电磁场与电磁波理论基础第二章课后答案.pdf

ra= 2 r sin d dq q j j q 题 2-1 图 s +r s -r 1 E 2 E 3 E 题 2-2 图 () 1 0 0 4S, , () 2 0 4 0S, , ()4 0 0P, , o X Y Z 1 r 2 r r 1 R 2 R 1 8qC= 2 4qC=- 题 2-3 图 第二章 静电场 2-1 已知半径为ra=的导体球面上分布着面电荷密度为 0cosSS =的电荷，式中的 0S 为常数，试计算球面 上的总电荷量。 解 取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。由 球面积分，得到 ( ) 2 2 0 00 cossin SS S QdSrd d pp =r=rqq q j 2 2 0 00 2 2 0 00 2 0 0 cossin cos sin sin20 S S S rd d rd d ad pp pp p =rqq q j =rqq q j =rpq q= 2-2两个无限大平面相距为 d，分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷，求两平面外及 两平面间的电场强度。 解 假设上板带正电荷， 面密度为 S r； 下板带负 电，面密度为 S -r。 对于单一均匀带电无限大平面，根据书上例 2.2 得到的推论，无限大带电平面的电场表达式为 0 2 S E r = e 对于两个相距为的 d 无限大均匀带电平面，根据叠加原理 123 0 00 S E,E,E r = e 2-3 两点电荷 1 8Cq =和 2 4Cq = ， 分别位于4z =和 4y =处，求点(4,0,0)P处的电场强度。 解 根据点电荷电场强度叠加原理，P 点的电场强 度矢量为点 S1和 S1处点电荷在 P 处产生的电场强度的 矢量和，即 X Y Z o () 1 0 0Sa, ,- () 2 0 0Sa, , q+2q- ()P x,y,z r 1 r 2 r 2 R 1 R 题 2-7 图 ( ) 1122 33 0102 44 qq RR =+ pepe RR E r 式中 ()() 22 111 4440044 2 xz, R= -=-=-+-=Rrree ()() 22 222 4440044 2 xy, R= -=-=-+-=Rrree 代入得到 ( ) () () () () 33 0 0 4 44 8 441 4 4 24 2 1 2 32 2 xy xz xyz - - =- pe =+- pe ee ee E r eee 2-7一个点电荷+q 位于（-a, 0, 0）处，另一点电荷-2q 位于（a, 0, 0）处，求电位等于零的 面；空间有电场强度等于零的点吗？ 解 根据点电荷电位叠加原理，有 12 012 1 ( ) 4 qq u RR r =+ 式中 () () 11 2 22 1 xyz xay Rxayz = -=+ =+ Rrreee () () 22 2 22 2 xyz xay Rxayz = -=-+ =-+ Rrreee 代入得到 ()() 22 22 0 22 12 ( ) 4 xayzxayz q u r = + 电位为零，即令 ()() 2 0 2 2222 12 ( )0 4 xayzxayz q u r = + + = + 简化可得零电位面方程为 ()() 22 33330xaxayz+= 根据电位与电场强度的关系，有 () ()() () ()() ()() 33 2 22 2222 22 2222 2 2 0 33 22 33 2 2 22222 ( )( ) 2 4 2 2 xyz x y xayzxayz xayzxayz xay uuu u xy zxayz z q xaxa yy zz E rreee e e = = + = + + + + + + + + z e 要是电场强度为零，必有 000 xyz E,E,E= 即 () ()() () ()() ()() 33 22 33 22 22 2222 22 2222 22 33 222222 20 20 20 xaxa yy zz xayzxayz xayzxayz xayzxayz + + + + += += += + 此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。 2-8. 两无限长同轴圆柱导体，半径分别为a和b()ab区域内的电场强度等于零，则 1S 和 2S 应满足什么关系？ 解 根据内外导体表面的电荷分布， 可判断出空间电场分布具有柱对称性。 在柱坐标中， 作一长度为l， 半径为的同轴圆柱形闭合高斯面S， 则在S侧面上D的大小处处相等，D 的方向均沿e 方向。而在S的两端面上，由于D与端面方向垂直，故D对两端面的通量贡 献为零。根据高斯定理，我们可以得到 2 00 ( ) 2DSee l S dDd dzl DQ = 其中Q为高斯面S内包围的总自由电荷。 （1）求空间各处的电场强度，分为三种情况 当0b，此时高斯面内的 12 22=+ SS Qalbl，由高斯定理可得 12 ( ) 121212 0 222 ee =+ + = DS DE SS S SSSSSS dl DQalbl ababab D （2）求两导体间的电压，由电位与电场强度之间的关系（此时电场强度须使用情况时电 场强度的值） ，可以得到 111 000 1 lneeEl bbb SSS aaa aaab Uddd a rr = e ree r rr r （3）要使b区域内的电场强度为零，由上述情况的结果可知，必须满足 12 0+= SS ab 2-9电场中有一半径为 a 的圆柱体，已知圆柱内、外 的电位为 2 0, cos , ua a uAa = = 求： （1）圆柱体内、外的电场强度； （2）这个圆柱是 由什么材料构成的，表面有电荷吗？ 解 （1）根据电位与电场强度的关系式 1 z uuu u z Eeee = = + 得到 22 22 1cos1si 0, n, a aa Aa u A E Eee + = = = + （2）由于圆柱体是等位体，且圆柱内电场为零，判断材料是导体。