固体物理13-18参考答案.pdf

习题习题 18.1 一维周期势场中电子的波函数一维周期势场中电子的波函数k( (x) 应当满足布洛 赫定理。若晶格常数时 ) 应当满足布洛 赫定理。若晶格常数时a，电子的波函数为：，电子的波函数为： 3 (1)( )sin(2)( )cos (3)( )() (4)( )( 1)() kk k l l k l xx xxi aa xf xla xf xla = = = = = 其中其中f( (x la) 是个确定的函数。试求布洛赫电子在这些 状态的简约波矢。 ) 是个确定的函数。试求布洛赫电子在这些 状态的简约波矢。 4.3 电子周期场的势能函数为电子周期场的势能函数为 222 1 (), ( )2 0,(1) mbxnanabxnab V x nabxnab + = + 当 当 其中其中 a = =4b，为常数，为常数 （1）试画出此势能曲线，并求其平均值。）试画出此势能曲线，并求其平均值。 （2）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个 带隙宽度。 ）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个 带隙宽度。 势能曲线势能曲线 0 11 ( ) L ikxikx VeV xe dx LL = 势能的平均值：势能的平均值： 222 111 () 2 na b ikxikx na b VNembxnae dx LL + = 222 () 2 na b na b N Vmbxnadx L + = xnaLNa=令 ， 2 2222 1 296 b b a Vmbdm a + = 2 00 11 ( )( )( ) n inaa iK a V neVdeVd aa = () 222 1 , ( )2 0 mbbb V x bb + = + 当 ,当 将将代入代入 2 222 22 22 11 ( )() 2 () 2 inb a b inb a b V nembd a m ebd a + + = = 22 22 1 () 2 ib a b m Vebd a + = 42 22 2 () 2 ib a b m Vebd a + = 11 2 g EV= 晶体的第一个禁带宽度：晶体的第一个禁带宽度： 22 2 g EV= 晶体的第二个禁带宽度：晶体的第二个禁带宽度： 例题例题4.12 设有二维正方晶格，晶体势场为 设有二维正方晶格，晶体势场为 22 ( , )4coscosU x yUxy aa = 用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角, , a a 处的能隙。处的能隙。 ()()()() 22222222 , 2222 ( , )2coscos ix yix yix yix y aaaaaaaa U x yUxyxy aaaa U eeee = + = + 解解: 因此只有因此只有 22222222 , aaaaaaaa 这四个倒格矢的傅氏展开系数为这四个倒格矢的傅氏展开系数为U, 其余的傅氏展开系数为其余的傅氏展开系数为0。 因为 。 因为, 在布里渊区顶处，自由电子能量是四重简 并的 在布里渊区顶处，自由电子能量是四重简 并的 ,k a a = 0123 ()0(,) 2 2222 0,(0,),(,0),(,), n n K Kkk a a KKKK aaaa = = i 相应的傅氏展开系数为相应的傅氏展开系数为: 0,0,0,U。它们相应的零级能量都 相等。 。它们相应的零级能量都 相等。 () 1 ( )() m i k Kr km m ra Ke N + = i 波函数展开式为波函数展开式为 波函数中除了含有的项外，其它 项都可忽略，波函数可近似为 波函数中除了含有的项外，其它 项都可忽略，波函数可近似为 123 (0), (), (), ()aa Ka Ka K 12 3 ()() 12 () 3 1 ( ) (0)()() () i k Kri k Krik r k i k Kr raea K ea K e N a K e + + =+ + iii i 0 ( )( )( ) kkk HrHrEr+=薛定谔方程薛定谔方程 01 23 00 010 00 2030 ()()() ()()()()0 KK KK a EEUa KEEU a KEEUa KEEU + += 分别以左乘方程，对分别以左乘方程，对x积分积分, 可得可得 0123 0*0*0*0* , KKKK 010203 101213 202123 303132 0123 0123 1023 1203 () (0)()()()0 (0)() ()()()0 (0)()() ()()0 (0)()()() ()0 KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK EE aUa KUa KUa K UaEE a KUa KUa K UaUa KEE a KUa K UaUa KUa KEE a K += += += += 