固体物理学课后题答案黄昆.pdf

1 第一章第一章 晶体结构晶体结构 后期后期编辑编辑：霍霍团长团长 1.11.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设如果将等体积球分别排成下列结构，设x x表示钢球所占体积与总体积之比，证明：表示钢球所占体积与总体积之比，证明： 结构结构 X X 简单立方简单立方 52. 0 6 体心立方体心立方 68. 0 8 3 面心立方面心立方 74. 0 6 2 六角密排六角密排 74. 0 6 2 金刚石金刚石 34. 0 6 3 解解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构 成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x （1）对于简立方结构： （见教材P2图1-1） a=2r， V= 3 r 3 4 ，Vc=a3，n=1 52. 0 68 3 4 3 4 3 3 3 3 r r a r x （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 34 ar4a3 n=2, Vc=a3 68. 0 8 3 ) 3 34 ( 3 4 2 3 4 2 3 3 3 3 r r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r22a, r4a2 n=4，Vc=a3 74. 0 6 2 )22( 3 4 4 3 4 4 3 3 3 3 r r a r x （4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 2 60sinaa 6S ABO = 2 a 2 33 2 晶胞的体积：V= 332 r224a23a 3 8 a 2 33 CS n=123 2 1 2 6 1 12=6个 74. 0 6 2 )22( 3 4 4 3 4 4 3 3 3 3 r r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG= 3 r8 ar24a3 n=8, Vc=a3 34. 0 6 3 33 8 3 4 8 3 4 8 3 3 3 3 3 r r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：证明： （1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） ： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a ajk a aik a aij 由倒格子基矢的定义： 123 2 ()baa 3 123 0, 22 (),0, 224 ,0 22 aa aaa aaa aa ， 2 23 , ,0,() 224 ,0 22 ijk aaa aaijk aa 2 1 3 42 2()() 4 a bijkijk aa 同理可得： 2 3 2 () 2 () bijk a bijk a 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。 3 （2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） ： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a aijk a aijk a aijk 由倒格子基矢的定义： 123 2 ()baa 3 123 , 222 (), 2222 , 222 aaa aaaa aaa aaa ， 2 23 , ,() 2222 , 222 ijk aaaa aajk aaa 2 1 3 22 2()() 2 a bjkjk aa 同理可得： 2 3 2 () 2 () bik a bij a 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。 所以，体心立方的倒格子是面心立方。 1.5、证明倒格子矢量证明倒格子矢量 1 12 23 3 Ghbh bhb垂直于密勒指数为垂直于密勒指数为 1 23 ()hh h的晶面系。的晶面系。 证明： 因为 3312 1323 , aaaa CACB hhhh ， 1 12 23 3 Ghbh bhb 利用2 ijij a b，容易证明 1 2 3 1 2 3 0 0 h h h h h h GCA GCB 所以，倒格子矢量 1 12 23 3 Ghbh bhb垂直于密勒指数为 1 23 ()hh h的晶面系。 1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为对于简单立方晶格，证明密勒指数为( , , )h k l的晶面系，面间距的晶面系，面间距d满足：满足： 22222 ()dahkl， 其中其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。 4 解：简单立方晶格： 123 aaa， 123 ,aaiaajaak 由倒格子基矢的定义： 23 1 123 2 aa b a aa ， 31 2 123 2 aa b a aa ， 12 3 123 2 aa b a aa 倒格子基矢： 123 222 ,bibj bk aaa 倒格子矢量： 123 Ghbkblb， 222 Ghikjlk aaa 晶面族()hkl的面间距： 2 d G 222 1 ( )( )( ) hkl aaa 2 2 222 () a d hkl 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面 越容易解理。 1.9、画出立方晶格（画出立方晶格（111）面、 （）面、 （100）面、 （）面、 （110）面，并指出（）面，并指出（111）面与（）面与（100）面、 （）面、 （111）面与（）面与（110） 面的交线的晶向。面的交线的晶向。 解： (111) (111) 1、(111)面与(100)面的交线的 AB，AB平移，A 与 O 点重合，B点位矢： B Rajak ， (111)面与(100)面的交线的晶向ABajak ，晶向指数011。 2、(111)面与(110)面的交线的 AB，将 AB平移，A 与原点 O 重合，B点位矢： B Raiaj ，(111)面 与(110)面的交线的晶向ABaiaj ，晶向指数110。 