性始终不变)。 解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上 0 x 处产生的电势为： 22 00 0 () 2 URxx ，那么， 22 0 () 2 ObOb UUURbRb ， 由能量守恒定律， 22222 00 0 111 ()() 2222 Ob q mvmvqUmvRbRb ， 有： )( 22 0 2 0 bRbR m q vv 思考题 11 11-1两个点电荷分别带电q和 q2 ，相距l，试问将第三个点电荷放在 何处它所受合力为零? 答：由 22 00 2 44() qQqQ xlx ，解得： ( 21)xl ，即离点电荷q的距离 为 ( 21)l 。 11-2下列几个说法中哪一个是正确的？ （A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的 方向； （B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相 同； （C）场强方向可由 q/FE 定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、 可负，F为试验电荷所受的电场力； （D）以上说法都不正确。 答： （C） 11-3真空中一半径为R的的均匀带电球面,总电量为 q(q0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积 S(连 同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去S后 球心处的电场强度大小和方向. 答：题意可知： 2 0 4 q R ，利用补偿法，将挖去部分 看成点电荷， 有： 2 0 4 S E R ，方向指向小面积元。 11-4 三个点电荷1 q 、2 q 和 3 q 在一直线上， 相距均为R2， 以1 q 与2 q 的 中心O作一半径为R2的球面，A为球面与直线的一个交点， 如图。 求： (1)通过该球面的电通量 SE d ； (2)A点的场强A E 。 解：(1) 12 0 S qq E dS ；(2) 2 0 3 2 0 2 2 0 1 44)3(4R q R q R q EA 。 11-5有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中 心O点2/a处， 有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的 电场强度通量 为多少？ 解：设想一下再加 5 个相同的正方形平面将q围在正方体的中心， 通过此正方体闭合外表面的通量为： 0 /q 闭合 ，那么， 通过该平面的电场强度通量为：0 6 q 。 11-6对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？ (A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷； (B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷； (C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零； (D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。 答：(A) 11-7由真空中静电场的高斯定理0 1 S E dSq 可知 (A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为 零； (B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都 不为零； (C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都 为零； (D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。 答：(C) 11-8 图示为一具有球对称性分布的静电场的rE 关系 曲线请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。 (A)半径为R的均匀带电球面； (B)半径为R的均匀带电球体； (C)半径为R、电荷体密度 Ar (A为常数）的非均匀带电球体； (D)半径为R、电荷体密度 rA/ (A为常数)的非均匀带电球体。 答：(D) 11-9如图，在点电荷 q 的电场中，选取以 q 为中心、R 为半径的球 面上一点 P 处作电势零点，则与点电荷 q 距离为 r 的 P点的电势为 (A) r q 0 4 (B) Rr q11 4 0 (C) Rr q 0 4 (D) rR q11 4 0 答：(B) 11-10密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡 而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生实验中，半径为r、 带有两个电子电荷的油滴保持静止时， 其所在电场的两块极板的电势 差为12 U 当电势差增加到 412 U 时，半径为 2r的油滴保持静止，则该 油滴所带的电荷为多少？ 解： grq d U 312 3 4 ， grq d U 312 )2( 3 44 联立有： eqq42 。 11-11 设无穷远处电势为零， 则半径为R的均匀带电球体产生的电场 的电势分布规律为(图中的 0 U 和b皆为常量)： 答：(C) 11-12无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。见书中例 11-12。 大学物理第大学物理第 1212 章课后习题章课后习题 12-1一半径为10. 0米的孤立导体球，已知其电势为V100(以无穷远为零电势)，计算球表 面的面电荷密度。 