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第三章第三章 平衡问题：矢量方法平衡问题：矢量方法 本章要点：本章要点： 一、力系的平衡方程及其应用 1 平衡方程 0, 0, 0, 0, 0, 0= zyxzyx mmmFFF 0 0 0 = = = y x z m m F 0 0 0 = = = z y x F F F 0 0 0 = = = z y x m m m 0 O M 0 R F 0kFR 0 0 0 = = = z y x m F F 0 0 kM kF O R 0 0 = = y x F F 0 z F 0= z m 0 0 y x m m 0 0 = = x z m F 0 y m 平面平行力系: 平面力偶系: 平面汇交力系: 平面力系: 空间力偶系: 空间汇交力系: 空间平行力系: 空间力系: 解题要领：解题要领： 1 解平衡问题的三部曲：确定研究对象、画受力图、列平衡方程； 2 通常先以整体为研究对象，再以部分为研究对象； 3 平衡方程的两种形式：投影式和对轴的力矩式，两者都与轴有关，选择合适的坐标轴可 避免解联立方程。 4 做一定数量的习题是掌握平衡问题的关键。 2 静定和静不定问题 未知约束力分量的数目等于独立平衡方程的数目，这类平衡问题称为静定问题； 未知约束力分量的数目大于独立平衡方程的数目， 这类平衡问题称为静不定问题， 两者 之差称为静不定次数。这类问题需要补充与静不定次数相同数量的变形协调方程才能求解。 未知约束力分量的数目小于独立平衡方程的数目，这类平衡问题是不存在的。 解题要领：解题要领： 判定一个力学系统静定与否， 必需比较全部未知约束力分量的数目与全部独立平衡方程 的数目。 二、考虑摩擦的平衡问题 1 滑动摩擦力 1 维持物块平衡的摩擦力的值只能在零和之间，即 max F max 0FF . 库仑摩擦定律: 最大静滑动摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反,其大小与正压力 成正比,而与接触面积的大小无关, 即 NsF fF= max . 2 摩擦角与自锁现象 在临界平衡状态下，全反力与正压力的夹角 max 称为摩擦角，与摩擦因数的关系为 s f s N f F F = max max tan， 即摩擦角的正切等于静滑动摩擦因数。 当主动力的合力作用线位于摩擦锥内时， 不论这个力多大， 接触面一定能产生与之大小 相等、 方向相反的全反力与之平衡， 这种依靠摩擦力维持平衡而与主动力大小无关的现象称 为自锁。反之，主动力的合力作用线位于摩擦锥外时，不论这个力多小，物体总不平衡。 1 滚动摩擦 维持滚动体平衡的滚阻力偶M的值只能在零和之间，即 . fmax,f M max 0 ,ff MM 最大滚阻力偶与正压力成正比，即 max,f M N F N,f FM= max 。 解题要领：解题要领： 1 滑动摩擦问题，要区分三种状态： ）平衡范围之内，即，此时，静滑动摩擦力相当于普通的约束力，力矢 的箭头指向可以任意假定； max 0FF P 3-3 梁 AB 用三根杆支承，如图示。已知kN30 1 =F，kN40 2 =F， 。试求三杆的约束力。 mkN30=M kN/m20=q 题 32 图 (a) 解解：以 AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程 题 3-3(a)图 0= x F， 060cos60cos 1 =+ oo FFC kN30 1 =FFC , , 0= B m 05 . 134 860sin360sin8 2 1 =+ + qF FFMF CA oo kN22.63= A F. , 0= y F , 0360sin60sin 21 =+qFFFFF BCA oo kN7488.= B F. 题 3-3(b)图 （b）解解：以 AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程 0= x F， ， 030cos45cos45cos 2 = ooo FFF BD = , 0 C m , 0630sin 2845sin445sin 2 1 = + o oo F FMFF BD 解得：； kN4 .57kN,42. 8= DB FF , 0= y F ， 030sin45sin45sin 21 =+ ooo FFFFF CBD 解得：。 kN45. 3= C F 3-4 试求图示多跨梁的支座反力。已知（a）mkN8=M，； （b） ，。 