5 第二章第二章 固体结合固体结合 2.1、 两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数 （两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数 （2ln2） 和库仑相互作用能， 设离子的总数为） 和库仑相互作用能， 设离子的总数为2N。 解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键， 取任一负离子作参考离子 （这样马 德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离， 于是有 ( 1)1111 2. . . 234 j ij rrrrrr 前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 i r的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求 和后要乘 2，马德隆常数为 234 (1). 34 n xxx xx x 当 X=1 时，有 111 1.2 234 n 2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为、若一晶体的相互作用能可以表示为 ( ) mn u r rr 试求： （试求： （1）平衡间距）平衡间距 0 r； （2）结合能）结合能W（单个原子的） ；（单个原子的） ； （3）体弹性模量；）体弹性模量； （4）若取）若取 0 2,10,3 ,4mnrA WeV，计算，计算及及的值。的值。 解解： （： （1）求平衡间距求平衡间距 r0 由0 )( 0 rr dr rdu ，有： mn nm nm m n n m r r n r m 1 1 0 1 .0 1 0 0 结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量 称为结合能（用 w 表示） （2）求结合能求结合能 w（单个原子的）（单个原子的） 题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子 基团，或其它复杂的基元。 显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即 Umin 即： nm rr rUW 00 0) ( （可代入 r0值，也可不代入） （3）体弹性模量）体弹性模量 由体弹性模量公式： 0 2 2 0 2 0 9 r r U V r k 111 21. 234 22 n 6 （4）m = 2，n = 10， Ar3 0 ， w = 4eV，求、，求、 8 1 8 1 0 5 2 10 r ) 5 ( 5 4 )( 8 0 2 0 10 . 2 0 0 代入 r rrr rU eV r rUW4 5 4 )( 2 0 0 将 Ar3 0 ，JeV 19 10602. 11 代入 2115 238 10459. 9 10209. 7 mN mN 详解：详解： （1）平衡间距 r0的计算 晶体内能( )() 2 mn N U r rr 平衡条件 0 0 r r dU dr ， 11 00 0 mn mn rr ， 1 0 ()n m n r m （2）单个原子的结合能 0 1 ( ) 2 Wu r ， 0 0 ( )() mn r r u r rr ， 1 0 ()n m n r m 1 (1)() 2 m n m mn W nm （3）体弹性模量 0 2 0 2 ()V U KV V 晶体的体积 3 VNAr，A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能( )() 2 mn N U r rr UUr VrV 112 1 () 23 mn Nmn rrNAr 2 2112 1 () 23 mn UNrmn VVrrrNAr 0 222 22 00000 1 2 9 mnmn V V UNmnmn VVrrrr 由平衡条件 0 112 000 1 ()0 23 mn V V UNmn VrrNAr ，得 00 mn mn rr 7 0 222 22 000 1 2 9 mn V V UNmn VVrr 0 2 22 000 1 2 9 mn V V UNmn mn VVrr 2 000 2 9 mn N nm Vrr 0 00 () 2 mn N U rr 0 2 0 22 0 () 9 V V Umn U VV 体弹性模量 0 0 9 mn KU V （4）若取 0 2,10,3,4mnrA WeV 1 0 ()n m n r m ， 1 (1)() 2 m n m mn W nm 10 0 2 W r， 2 0 10 0 2rW r -9510 1.2 10eV m， 192 9.0 10eV m 2.7、 对于对于 2 H， 从气体的测量得到， 从气体的测量得到 LennardJones参数为参数为 6 50 10,2.96.JA 计算计算 fcc结构的结构的 2 H 的结合能的结合能以以 KJ/mol 单位单位)，每个氢分子可当做球形来处理结合能的实验值为，每个氢分子可当做球形来处理结合能的实验值为 0.751kJmo1，试与计，试与计 算值比较算值比较 解 以 2 H为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 LennardJones 势相互作用， 则晶体的总相互作用能为： 126 126 2. ijij ij UNPP RR 612 14.45392;12.13188, ijij ji PP 1623 50 10,2.96 ,6.022 10/.ergA Nmol 126 2816 2.962.96 2 6 022 10/50 1012.1314.452.55/. 3.163.16 U UmolergKJ mol 0 将R 代入 得到平衡时的晶体总能量为 。 因此， 计 算得到的 2 H晶体的结合能为 255KJmol，远大于实验观察值 0.75lKJmo1对于 2 H的晶体， 量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大 差别的原因 8 第第三三章章 固格振动与晶体的热学性质固格振动与晶体的热学性质 3.2、讨论、讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a） ，其） ，其 2N个格波解，当个格波解，当M= m时与一维单原子时与一维单原子 链的结果一一对应。链的结果一一对应。 