解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，电势为： 00 4 QR U R ， 则： 12 92 0 8.85 10100 8.85 10 0.1 U C m R 。 12-2两个相距很远的导体球，半径分别为cm0 . 6 1 r，cm0 .12 2 r，都带有C103 8 的 电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。 解：半径分别为 1 r的电量为 1 q， 2 r电量为 2 q， 由题意，有： 12 0 10 2 44 qq rr ， 8 21 106 qq， 联立，有： 8 1 2 10qC ， 8 2 4 10qC 。 12-3有一外半径为 1 R，内半径 2 R的金属球壳，在壳内有一半径为 3 R的金属球，球壳和内 球均带电量q，求球心的电势 解：由高斯定理，可求出场强分布： 13 232 2 0 321 41 2 0 0 4 0 2 4 ErR q ERrR r ERrR q ErR r 321 321 01234 0 RRR RRR UEd rEd rEd rEd r 2 31 22 00 2 44 R RR qq drdr rr 0321 112 () 4 q RRR 。 12-4一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为 1 R、 2 R求球壳内外 和球壳上场强和电势的分布，并画出rE 和rV 曲线. 解：由高斯定理，可求出场强分布： 11 2 0 212 32 2 0 0 4 0 4 q ErR r ERrR q ErR r 电势的分布为： 当 1 0rR时， 1 2 1 22 00 44 R rR qq Udrdr rr 012 111 () 4 q rRR ； 当 12 RrR时， 2 2 2 002 44 R qq Udr rR ； 1 R 2 R 3 R 1 R 1 R 2 R O r q r O r O E U 2 R 1 R 2 R 当 2 Rr 时， 3 2 00 44 r qq Udr rr 。 12-5半径 1 0.05 ,Rm，带电量 8 3 10 Cq 的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内 半径 2 0.07Rm，外半径 3 0.09Rm，带电量 8 2 10 CQ 。试求距球心 r 处的 P 点的 场强与电势。 （1）0.10rm（2）0.06rm（3）0.03rm。 解：由高斯定理，可求出场强分布： 11 212 2 0 323 43 2 0 0 4 0 4 ErR q ERrR r ERrR Qq ErR r 电势的分布为： 当 1 rR时， 2 13 1 22 00 44 R RR qQq Udrdr rr 01203 11 () 44 qQq RRR ， 当 12 RrR时， 2 3 2 22 00 44 R rR qQq Udrdr rr 0203 11 () 44 qQq rRR ， 当 23 RrR时， 3 3 2 0 4 R Qq Udr r 03 4 Qq R ， 当 3 rR时， 4 2 00 44 r QqQq Udr rr ， （1）0.10rm，适用于 3 rR情况，有： 3 4 2 0 9 10 N 4 Qq E r ， 4 0 900 V 4 Qq U r ； （2）0.06rm，适用于 12 RrR情况，有： 4 2 2 0 7.5 10 N 4 q E r ， 3 2 0203 11 ()1.64 10 V 44 qQq U rRR ； （3）0.03rm，适用于 1 rR情况，有： 1 0E ， 3 1 01203 11 ()2.54 10 V 44 qQq U RRR 。 12-6两块带有异号电荷的金属板A和B，相距mm0 . 5，两板面积都是 2 cm150，电量分 别为C1066. 2 8 ，A板接地，略去边缘效应，求： （1）B板的电势； （2）AB间离A板 mm0 . 1处的电势。 解： （1）由 0 E 有： 0 q E S ， 则： 0 AB qd UEd S ，而0 A U ， 83 122 2.66 105 10 1000 8.85 101.5 10 B UV ， 3 R 2 R 1 R q Q B P A 5mm 1mm 离A板mm0 . 1处的电势： 3 1 ( 10 )200 5 P UV 12-7平板电容器极板间的距离为 d，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度 为 t(tUb。 解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。 作辅助线，形成闭合回路 abb a，如图， S B dS 0 2 d l d I ydr r 0 ln 2 I y dl d ， d dt 00 lnln 22 IIv dl d ydl ddtd 。 由右手定则判定：Ua Ub。 16-4电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为 120， 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解法一： （用等效法）连接AO、OB，圆弧形导线与AO、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为 0，所以圆弧形导线电动势与 AOB直导线的电动势相等。 2 00 ()ln2 22 R AO R IvI v vBdldx x ， 5 00 2 2 5 ()ln 224 R OB R IvIv vBdldx x ， 0 5 ln 22 ABAOOB Iv 。 解法二： （直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为，那 么， 000 22 (2cos )2(2cos ) III B xRRR ，再由()vBdl 有： dr r b a y A O B A O B sindB Rdv， 2 0 3 0 sin 2(2cos ) I Rvd R 0 5 ln 22 Iv 。 