123 (0), (), (), ()aa Ka Ka K 由的系数行列式等于0 123 11213 22123 33132 0 0 0 0 0 KKK KKKKK KKKKK KKKKK EEUUU UEEUU UUEEU UUUEE = 0 0 0 0 00 00 0 00 00 EEU EEU UEE UEE = () 4 4 0 0EEU= E E 的四个根为：的四个根为： 0000 ,EUEUEUEU+ 因此能隙为因此能隙为2U 例题例题15.1 某种简单立方结构晶体，按近自由电子近似求得 电子的费米能为： 某种简单立方结构晶体，按近自由电子近似求得 电子的费米能为：EF= EK/2 |UK|+ 此处此处K = 2 /a (1,0,0)，EK/2为为K/2 点自由电子的能量，点自由电子的能量，UK为 对应 为 对应K 的傅立叶系数。 证明： 的傅立叶系数。 证明：(1) 当当 2|UK|时费米球进入第二布里渊区，在布里渊区边 界上交成半径为 时费米球进入第二布里渊区，在布里渊区边 界上交成半径为1，2的两个圆，这两个圆之间的面积为的两个圆，这两个圆之间的面积为 2 4 K m U ? 解：解： (1) 当当 2|UK|时时 EF= EK/2|UK| + EK/2+ +|UK| 费米面进入第二布里渊区费米面进入第二布里渊区. 在布里渊区边界两侧在布里渊区边界两侧, 费米面的 截线为两个圆。 费米面的 截线为两个圆。 () 222 2222 1212 ,2 222 kkk kUkUkkU mmm =+= ? ()() 22 2222 1122 2222 1212 2 , 4 k kk aa m kkU =+=+ = ? 19.1 如果费米面在一布里渊区边界相截成两个圆周，其 半径差为 如果费米面在一布里渊区边界相截成两个圆周，其 半径差为k0，如果，如果k0很小，以很小，以2/2m=1 为单位，证明：为单位，证明： (1) k0=VG/ k0，其中，其中k0为小圆半径，为小圆半径，VG为晶体周期势 场在此布里渊区边界的傅里叶分量。 为晶体周期势 场在此布里渊区边界的傅里叶分量。(2) 以以k0和和k0+k0为 半径的圆环面积为 为 半径的圆环面积为2 VG。 ()()() 120 22 12121200 2 4 2 G k m kkV = =+= ? 0 2 2 GG m kVV= ? () 22 12 2 4 2 GG m VV = ? 圆环面积圆环面积 习题习题 4.4 用紧束缚近似求出体心立方和面心立方晶体用紧束缚近似求出体心立方和面心立方晶体s 态原子能 级相对应的能带 态原子能 级相对应的能带ES( (k)函数。求相应的能带宽度。)函数。求相应的能带宽度。 0 ( )() s s ik R is RNearest E kJJ R e = = ? ? ? 能量本征值能量本征值 当只计入最近邻格点原子的相互作用时，s 态原子能级 相对应的能带函数可以表示为： 当只计入最近邻格点原子的相互作用时，s 态原子能级 相对应的能带函数可以表示为：( ) s Ek ? 0 ( )() s s ik Rs ss RNearest EkJJ R e = = ? ? ? ,00,0, 222222 ,00,0, 222222 , ,00,0, 222222 ,00,0, 222222 aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa 面心立方晶格如图所示。任意选 取一个格点为原点。有12 个最 邻近的格点，其位置为 面心立方晶格如图所示。任意选 取一个格点为原点。有12 个最 邻近的格点，其位置为 0 22 s aa Rijk=+ ? 将将 等12个格矢代入等12个格矢代入 0 ( )() s s ik Rs ss RNearest EkJJ R e = = ? ? ? ()( ) ss rr= ? s态波函数为偶宇称态波函数为偶宇称 * 1 ()() ( )( )( )0 sisi JJ RRUVd = ? 具有相同的值表示为具有相同的值表示为() s J R ? 1 () s JJ R= ? 01 ( ) s s ik Rs s RNearest EkJJe = = ? ? ? 将将 0 22 s aa Rijk=+ ? 代入计算代入计算 () 0 22 () 2 sxyz sxy aa k Rk ik jk kijk a k Rkk =+ =+ ? ? ? () 2 (cossin)(cossin) 2222 xy s a ikk ik R yy xx ee k ak a k ak a ii + = = ? ? 类似表示共有类似表示共有12项项 经过化简得到：经过化简得到： 01 ( )4(coscos 22 coscoscoscos) 2222 ys x s y xzz k a k a EkJJ k a k ak ak a = + ? 01 (0,0,0)12 S kEJJ= ? 能带底能带底 01 2 (,0,0)4 S kEJJ a =+ ? 能带顶能带顶 1 16 J 能带宽度是能带宽度是 体心立方格子如图所示，任意选取一个格点为原点。 