解：质量为M的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ；质量为m的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。 牛顿运动方程 222121 2121222 (2) (2) nnnn nnnn m M N 个原胞，有 2N 个独立的方程 设方程的解 (2) 2 (21) 21 itna q n itnaq n Ae Be ，代回方程中得到 2 2 (2)(2cos)0 (2cos)(2)0 mAaq B aq AMB A、B 有非零解， 2 2 22cos 0 2cos2 maq aqM ，则 1 22 2 2 ()4 1 1sin () mMmM aq mMmM 两种不同的格波的色散关系 1 22 2 2 1 22 2 2 ()4 1 1sin () ()4 1 1sin () mMmM aq mMmM mMmM aq mMmM 一个 q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为 2N. 当Mm时 4 cos 2 4 sin 2 aq m aq m ， 两种色散关系如图所示： 长波极限情况下0q ，sin() 22 qaqa ， (2)q m 与一维单原子晶格格波的色散关系一致. 3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为和和10，令令两种原子质量相等，两种原子质量相等， 且最近邻原子间距为且最近邻原子间距为2a。试求试求在在0,qqa处的处的( )q，并，并粗略画出色散关系曲线。粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如此问题模拟如 2 H这样的双原子分子晶体。这样的双原子分子晶体。 9 答： （1） 浅色标记的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ；深色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。 第 2n 个原子和第 2n1 个原子的运动方程： 2122221121 21122112222 () () nnnn nnnn m m 体系 N 个原胞，有 2N 个独立的方程 方程的解： 1 (2 ) 2 2 1 (21) 2 21 itnaq n itnaq n Ae Be ，令 22 1122 /,/mm，将解代入上述方程得： 11 22222 22 1212 11 22222 22 1212 ()()0 ()()0 i aqi aq i aqi aq AeeB eeAB A、B有非零的解，系数行列式满足： 11 22222 22 1212 11 22222 22 1212 (),() 0 (),() i aqi aq i aqi aq ee ee 1111 222 22222 2222 121212 ()()()0 i aqi aqi aqi aq eeee 1111 222 22222 2222 121212 ()()()0 i aqi aqi aqi aq eeee 因为 1 、 2 10，令 2222 0120 10 ,10 cc mm 得到 22 24 00 (11)(101 20cos)0aq 两种色散关系： 22 0(11 20cos101)qa 当0q 时， 22 0(11 121)， 0 22 0 当q a 时， 22 0(11 81)， 0 0 20 2 10 （2）色散关系图： 3.6.求出一维单原子链的频率分布函数求出一维单原子链的频率分布函数 w。 3.7、设三维晶格的光学振动在设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有附近的长波极限有 2 0 ( )qAq 求证：求证： 1/2 00 23/2 1 ( ), 4 V f A ; 0 ( )0,f. 解 1 1 2 2 22 0000 0 ( )0,0AqfAqqA时， 依据 3 ( )2,( ) ( )2 q q Vds qAq f q ，并带入上边结果有 1/2 1/2 00331/22 23/2 0 11 4 2( ) 222 q VdsVAV f AAq 3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为设晶体中每个振子的零点振动能为 1 2 ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 0 E就是各振动模零点能 之和。 000 0 1 2 m EEgdE 将和 2 23 3 2 s V g v 代入积分有 4 0 23 39 168 mm s V EN v ，由于 0 9 8 mBDBD kENk得 一股晶体德拜温度为 2 10 K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟 3.11、一维复式格子一维复式格子 241 5 1.67 10,4,1.5 10/ M mgN m m 4 ( 1.51 10/),dyn cm即求（求（1） ，光） ，光 11 学波学波 00 maxmin ,，声学波，声学波 max A 。 （2）相应声子能量是多少电子伏。相应声子能量是多少电子伏。 （3）在在 300k 时的平均声子数。时的平均声子数。 （4）与与 0 max 相对应的电磁波波长在什么波段。相对应的电磁波波长在什么波段。 解（1） ， 4 1 3 1 m a x 24 22 1.5 10/ 3.00 10, 4 5 1.67 10 A dyn cm s M 424 131 max 2424 22 1.5 104 551.67 10/ 6.70 10 4 5 1.67 105 1.67 10 o Mmdyn cm s Mm 4 1 31 m a x 24 22 1.5 10/ 5.99 10 5 1.67 10 A dyn cm s m （2） 161312 max 161312 max 161312 min 6.58 105.99 101.97 10 6.58 106.70 104.41 10 6.58 103.00 103.95 10 A o o seV seV seV （3） maxmax maxmax / 11 0.873,0.221 11 AO BB AO k Tk T nn ee min min / 1 0.276 1 O B O k T n e （4） 2 28.1 c m 12 第四章第四章 能带理论能带理论 4.2、写出一维近自由电子近似，第写出一维近自由电子近似，第 n 个能带个能带(n=1，2，3)中，简约波数中，简约波数 2 k a 的的 0 级波函数。