16-5电阻为R的闭合线圈折成半径分别为a和a2的两个圆，如图 所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按 0sin BBt的规律变化。已知cm10a，T102 2 0 B，rad/s50，10R， 求线圈中感应电流的最大值。 解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。 222 0 (4)3cos i ddB aaa Bt dtdt ， 2 0 3cos i a Bt I RR A R Ba I 3 22 0 2 max 1042. 9 10 501021 . 035 。 16-6直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为 的介质中， 已知： 0sin IIt，其中、 0 I是大于零的常量，求：与其共面的 N 匝矩形回路中的感应电动势。 解：首先用 0 l B dlI 求出电场分布，易得： 0 2 I B x ， 则矩形线圈内的磁通量为： 000 0 lnsinln 222 d a d II lI l dada ldrt rdd ， 0 0 cosln 2 NI l dda Nt dtd 。 16-7如图所示，半径为a的长直螺线管中，有0 d d t B 的磁场，一直导线弯成等腰梯形的 闭合回路ABCDA，总电阻为R，上底为a，下底为a2，求： （1）AD段、BC段和闭合 回路中的感应电动势； （2）B、C两点间的电势差 CB UU。 解： （1）首先考虑OAD， 2 133 224 OAD Saaa ， 2 3 4 OAD ddBdB Sa dtdtdt 感1 ， 而 DA lAOODADDA EdlEdlEdlEdlEdl 涡涡涡涡涡感1 2 3 4 AD dB a dt ； 再考虑OBC，有效面积为 2 1 2 3 OAD Sa 扇 ， 2 6 dB a dt 感2 ， 同理可得： 2 6 BC dB a dt ； 那么，梯形闭合回路的感应电动势为： 2 3 () 64 BCAD dB a dt ，逆时针方向。 （2）由图可知，ABCDa，所以，梯形各边每段a上有电阻 5 R r ， 回路中的电流： 2 3 () 64 adB I RRdt ，逆时针方向； 那么， 2 23 2() 510 BCBCBC dB UUIrIRa dt 。 16-8圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R，高为h， 电阻率为，如图所示。若匀强磁场以 dB k dt （0kk ，为恒量） 的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率。 解：在圆柱体内任取一个半径为r，厚度为dr，高为h的小圆柱通壁， 有： 2 l dB Edlr dt 涡 ，即： 22 dB rkr dt 涡 ， 由电阻公式 l R S ，考虑涡流通过一个d r环带，如图， 有电阻： 2 r R hdr ， 而热功率： 222 23 () 2 2 krkh dPi Rr dr r hdr ， 224 3 0 28 R khkhR Prdr 。 16-9一螺绕环，每厘米绕40匝，铁心截面积 2 cm0 . 3，磁导率 0 200，绕组中通有 电流mA0 . 5，环上绕有二匝次级线圈，求： （1）两绕组间的互感系数； （2）若初级绕组中 的电流在s10. 0内由A0 . 5降低到 0，次级绕组中的互感电动势。 解：已知 40 4000 0.01 n 初 匝，2N 次 ， 5 0 200810 ， 42 3 10Sm 。 涡流 （1）由题意知螺绕环内：BnI，则通过次级线圈的磁链： N BSNnI S 次次次 ， 544 2 8104000 3 106.03 10MNnSH I 次 初 ； （2） 42 50 6.03 103.02 10 0.1 I MV t 初 次 。 16-10 磁感应强度为 B 的均匀磁场充满一半径为 R 的圆形空间 B， 一金属杆放在如图 14-47 所示中位置，杆长为 2R，其中一半位于磁场内，另一半位于磁场外。 当0 dB dt 时，求：杆两端感应电动势的大小和方向。 解： acabbc ，而： Oab ab d dt 扇形 ， ab 2 2 33 44 dR dB R B dtdt ， Obc bc d dt 22 1212 dRR dB B dtdt ， ac 22 3 412 RRdB dt ； 0 dB dt ，0 ac ，即 ac 从ac。 16-11一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有 N 匝，求此螺绕环的自感。 解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度： 0 12 () 2 NI BRrR r 则 S B dS ，有： 2 1 02 0 1 ln 22 R R NIhR NI h dr rR 利用自感定义式：L I ，有：L 2 02 1 ln 2 N hR R 。 16-12一圆形线圈 A 由 50 匝细导线绕成，其面积为 4cm2，放在另一个匝数等于 100 匝、 半径为 20cm 的圆形线圈 B 的中心，两线圈同轴。设线圈 B 中的电流在线圈 A 所在处激发 的磁场可看作匀强磁场。求： （1）两线圈的互感； （2）当线圈 B 中的电流以 50A/s 的变化率减小时，线圈 A 中的感生电动势的大小。 解：设 B 中通有电流I，则在 A 处产生的磁感应强度为： A B 00 2 2 42 BB B BB N IN I BR RR （1）A 中的磁通链为： 0 2 AB AAAA B N N I N BSS R 。则： 0 2 ABA A BB N N S M IR ， 74 76 41050 100 4 10 20106.28 10 2 0.2 MH 。 （2） 0 64 6.28 10503.14 10 2 ABA A B N N S ddI V dtRdt , 4 3.14 10 A V 。 