kN/m4=q mkN40=MkN/m10=q (a) 解解： （1）先取 BC 梁为对象，画受力图，列平衡方程 0= B m，0364=qFC， 4 ； kN18= C F , 0= y F ， 06 =+qFF CBy kN6= By F 0= x F， kN0= Bx F （2）再取 AB 梁为对象，画受力图，列平衡方程 ， ， 0= x F0=+ BxAx FF kN0= BxAx FF ， , 0= y F0= ByAy FFkN6= Ay F; , 0= A m ByA FMm, . mkN32= A m 题 3-4(a) 图 04 = (b) 解解： （1）先取 CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程: 0= C m, 0124=MqFD, 题 3-4(b)图 kN15= D F; , 0= y F 02 =+qFF DCy , kN5= Cy F 0= x F，kN0= Cx F （2）再取 AC 梁为对象，画受力图，列平衡方 程: 0= B m, 02122=+ CyAy FqF, kN15= Ay F. , 0= y F 02=+ CyBAy FqFF kN40= B F. 0= x F, 0=+ CxAx FF kN0= Ax F. 3-5 梁的支承及载荷如图示。已知：qaF =，。试求支座的约束力。 2 qaM = （a）解解： （1）先取 CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程: ，0= C m0 2 1 2 =MqaaFD， qaFD 2 3 =。 ，。 0= x F0= Cx F 5 , 0= y F0=+qaFFF DCy 题 3-5(a)图 qaFCy 2 1 =。 2）再取 AC 梁为对象，画受力图，列平衡方程: ，0= B m0 2 1 2 =qaaFaF CyAy ， qaFAy=。 ，0= x F0= CxAx FF0= Ax F。 ， , 0= y F 0=+qaFFF CyBAy qa 2 5 FB=。 （b）解解： （1）取 BC 梁为对象，画受力图。因分布载荷呈三角形分布，B 点处的载荷集度 为 q/2。列平衡方程: 0= x F， 0= Bx F 题 3-5(b)图 0= B m， ()02 3 2 2 22 1 2 22 1 2 2 =aa q a q aFC， qaFC 6 5 =。 , 0= y F 0 2 1 2 2 3 =+aqFF CBy ， qaFBy 3 2 = （2）取 AB 梁为对象，画受力图。列平衡方程: 0= x F，0=+ BxAx FF， 0= BxAx FF. 0= A m， 02 3 2 2 22 1 2=+aa q aFM ByA , . 2 2qaMA= , 0= y F02 22 1 =+a q FF ByAy ， qaFAy 6 7 =. 3-6 图示构架中，重物 W 重 1200 N，由细绳跨过滑轮 E 而水平地系于墙上，尺寸为： AD=BD=2 m，CD=DE=1.5 m。不计滑轮和杆的自重，求支座 A 和 B 处的约束力，以及杆 BC 的内力。 6 解解： （1） 以整体为研究对象， 显然。 WFT= 题 3-6 图 列平衡方程： 0= x F，0= TAx FF， N1200=WFF TAx 。 0= A m (4 ， 0)5 . 1 ()2=+rFrF T N1050 W B 875. 0 ， =W B F , 0= y F0=+WFF BAy ， N150125. 0=WFAy。 （2）以 AB 杆为研究对象。列平衡方程： 0= D m， 02sin22=+ BABAy FFF， 其中 5 3 25 . 1 5 . 1 22 = + =sin。解得N1500= BA F。 3-7 一凳子由杆 AB、BC 和 AD 铰接而成，放在光滑的地面上，凳面上作用有力F如 图示。求铰链 E 处的约束力。 解解： （1）取整体为研究对象。 题 3-7 图 0= A m，03=FaaFND， FFND 3 1 =； （2）取 AB 杆为研究对象。 0= B m，023=aFaFAy， FFAy 3 2 = （3）取 AD 杆为研究对象。 , 0= y F 0=+ NDEyAy FFF， AB 杆受力图 AD 杆受力图 FFEy 3 1 =。 0= A m， 03 2 3 2 3 =+aF a F a F NDEyEx ， FFEx=. 