有8 个最邻近的格点，其位置为 体心立方格子如图所示，任意选取一个格点为原点。 有8 个最邻近的格点，其位置为 , 222222 , 222222 , , 222222 , 222222 aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa 222 s aaa Rijk=+ ? 将将 等12个格矢代入等12个格矢代入 0 ( )() s s ik Rs ss RNearest EkJJ R e = = ? ? ? ()( ) ss rr= ? s态波函数为偶宇称态波函数为偶宇称 * 1 ()() ( )( )( )0 sisi JJ RRUVd = ? 具有相同的值表示为具有相同的值表示为() s J R ? 1 () s JJ R= ? 01 ( ) s s ik Rs s RNearest EkJJe = = ? ? ? 将将 222 s aaa Rijk=+ ? () 222 () 2 sxyz sxyz aaa k Rk ik jk kijk a k Rkkk =+ =+ ? ? ? 代入计算代入计算 () 2 (cossin) 22 (cossin)(cossin) 2222 xyz s a ikkk ik R xx yy zz k ak a eei k ak a k ak a ii + = ? ? 类似表示共有类似表示共有8项项 经过化简得到：经过化简得到： 01 ( )8coscoscos 222 ys xz s k a k ak a EkJJ= ? 01 (0,0,0)8 S kEJJ= ? 能带底能带底 01 2 (,0,0)8 S kEJJ a =+ ? 能带顶能带顶 1 16 J 能带宽度是能带宽度是 4.7 有一一维单原子链，原子间距为有一一维单原子链，原子间距为a，总长度为，总长度为Na。(1) 用 紧束缚近似方法求出与原子 用 紧束缚近似方法求出与原子s 态能级相对应的能带态能级相对应的能带ES( (k)函 数； )函 数；(2) 求出能态密度函数的表达式；求出能态密度函数的表达式；(3)如果每个原子如果每个原子s 态 上只有一个电子，求 态 上只有一个电子，求 T = 0 K 时的费米能级及费米能级上 的能态密度。 时的费米能级及费米能级上 的能态密度。 4.13 证明面心立方晶体的证明面心立方晶体的s 带紧束缚近似下的带紧束缚近似下的ES( (k)函数，在沿 布里渊区几个主对称轴方向，可以约化成以下形式： )函数，在沿 布里渊区几个主对称轴方向，可以约化成以下形式： 2 2 2 (1)0, 01) 4 (12cos) 21 (2), 0) 2 12 cos 23 (3),0, 0) 4 4 (cos2cos) 212 (4)0, 01) 2 4 (coscos yzx s xyz s xyz s zxy s X kkk a E L kkk a E K kkk a E W kkk aa E = =+ = = = =+ = = 沿（ 沿（ 沿（ 沿（ 11 coscos) 22 + 解：解： 面心立方最近邻的原子数为面心立方最近邻的原子数为12，根据禁束缚近似，根据禁束缚近似S带计算 公式， 带计算 公式，Es（K） 把各方向的把各方向的Kx、Ky、Kz值代入上式即可得到相应的答案， 具体计算略。 值代入上式即可得到相应的答案， 具体计算略。 习题习题 5.1 已知一维晶体的电子能带可以写成已知一维晶体的电子能带可以写成 2 2 71 ( )coscos2 88 E kkaka ma =+ ? 其中其中a 是晶格常数，试求是晶格常数，试求(1) 能带宽度，能带宽度，(2) 电子在波矢电子在波矢k 的状态时的速度，的状态时的速度，(3)能带顶部和底部电子的有效质量。能带顶部和底部电子的有效质量。 1）能带底部：1）能带底部：kE0,(0)0= 能带顶部：能带顶部： 22 22 712 ,()(coscos2 ) 88 kE aamama =+= ? 2 2 2 ()(0)EEE ama = ? 能带宽度：能带宽度： 2）电子在波矢k 的状态时的速度：2）电子在波矢k 的状态时的速度： 2 1( )1 ( ),( )(sinsin2) 4 dE k v kv kkaka dkma = ? ? 3）有效质量由3）有效质量由 222 222 222 4 */,(coscos2) 8 EE makaaka kkma = ? ? * 1 coscos2 2 m m kaka = 0,*2kmm=能带底部电子的有效质量：能带底部电子的有效质量： 能带顶部电子的有效质量：能带顶部电子的有效质量：km 2 ,* 3 m a = 5.2 晶格常数为晶格常数为2.5 的一维晶格，当外加的一维晶格，当外加102 V/m 和和107 V/m 电场时，分别估算电子自能带底部运动到能带顶部所 需要的时间。 电场时，分别估算电子自能带底部运动到能带顶部所 需要的时间。 1 2 t k = T简约布里渊区宽度 = 2电子在 空间运动速度 dk F dt = ? ( ) dkqE v k dt = ? / 2( )/ Taa t v kEq = ? 