16-13如图，半径分别为b和a的两圆形线圈（ba） ，在0t时共面放置，大圆形线 圈通有稳恒电流 I，小圆形线圈以角速度绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为R，求： （1）当小线圈转过 90时，小线圈所受的磁力矩的大小； （2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。 解：利用毕萨定律，知大线圈在圆心O处产生的磁感应强度为： 0 2 I B b ，由于ba，可将小圆形线圈所在处看成是匀强磁场， 磁感应强度即为 0 2 I B b ，所以，任一时间穿过小线圈的磁通量： 0 2 cos 2 I B Sat b ， 小线圈的感应电流： 2 0 1 sin 2 I da it R dtbR ， 小线圈的磁矩： 2 0 2 (sin) 2 ma I a piSta bR ， （1）由 m MpB，有： 2224 2 0 2 sinsin 4 m Ia MpBtt bR 当 2 t 时： 2224 0 2 4 Ia M b R ； （2）AM d 222422242234 2 000 22 222 00 1 cos2 sin 44216 IaIaIat tdtdt b Rb RRb 。 16-14一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为 1 R和 2 R，导体 圆柱的磁导率为 1 ，筒与圆柱之间充以磁导率为 2 的磁介质。电流I可由中心圆柱流出， 由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。 解：考虑到 2 1 2 m WLI和 2 2 m B w ，可利用磁能的形式求自感。 由环路定理，易知磁场分布： 11 212 1 2 1 2 () () 2 2 BrR BRrR Ir R I r 则： 22 12 12 22 mm BB Ww dVdVdV 单位长度的磁能为： 12 1 12 22 2 0 112 11 ()2()2 2222 RR m R IrI W rdrrdr lRr 22 122 1 ln 164 IIR R ， 利用 2/2 m WLI，有单位长度自感： 12 2 1 ln 82 R L R 。 16-15 一电感为H0 . 2， 电阻为10的线圈突然接到电动势V100， 内阻不计的电源上， 在接通0.1s时，求： （1）磁场总储存能量的增加率； （2）线圈中产生焦耳热的速率； （3） 电池组放出能量的速率。 解： （1）利用磁能公式 2 1 2 m WLI及LC电路通电暂态过程( )(1) Rt L I te R ， 有磁场总储能： 2 22 2 1 ( )(1)(1) 22 RR tt LL m L W tLee RR ， 对上式求导得储能增加率： 2 ( ) (1) RR tt LL dW t ee dtR ， 将2.0LH，10R ，100V，0.1ts代入，有： 0.1 ( ) 238 ts dW t J s dt ； （2）由 2 dQ PI R dt ，有线圈中产生焦耳热的速率： 2 222 ( ) (1)(1) RR tt LL dQ t I ReRe dtRR ；代入数据有： 0.1 ( ) 152 ts dQ t J s dt ； （3）那么，电池组放出能量的速率： 2 (1) Rt L dE Ie dtR ， 代入数据有： 0.1 390 ts dE J s dt 。 16-16. 在一对巨大的圆形极板（电容 12 1.0 10CF ）上，加上频率为50Hz，峰值为 5 1.74 10 V的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。 解：设交变电压为：cos m uUt，利用位移电流表达式： D dq I dt ， 有：sin Dm du ICCUt dt ，而2f， 1255 2250 101.74 105.46 10 Dmm If CUA 。 16-17圆形电容器极板的面积为 S，两极板的间距为 d。一根长为 d 的极细的导线在极板间 沿轴线与极板相连，已知细导线的电阻为 R，两极板间的电压为 0sin UUt，求： （1）细导线中的电流； （2）通过电容器的位移电流； （3）通过极板外接线中的电流； （4）极板间离轴线为 r 处的磁场强度，设 r 小于极板半径。 解： （1）细导线中的电流： 0 sin R UU it RR ； （2）通过电容器的位移电流： 0 00 coscos d SdqdU iCCUtUt dtdtd ； （3）通过极板外接线中的电流： 00 0 sincos Rd US iiitUt Rd ； （4）由 l H dlI 有： 2 00 0 2sincos USr r HtUt RSd ， 00 0 sincos 22 Ur HtUt r Rd 。 思考题思考题 1616 16-1 图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。 小线圈与冲击电流计相接， 线圈面积为A， 匝数为N，电阻为R，其法向n 与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电 流计测得感应电量为q，试求小线圈所在位置的磁感应强度。 解： 11dNBA qIdtdtdt RRdtRR ， Rq B NA 。 16-2如图所示，圆形截面区域内存在着与截面相垂直的磁场，磁感应强度随时间变化。 （a）磁场区域外有一与圆形截面共面的矩形导体回路 abcd，以 ab 表示在导体 ab 段上产生 的感生电动势，I 表示回路中的感应电流，则 A00I ab ； B00I ab ； C00I ab ； D00I ab 。 （b）位于圆形区域直径上的导体棒 ab 通过导线 与阻值为 R 的电阻连接形成回路，以 ab 表示在 导体 ab 段上产生的感生电动势，I 表示回路中的 感应电流，则： A00I ab ； B00I ab ； C00I ab ； D00I ab 。 答： （a）选 C； （b）选 D。 16-3 在磁感应强度为B的均匀磁场内，