3-8 图示构架由杆 AB、CD、EF 和滑轮以及绳索组成，H、G 和 E 处为铰链，固结在 杆 EF 上的销钉 K 放在杆 CD 的光滑槽内。已知物块 M 重 P 和水平力 Q，尺寸如图示。若 不计其余构件的自重和摩擦，求固定铰链支座 A 和 C 以及杆 EF 上销钉 K 的约束力。 解解： （1）取整体为研究对象， 0= A m， 0364=+aPaQaFCy， ()PQFCy+=2 4 3 ； , 0= y F ， 0=+PFF CyAy 7 题 3-8 图 受力图（1） ()PQFAy76 4 1 +=； , 0= x F 。 0=+QFF CxAx （2）取 EF 杆连同轮为研究对象，显然 。 PFT= 0= H m， 受力图（2） 受力图（3） ， 03245sin=+aFaPaF TNK o PFNK2=. （3）取 CD 杆为研究对象， 0= G m， 02244=+aFaFaF NKCyCx ， ()PQFCx=6 4 1 ； 代入上面（1）中第 3 式，解得： ()PQFAx=2 4 1 。 3-9 滑轮 B 与折杆 AB 和 BC 用铰链连接，如图示。设滑轮上绳的拉力 P=500 N，不计 各构件的自重，求各构件给销钉的力。 解解： （1）取轮（不包括销钉）为对象， 0= B m，0=rPrFT， PFT=； , 0= y F0= TBy FF， PFF TBy =； , 0= x F 0= PFBx， PFBx=； 轮对销钉的作用力是的反作用力。 ByBx FF , （2）取轮连同销钉为对象，折杆 AB 和 BC 都是二力 杆，列平衡方程： 0= x F，0sincos=+PFF BCBA ， 0= y F，0cossin= TBCBA FFF， 8 题 3-9 图 受力图（1） 受力图（2） 其中， 5 3 cos, 5 4 =sin。解得 71 , 55 BABC FP F= =P。 将数据代入，得： 500 N,100 N,700 N BxByBCBA FFFF= 。 3-10 由杆组成的结构如图示。A、B、C、E、G 均为光滑铰链。已知 F=20 kN, q=10kN/m,M=20 kN-m,a=2 m, 不计自重，求 A 和 G 处的约束力以及杆 BE 和 CE 的内力。 解解： （1）取整体为研究对象， 0= G m， 022=+aqaaFMaFAx， ()(kN702=+=qaF a M FAx) 0= x F，0=+FFF GxAx ， ()kN50= Gx F ； 0= y F，F。 02=+qaFGy Ay （2）取 GE 杆为研究对象， 0= x F， 045sin=+ o ECGx FF ()kN250= EC F 0= E m， 0= MaFGy ； (kN10= Gy F) ) 将此代入（1）中第 3 式，得 (kN30= Ay F。 题 3-10 图 受力图（1） 受力图（2） 0= y F， 045cos=+ o ECEBGy FFF kN)(40= EB F 3-11 构架由杆 AB、AC 和 DF 铰接而成，如图示。在杆 DEF 上作用一力偶矩为 M 的力 偶。不计各杆的重量，求杆 AB 上铰链 A、D 和 B 所受的力。 解解： （1）取整体为研究对象，支座反力必 组成力偶。 BC FF, 题 3-11 图和杆件受力图 0= C m，02=MaFB， a M FB 2 =； （2）取 DF 杆为研究对象， 0= E m，0=MaFDy， a M FDy=； （3）取 AB 杆为研究对象， 0= y F，0=+ BAyDy FFF， a M FAy= 0= D m，0=aFAx，0= Ax F 0= x F，0=+ DxAx FF，。 0= Dx F 3-12 构架由杆 AB、AC 和 DF 组成，如图示。杆 DF 上的销子 E 可在杆 AC 的光滑槽内 9 滑动。在水平杆 DF 的一端作用铅直力 F，不计各杆的重量，求杆 AB 上铰链 A、D 和 B 所 受的力。 题 3-12 图和杆件受力图 解解： （1）取整体为研究对象， 0= C m，02 = aFBy， ； 0= By F （2）取 DF 杆为研究对象， 0= E m，0=aFaFDy， ； FFDy= 0= D m， 0245sin=aFaFN o ； 022=FFN 0= x F， ； 045cos=+ o NDx FFFFDx2= （3）取 AB 杆为研究对象， 0= B m，02 =aFaF AxDx ， ； FFAx= 0= D m，0=+aFaF AxBx ， ； FFBx= 0= y F，0=+ AyDyBy FFF， FFF DyAy =。 