17.1 利用近自由电子近似简并微扰讨论一维问题的结果， 在布里渊区边界附近，波矢为 利用近自由电子近似简并微扰讨论一维问题的结果， 在布里渊区边界附近，波矢为 )1 (= a n k 能量为：能量为： 2 2 2 (1) 2 (1) n nnn n n nnn n T VTVT V E T VTVT V + = + 讨论带底电子和带顶空穴的有效质量。讨论带底电子和带顶空穴的有效质量。 17.2 利用紧束缚近似求出的体心立方和面心立方晶体利用紧束缚近似求出的体心立方和面心立方晶体s 态 原子能级相对应的能带 态 原子能级相对应的能带ES( (k)函数，讨论)函数，讨论s 态原子能级相对 应的能带宽度、带底电子和带顶空穴的有效质量。提示： 体心立方带顶在 态原子能级相对 应的能带宽度、带底电子和带顶空穴的有效质量。提示： 体心立方带顶在H 点，坐标为点，坐标为(0, 1/2, 0)；面心立方带顶在；面心立方带顶在 W 点，坐标为点，坐标为(1/2, 1/4, 0)。 紧束缚近似求出的体心立方晶体紧束缚近似求出的体心立方晶体s 态原子能级相对应 的能带 态原子能级相对应 的能带ES( (k)函数)函数 01 ( )8coscoscos 222 ys xz s k a k ak a EkJJ= ? 01 (0,0,0)8 S kEJJ= ? 能带底能带底 01 2 (,0,0)8 S kEJJ a =+ ? 能带顶能带顶 1 16 J 能带宽度是能带宽度是 22 *2 22 1 / 2 xx x E m kJ a = ? ?带底电子有效质量 同理可得 带底电子有效质量 同理可得 22 * 22 11 22 yyzz mm J aJ a = ? 2 * 2 1 2 xxyyzz mmm J a = ? 带顶电子的有效质量带顶电子的有效质量 2 * 2 1 2 xxyyzz mmm J a = ? 带顶空穴的有效质量带顶空穴的有效质量 紧束缚近似求出的和面心立方晶体紧束缚近似求出的和面心立方晶体s 态原子能级相对应 的能带 态原子能级相对应 的能带ES( (k)函数)函数 01 ( )4(coscos 22 coscoscoscos) 2222 ys x s y xzz k a k a EkJJ k a k ak ak a = + ? 01 (0,0,0)12 S kEJJ= ? 能带底能带底 01 22 (,0,0)(,0)4 S kkEJJ aaa =+ ? 能带顶能带顶 1 16 J 能带宽度是能带宽度是 22 *2 22 1 / 2 xx x E m kJ a = ? ?带底电子有效质量 同理可得 带底电子有效质量 同理可得 22 * 22 11 22 yyzz mm J aJ a = ? 带顶电子的有效质量比较复杂，计算方法相似。带顶电子的有效质量比较复杂，计算方法相似。 习题习题 4.10 向铜中掺锌，一些铜原子被锌原子取代。采用自由 电子模型，求锌原子与铜原子之比为何值时，费米球与第 一布里渊区边界相接触。（铜是面心立方，单价，锌是二 价）。 4.10 向铜中掺锌，一些铜原子被锌原子取代。采用自由 电子模型，求锌原子与铜原子之比为何值时，费米球与第 一布里渊区边界相接触。（铜是面心立方，单价，锌是二 价）。 f.c.c的第一的第一BZ为为14面体，面体，14面体表面离中心点最近的点 为L点。坐标为L距离为 面体表面离中心点最近的点 为L点。坐标为L距离为 21 1 1 ( , ) 2 2 2a 3 L a = () 1/3 2 3 F kn= 费米球半径为费米球半径为 费米球与费米球与f.c.c的第一的第一b.z相切相切 () 1/3 2 35.4 3 F kn aa = 3 5.4 n a = 3 4 a naf.c.c原子密度为原子密度为 333 5.448 (1) 0.35 nxx aaa x =+ = 锌原子与铜原子之比为0.35:0.65锌原子与铜原子之比为0.35:0.65 5.3 证明在磁场中运动的布洛赫电子，在5.3 证明在磁场中运动的布洛赫电子，在k 空间中轨道面 积 空间中轨道面 积Sn和在和在r 空间中轨道面积空间中轨道面积An之间的关系为：之间的关系为： 2 nn AS qB = ? ( ) dkdkdr qv kBqB dtdtdt = = ? ? ? ? rk qB = ? 在在k 空间中轨道面积空间中轨道面积Sn和在和在r 空间中轨道面积空间中轨道面积An之间的关系为之间的关系为 可知，在垂直于B平面内线元可知，在垂直于B平面内线元r与与k的关系为的关系为 2 nn AS qB = ? 5.4 5.4 (1) 根据自由电子模型计算钾的德根据自由电子模型计算钾的德 哈斯范哈斯范 阿尔 芬效应的周期 阿尔 芬效应的周期 (2) 对于对于B =1 T，在实空间电子运动的轨道面积有多大？，在实空间电子运动的轨道面积有多大？ 1 B 21 2 2 1112 2 F FF Sqq BBBNS N Sk S = = ? 5.5 设电子等能面为椭球5.5 设电子等能面为椭球(1) 求电子的能态密度；求