级波函数。 解 2221 () * 24 1111 ( ) imxiximximx ikxikx aaaa k xee eeee LLLL 第一能带： * 2 1 0,0,( ) 2 ix a k mmxe aL 第二能带： 23 * 2 221 ,1,( ) xix aa k bbbb mmxe aaL ii2a 则即（e=e ） 第三能带： 25 * 22 2211 ,1,( ) ixixix aaa k cc mmxeee aaLL 即 4.3、电子在周期场中的势能电子在周期场中的势能 222 1 (), 2 mbxna nabxnab当 ( )V x 0 ， xnab当(n-1)a+b 其中其中 d4b，是常数试是常数试画画出此势能曲线出此势能曲线，求其平均值及此晶体，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带的第一个和第二个禁带度度 解(I)题设势能曲线如下图所示 (2)势能的平均值：由图可见，( )V x是个以a为周期的周期函数，所以 111 ( )( )( )( ) aa b Lbb V xV xV x dxV x dx Laa 题设4ab，故积分上限应为3abb，但由于在,3b b区间内( )0V x ，故只需在, b b区间 内积分这时，0n ，于是 22 22232 111 ( )() 2236 bb bb bb bb mm VV x dxbx dxb xxm b aaa 。 （3） ，势能在-2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 2 0 00 21 ( )cos,( )cos( )cos 2222 bb mm m mmm V xVVx VV xxdxV xxdx bbbbb 13 11 2 22 1 0 2,1()cos 2 b gg mx EVmEbxdx bb 第一个禁带宽度以代入上式, 利用积分公式 2 23 2 cossin2cossin u umudumumumumu mm 得 2 2 3 16m b 1 g E第二个禁带宽度 2 2 2,2 g EVm以代入上式,代入上式 2 2 22 0 ()cos b g mx Ebxdx bb 再次利用积分公式有 2 2 2 2m b 2 g E 4.4、用紧束缚近似模型求出面心立方晶格和体心立方晶格用紧束缚近似模型求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带态原子能级相对应的能带( ) s E k函数函数。 解：我们求解面心立方，同学们做体立方。 （1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成： () 0 ( )() s ikRs ss Rs E kJJ R e 近邻 在面心立方中，有12个最近邻，若取0 m R ，则这12个最近邻的坐标是： (1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0) 2222 aaaa (0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1) 2222 aaaa (1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1) 2222 aaaa 由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此() S J R有相同的值，简单表示为 J1=() S J R。又由于s态波函数为偶宇称，即()( ) ss rr 在近邻重叠积分 * ()()( )()( ) sissi J RRUV Rd 中，波函数的贡献为正 J10。 于是，把近邻格矢 S R代入() s S ER表达式得到： 01 ( ) s ik Rs S Rs E kJJe 近邻 = ()()()() 2222 01 xyxyxyxy aaaa ikkikkikkikk S JJeeee 14 ()()()() 2222 yzyzyzyz aaaa ikkikkikkikk eeee + ()()()() 2222 xzxzxzxz aaaa ikkikkikkikk eeee = 01 2cos()cos()cos()cos() 2222 Sxyxyyzyz aaaa JJkkkkkkkk cos()cos() 2 zxzx a kkkk cos()cos()2coscos = 01 4coscoscoscoscoscos 222222 sxyyzzx aaaaaa JJkkkkkk （2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是： (1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1) 2222 aaaa (1,1,1),(1,1,1,),(1,1,1),(1,1,1) 2222 aaaa 01 ( )8(coscoscos) 222 s sxyz aaa E kJJkkk 4.7、有一一维单原子链，有一一维单原子链，间距为间距为 a，总长度为总长度为 Na。求（。求（1）用紧束缚近似求出原子用紧束缚近似求出原子 s 态能级对应的能带态能级对应的能带 E(k)函数。 （函数。 （2）求出其能态密度函数的表达式。 （）求出其能态密度函数的表达式。 （3）如果每个原子）如果每个原子 s 态只有一个电子，求等于态只有一个电子，求等于 T=0K 的的 费米能级费米能级 0 F E及及 0 F E处的能态密度。处的能态密度。 解（1） 010101 ( )()2cos2cos ikaika ss E kJJ eeJJkaEJka 0 ( )() s ik R s E kEJJ p e (2) , 11 21 ( )22 22sinsin LdkNaN N E dEJ akaJka (3), 0 0 00 0 2 2 ( ) 222 22 F k F FF NakNa Nkdkkk a 000 1 1 1 ()2cos,() 2 sin 2 FFsF NN EE kEJaE N E aJ Ja a 4.12、正方晶格设有二维正方晶格，晶体势为正方晶格设有二维正方晶格，晶体势为 22 ,4coscos. xy U x yU aa 用基本方程，近似求出布里渊区角用基本方程，近似求出布里渊区角, a a 处的能隙处的能隙 15 解 以 , i j表 示 位置 矢量 的单 位矢 量， 以 12 ,b b表 示 倒易 矢量 的单 位矢 量， 则有 ， 1 12 2