3-13 不计图示结构中各杆的重量，力 F=40kN 。求铰链 A、B 和 C 处所受的力。 题 3-13 图和杆件受力图 解解： （1）取 DF 杆为研究对象， 0= F m， 0245sin4=+ o BECD FF 024=+ BECD FF， （a） （2）取 CA 杆为研究对象， 0= A m， 04245sin6=FFF BECD o 0426=+FFF BECD ， （b） 由式（a）和（b）联立解得： FFCD2=， FFBE24=； ，0= y F045cos=+ AyBE FF o FFAy4=。 ，0= B m0224=+FFF AxCD ，FFAx3= 代入数据，得：，kN80= CD FkN2160= BE F，kN120= Ax F，。 kN160= Ay F 3-14 在图示构架中，A、C、D 和 E 处均为铰链连接，杆 BD 上的销子 B 置于 AC 杆的 光滑槽内，力 F=200 N ，力偶矩 M=100N-m ，不计结构中各杆的重量，求 A、B 和 C 处所 受的力。 解解： （1）取整体为研究对象， 0= E m， 0)60cos8 . 06 . 0(6 . 1= o FMFAy， N5 .87= Ay F。 （2）取 BD 杆为研究对象， 0= D m， 10 题 3-14 受力图 受力图（1） ， 06 . 08 . 030sin=FMFNB o N550= NB F； （3）取 AC 杆为研究对象， 0= C m， o 60sin6 . 1 Ax F ， 08 . 060cos6 . 1=+ NBAy FF o N267= Ax F； 0= y F， 030sin= CyNBAy FFF o N5 .187= Cy F； 0= x F， 030cos=+ CxNBAx FFF o N209= Cx F。 3-15 用图示三角架 ABCD 和绞车 E 从矿井中吊起重 G=30kN 的重物， ABC 为等边三 角形，三角架的三只脚和绳索 DE 均与水平面成 60角，不计三角架的重量，求当重物被 匀速吊起时各脚所受的力。 解解：取滑轮和重物连同杆的一部分为研究对象， 受力图及其在水平面的投影如图示，显然有： GFT=， ，。因三 角架的三只脚和绳索 DE 均与水平面成 60角， 有 o 60cos DA H DA FF= o 60cos H DC F= DB H DB FF= o 60cos DC F 0= z F， ()060sin=+GFFFF TDADCDB o ， GFFF DADCDB 15. 2=+； （a） 0= x F， ()060cos60cos=+ oo DADCTDC FFFF ()GFFF DADCDC =+ o 60cos； （b） 0= y F， ()cos DA F060sin60= oo DC F， ； （c） DADC FF= 受力图(2) 受力图（3） 题 3-15 图及其构件的受力图 由式（a） 、 （b）和（c）解得：kN55. 1,kN55.31= DCDBDA FFF. 3-16 重物 M 放在光滑的斜面上，用沿斜面的绳 AM 和 BM 拉住。已知物重 W=1000 N, 斜面的倾角，绳与铅垂面的夹角分别为和。如果物体的尺寸忽略 不计，求重物对于斜面的压力和两绳的拉力。 o 60= o 30= o 60= 解解：取重物 M 为研究对象，画受力图，建立 M-xyz 直角坐标系，其中 xy 沿斜面，z 轴与斜面垂直。 题 3-16 图 重物的受力图 0= z F，0cos=WFN， cosWFN=； 0= y F，0sinsin= BA FF， 0= x F，0sincoscos=+WFF BA ， 11 解得：WFA )sin( sinsin + =,WFB )sin( sinsin + =, 将数据代入，得N750= A F，N433= B F，N500= N F。 3-17 图示一空间桁架， 由六根杆组成。 一力 P=10 kN ， 作用于节点 A， 此力在 ABNDC 铅垂面内，且与铅垂线 CA 成 45角。EAK 和FBM 相等，皆为铅垂等腰直角三角形， 并与 ABNDC 直交，其余见图示。求各杆的内力。 解解： （1）取节点 A 为研究对象， 0= y F， 045sin 3 =+ FP o PF 2 2 3 =； 0= x F， 045cos45cos 21 = oo FF 21 FF =； 节点的受力图 题 3-17 图 0= z F， ， 045cos45cos45cos 21 =+ ooo PFF PFF 2 1 21 =。 （2）取节点 B 为研究对象， 0= y F， ； 045sin 36 = FF o PF = 6 0= x F，F， ； 045cos45cos 54 = oo F 54 F=F 0= z F， 045cos45cos45cos 654 =+ ooo FFF， PFF 2 1 54 =。 代入数据得： kN5 21 = FF，kN07. 7 3 =FkN5 54 = FF，kN10 6 =F。 3-18 三脚圆桌的半径 r=50 cm，重为 G=600 N，圆桌的三脚 A、B 和 C 形成一等边三角 形。如在中线 CO 上距圆心为的点 M 处作用一铅垂力 P=1500 N，求使圆桌不致翻倒的最 大距离。 a a 题 3-18 图 圆桌受力图 解解：取三脚圆桌为研究对象， = 0 AB m， ()() 030sin 30sin30sin = + o oo raP + Gr rrFNC ， 圆桌不致翻倒的条件：， 0 NC F ()030sin30sin oo raPGr， ()PG + P r a 2 代入数据，得使圆桌不致翻倒的最大距离为cm35 max =a。 12 3-19 手摇钻由支点 B、 钻头 A 和一个弯曲的手柄组成。 当支点 B 处加压力和， 以及手柄上加力后， 即可带动钻头绕轴 AB 转动而钻空。 已知： z F yxF F , FN50= z AzAyAx FFF, F，F， 求： （1）钻头受到的阻抗力偶矩 M； （2）材料对钻头的约束力的值； （3）力 的值。 N150= yx FF, 解解:取手摇钻为研究对象, 钻头在 A 点受到阻 碍其移动的约束力和阻碍其绕z轴转动的约束 力偶作用,受力图如图示. 题 3-19 图 摇钻受力图 = 0 z F, 0= zAz FF, ; N50= zAz FF = 0 z m, 015. 0=FMA, mN5 .2215. 0=FMA; = 0 y m, 02 . 04 . 0=FFx, N75 2 = F Fx. , = 0 x F0=+FFF xAx , N75=+=FFF xAx . , = 0 x m04 . 0= y F, N0= y F. , = 0 y F0=+ yAy FF, N0= Ay F 3-20 图示水平轴 AB 作匀速转动，其上装有齿轮 C 及带轮 D，齿轮直径为 240mm。已 知胶带紧边的拉力为 200 N，松边的拉力为 100 N，尺寸如图示。求啮合力 F 及轴承 A 和 B 处的约束力。 题 3-20 图 水平轴连同齿轮及 带轮受力图 解解: 取水平轴连同齿轮及带轮为研究对象, = 0 y m, 008. 0)100200(12. 020cos= o F， N9 .70=F； = 0 z m， 035. 01 . 020cos= Bx FF o ， N19= Bx F； = 0 x F， ，020cos=+ BxAx FFF o N6 .47= Ax F； = 0 x m， 035. 025. 0)100200(1 . 020sin=+ Bz FF o N4 .207= Bz F ， = 0 z F0)100200(20sin=+ AzBz FFF o N4 .68= Az F。 3-21 一端有绳子拉住的重 100 N 的物体 A 置于重 200 N 的物体 B 上如图示，B 置于水 平面上并作用一水平力 F。若各接触面的静摩擦因数均为 0.35,试求 B 即将向右运动时力 F 的大小。 解解：根据题意，设物体系统处于临界平衡状态，此时各接触面间的摩擦力均达到最大值。 （1）取物体 A 为研究对象， ， ， = 0 x F030cos mA = o T FF ， ， = 0 y F030sin NA =+ AT GFF o 13 补充方程： NAsF fF= mA 。 解得： A s NA G f F 3 3 + =， A s s G f f F 3 3 mA + =。 （2）取物体 B 为研究对象， ， = 0 y F0 NANB = B GFF， A G 3 s B f GF 3 NB + +=； 题 3-21 图 物体 A 和 B 的受力图 ， = 0 x F0 mBmA =+FFF， 补充方程：。 NBsF fF= mB 解得： BsA s s GfG f f FFF+ + =+= 3 32 mBmA 。 代入数据得，。 N23.128=F 3-22 重物 A 与 B 用一不计重量的连杆铰接后放置如图示。已知 B 重 1 kN ，A 与水平 面、B 与斜面间的摩擦角均为 15。不计铰链中的摩擦力，求平衡时 A 的最小重量。 