有根据电位边界条件 12 12S uu nn = 0x d 0 U 题 2-11 图 而 0, 2 cos , a a u a u Aa = = = = 所以 00 2cos S A u = = 2-11两无限大平行板电极，距离为 d，电位分别为 0 和 U0，两板间充满电荷密度为 0 /x d的介质，如 图所示。求两极板间的电位分布和极板上的电荷密 度。 解 由于两无限大平板间存在电荷密度分布， 电 位函数满足泊松方程。又平板沿 Y 和 Z 方向无穷大， 电位分布与 x 和 z 无关，因此，有 0 2 2 00 V x d d u dx = = 且满足边界条件 0 0 0 x x d u uU = = = = 求解二阶常微分方程，得到 3 0 12 0 1 6 uxc xc d r =-+ e 应用边界条件，有 2 0 00 01 0 00 6 x xd u,c Ud uU ,c d = = = r =+ e 所以 3 000 00 1 66 Ud uxx dd rr =-+ ee 根据电位满足的边界条件 12 12S uu nn = 可得在下极板上表面的电荷密度分布为 r 20 V e = l dr 题 2-15 图 12 12 0 S x uu xx = = 下 下极板导体中的电位为零，有 2 0 u x = 代入，得到 0 2 000001 0 0 0 0 662 S x x UUu x xd d d d d = = = =+= + 下 对于上极板，导体中的电位为常数 10 uU= 有 1 0 u x = 上极板下表面电荷密度为 2 0 000 0 3 S x dx d Ud d uu xx = = = 上 2-15 空 间 某 区 域 中 的 电 荷 密 度 在 柱 坐 标 系 中 为 20 V e =（C/m3） ，应用高斯定理求电通密度 D。 解 根据题意知，电荷密度分布与 、z 无关，因此 场分布具有柱对称性，电通密度矢量 D 仅有e分量，由 高斯定理 ( )() V SV ddVDS= 取圆柱面为高斯面，有 22 00 0 20 ed dldlD = () 2 0 0 2 2 4022 20 2 el l dDdl e = =+ () 2 20 222 e D + = 2-17在真空中放置一无限长线电荷密度为 l的细金属棒，证明在径向距离上的两点 1、2 之间的电位差为 r l 题 2-17 图 2 01 ln 2 l U = 。 解 首先计算无限长带电金属棒在空间任一点产生的电 场。由于线电荷分布无限长，电通密度矢量仅有径向分量，且 在同一圆柱面上电通密度矢量的大小相等，根据高斯定理，有 2 l ( S ) dDll=pr =r DS 由此得到电通密度矢量 2 l r r = pr De 而电场强度为 0 2 l r r = pe r e 根据电位的定义，在径向选择一点 0 r为参考点，则有 002 121 2 1 12 2 001 ln 22 ll Uuuddd d rrr rrr r rr r =-=-= rrr =r= pe rper ElElEl ee 2-22. 如题 2-22 所示， 三层厚度相同的电介质板具有不同的介电常数。 已知上部空气中 0 E与 Z 轴成 45夹角，求其他各层中 E 的夹角。 解 设介质 1,2,3 中的电场强度分别为 123 E E E,；他们与 Z 轴的夹角分别为 123 ,q q q。 将电场强度 0123 E E E E,分别分解为沿界面的法 向 分 量 0123nnnn E ,E ,E ,E， 沿 界 面 的 切 向 分 量 0123tttt E ,E ,E ,E； 由于 0 E与 Z 轴成 45夹角，所以有 00nt EE= 由于介质分界面处不存在自由电荷，由边界条件可 得 01 12 23 0101 1212 2323 3 5 7 00 00 00 3 5 nn tt tt tt nnnn DE nnnn nnnn EE EE EE DDEE DDEE DDEE =e = = = = = = 综上可得 10 1 1 0 21 2 2 1 32 1 3 2 3 13 5 35 7 57 tt n n tt n n tt n n EE tg E E EE tg E E EE tg E E = = = 故 123 371 6578 7781 9arctg.,arctg.,arctg.= 2-25如图所示，电荷 Q 距离两无限大接地直角平面 XY 平面的垂直距离为 d，距离 XZ 平 面的垂直距离也是 d。利用镜像法求任一点 P(0, y, z)的电位和电场。 解 两个半无限大导体平面间的夹角 0 90a =， 0 0 360 4 90 n=，则所需镜像电荷数为 3。首先，移去沿 Z 轴放置的导体平板，在00y,z区域的电位是 1 u和 2 u的叠加，即 0 12 1 sin0 n x b n n Un uuuyBye,x bb p - = p =+=+ 在0x=的分界面上，电位满足 00 1 sin0 n n UUn yyBy,yd dbb = p =+ 0 0 1 sin n n Un UyBy,dyb bb = p =+ 为了确定系数 n B，上两式两边乘以sin m y b p ，并从 0 到 b 积分，得到 00 1 00 sinsinsin dd n n UUmnm yydyByydy dbbbb = ppp -= 0 0 1 sinsinsin bb n n dd Umnm UyydyByydy bbbb = ppp -= 两式相加，并利用积分式 () () () () sinsin sinsin 22 mn zmn z nzmzdzC mnmn +- =-+ +- 有 2 000 0 00 sinsinsin dbb n d UUUnnn yydyUyydyBydy dbbbbb ppp -+-= 利用积分式 2 11 sinsin2 24 zdzzzC=-+ 有 0 0 2 0 0 2 2111 sin1sin 2 sincoscos 1 sincos db n d d b d Unn Byydyyydy bdbbbb