解解： 根据题意， 此时物体系统处于临界平 衡状态， 各接触面间的摩擦力均达到最大 值。 题 3-22 图 物体 A 和 B 的受力图 （1）取重物 B 为研究对象， = 0 x F， 045sin15cos mB =+FGF BAB oo ， = 0 y F， ， 045cos15sin NB =+FGF BAB oo 补充方程： NBsF fF= mB ， 其中 ss ftan=. 解得： B s s AB G f f F oo oo 15sin15cos 45cos45sin + =。 代入数据得：kN5 . 0= AB F。 （2）取重物 A 为研究对象， ， ， = 0 x F030cos mA =+FFAB o ， ， = 0 y F030sin NA =+FGF AAB o 补充方程： ， NAsF fF= mA 解得： = o o 30sin 30cos s ABA f FG。将数据代入，得：kN37. 1= A G。 3-23 利用劈尖原理升高重物的装置如图示。设重物重 20 kN ，各接触面间的摩擦角均 为 12，不计劈尖的重量，计算图示情况升高重物所需的最小水平力 F。 14 解解：当重物有上升趋势时，劈尖 B 有向右运 动趋势。各接触面间的摩擦力都达到最大值。 题 3-23 图 物体 A 和 B 的受力图 （1）取重物连同劈尖 A 为研究对象， = 0 x F， ， 018sin12cos 21 = oo RARA FF = 0 y F， ， 018cos12sin 21 =+ ARARA GFF oo 解得： ARA GF o o 30cos 12cos 2 =， 即 kN59.22 2 = RA F。 （2）取劈尖 B 为研究对象， = 0 y F，F， 018cos12cos 2 = oo RARB F ， = 0 x F018sin12sin 2 = oo RARB FFF 解得： 2 12cos 30sin RA FF o o =。 代入数据，得：kN55.11=F。 3-24起重绞车的制动装置由带动制动块的手柄和制动轮组成。 已知制动轮半径R=50cm， 鼓轮半径 r=30 cm，制动轮与制动块间的摩擦因数4 . 0= s f，被提升的重物重 G=1000 N ， 手柄长l，不计手柄和制动轮的重量，求能够制动所需。 cm10bcm,60,cm300=a 解解：当力 F 为最小值时，制动轮有逆时针 转动趋势，触面间的摩擦力达到最大值。 （1）取制动轮为研究对象， 0= O m,0=rGRFm, G R r Fm=, 摩擦定律： Nsm FfF= G Rf r F s N =。 (2) 取手柄连同制动块为研究对象， 0= A m， 0=+LFaFbF Nm ， ()bfa LRf r F s s =G 题 3-24 图 制动轮和手柄的受力图 代入数据，得：N280=F。 3-25 砖夹的宽度为 250 mm，曲杆 AGB 与 GCED 在 G 点铰接，尺寸如图所示。设砖重 P=120 N，提起砖的力 F 作用在砖夹的中线上，砖夹与砖间的摩擦因数。求距离 d 为多大时才能把砖夹起。 5 . 0= s f 解解：当距离 d 取最大值时， 系统处于临界平衡状态， 此时，全反力与正压力之 间的夹角为摩擦角。 （1） 折杆 GCED 为研究对 15 题 3-25 图 受力图（1） 受力图（2） 象，此折杆为二力构件，其约束力一定沿着 GD 连线。因此，平衡条件为： s ，即， s f b = 30250 tan， . mm110b (2)取图示折杆 AGB 连同折杆 GCED 为研究对象， 由三力平衡汇交定理知， A 处全反力必与 D 处全反力对称地交于一点。因此，当 D 处不滑动时 A 处必也不滑动。 3-26 图示重 100 N、高 H=20 cm、底面直径 d=10 cm 的正圆锥体放在斜面上。静摩擦因 数， 质心C 的位置 h=H/4。 求锥体在斜面上保持静止时作用于圆锥顶点的水平力 的大小。 5 . 0= s f P F 题 3-26 图 受力图（1） 受力图（2） 解解：取圆锥体为研究对象。 （1）设力较小，圆锥体有下滑或逆 时针翻倒趋势。 P F 0= x F，0sincos=+GFPF， cossin P FGF=； 0=， y F 0cossin=GFF PN ， 解得： cossinGFF PN +=； 其中为斜面倾角。最大静滑动摩擦力 Nsm FfF=。 不滑动条件：。 Nsm FfFF= 解得：)tan( sP GF，其中 s 为摩擦角。 ，0= O m0sincos=+hGHFbF PN ， ()() ss s H b =sincos4cossin cos4 . 代入数据，得：cm5 2 cm63. 1= d b。因此，在没有达到滑动临界状态时，圆锥已 经。不翻倒的条件是 2 d b，即 24cossin sincos4dH GF GF P P + b = 16 由此得，G dH Hd FP sin2cos4 sincos2 + ，代入数据，得N1 .46 P F。 综上分析，的取值范围为 6 P FN1 .46N0 . P F。 3-27 攀登电线杆的脚套钩如图示。设电线杆的直径 d=300 mm，A 和 B 之间的的垂直距 离 b=-100 mm。若套钩与电线杆之间的摩擦因数5 . 0= s f。求工人操作时，为了安全，站在 套钩上的最最小距离l应为多大。 解解：取套钩为研究对象，在平衡状态下，A 和 B 点处的全反力作用线的交点只可能落在图示阴 影区域内，按三力平衡汇交定理，第三个力的 作用线必须穿过这个阴影区域， 最最小距离 是 过 C 点。由几何关系得 l b d l d l ss = + +tan 2 tan 2 ， 解得 s f b l 2 =。 实际设计时， 考虑到安全因素， 须 s f b l 2 ，代入数据，得l。 cm100 题 3-27 图 套购的受力图 3-28 不计自重的拉门与上下滑道之间的静摩擦因数为，门高为 h。若在门上 2 h /3 处用水平力 F 拉门而不致被卡住，求门宽 b 的最小值。问门的自重对不被卡住的门宽最小 值有否影响？ s f 题 3-28 图 门的受力图 解解：取门为研究对象，当门太窄时，在水平力作 用下门有顺时针的角位移， 使门的 A 和 E 点与门 的上下滑道接触，设门处于滑动的临界平衡状 态，受力图如图示， 0= E m，0 3 2 2 =+hF b GhFbF mANA ， 0= x F， 0=+FFF mEmA ， 0= y F，0=+GFF NENA ， 补充方程： NAsmA FfF=，。 NEsmE FfF= 以上 5 个方程联立，解得：h F G fhf ss 2 3 1 +=b。 由于门被卡住时平衡已与力的大小无关，令FF，导出门不被卡住时的门宽 b 的最小 值hfs 3 1 min =b，此时与门重无关。 3-29 一半径为 R、重为 P1的轮静止在水平面上，如图示。在轮上半径为 r 的轴上绕有 细绳，此绳跨过滑轮 A，在端部系一重为 P2的物体。绳的 AB 部分与铅直线成角。求轮 与水平面接触点 C 处的滚阻力偶矩、滑动摩擦力和法向反力。 解解：取轮为研究对象，。列平衡方程： 2 PFT= 0= x F，0sin= T FF， 17 滑动摩擦力：sin 2 PF=； 0= y F，0cos 1 =+ TN FPF， 题 3-29 图 轮的受力图 法向反力： cos 21 PPFN=； 0= E m， 0=+rFFRM TC 滚阻力偶矩： ()rRPMC=sin 2 。 3-30 钢管车间的钢管运转台架，钢管依靠自重缓慢无滑动地滚下，钢管直径 50mm。设 钢管与台架间的滚阻系数mm5 . 0=。试决定台架的最小倾角的大小。 解解：取钢管为研究对象，设钢管重为 G，且 钢管处于临界滚动状态， 0= y F，0cos=GFN， cosGFN=； 0= C m，0sin=RGMC sinGRMC= 在临界滚动状态，滚动摩阻力偶达到最 大值。 其中，M max,fC MM= Nf F= max, 。 将代入， 得 N F R =tan， 代入数据，。 91 min o = 3-31 汽车 P=15 KN， 车轮的直径为 600 mm，轮自重不计。问发动机应给予后轮多大 的力偶矩，方能使前轮越过高为 80 mm 的阻碍物？并问此时后轮与地面的静摩擦因数应为 多大才不致打滑？ 解解： （1）取汽车为研究对象。设汽车处于 将要翻过阻碍物的临界平衡状态，此时， 前轮恰好与地面脱离，后轮的滑动摩擦力 取最大值。 = 0 E m， ()( ()(, 0sin3 . 02 . 1 cos13 . 0sin3 . 04 . 2 aP FF mBNB =+ + ) 其中 15 11 =cos，26 15 2 =sin。 （2）取车身为研究对象，设M为驱动力 偶。 题 3-30 图 钢管的受力图 题 3-31 图和汽车的受力图 ，= 0 A m02 . 14 . 2=MPFBy。 （b） （3）取车轮 B 为研究对象， ， ， （c） = 0 B m03 . 0=MFmB 0= y F， ， （d） 0= ByNB FF 补充方程：