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2014年4月30日作者:姚艺 学号:2012011192指导教师:王培专业名称:勘查12-2班复变函数中的洛必达法则 关于复变函数中的“洛必达”法则 摘要:洛必达法则是计算未定式的一个重要法则,在复变函数中运用泰勒级数以及洛朗级数,从而将实变函数中的洛必达法则,推广到复变函数中。 关键词:未定式,洛必达法则,解析,泰勒级数,洛朗级数 正文: 在实变函数中,洛必达法则是计算未定式与, 极限的有力工具,用它能解决大量未定型极限的计算问题。而在复变函数中,我们可以通过泰勒级数,洛朗级数为工具,来把实变函数洛必达法则引进来。 1.未定式的极限 定理1:设1)函数,在点a的某去心领域k-a内解析;2),但;可以得到 证明:有定理条件可知,点a是,的可去奇点(因为,的极限值均为有限值),于是在k内的,的洛朗展开式(m是自然数), (n也是自然数)而(m是自然数) (n也是自然数)很显然 = 而对于该极限显然有三种情况:1) 若当m=n时,原式=;2) 若当mn时,原式=0;3) 若当mn时,原式=0;3)若当mn时,原式=0;3)若当mn时,原式=0;3)若当mn时,原式=;故当 也有三种情况与上面一样所以定理五 设1),在点的某去心领域k-内解析;4)5) 那么证明:在定理条件下,都满足定理一的条件,于是有,同理有,一直这样下去,直到 所以定理六 设1),在无穷远点的某去心领域k-内解析;2) 如果极限存在可以得到这个定理,可以做 ,当 时,也逐渐趋近于零,此时可以变化为 时的去心领域k-0内模仿即可,这里不再证明。对于 , 的极限,可以化成上述的类型进行计算。结论:由上述论证可知,复变函数中也是存在洛必达法则的。而这个洛必达法则在很多复变函数的计算中都能够得到应用,比如在求孤立奇点的类型,可以通过求函数在奇点的极限值进行判断,但对于0/0型的函数,就可以去使用洛必达法则进行计算。除此之外,我们也会发现这种方法巧妙地避开了中值定理的证明,因为复变函数中的中值定理与实变函数中的中值定理是不一样的,不能够直接使用。同时,对于能够采取级数展开的一个很大的原因,就是解析函数可以任意阶求导,而实变函数中的函数(除了几个初等函数等),很难做到任意阶求导,这也就是为什么在实变函数中,我们采取中值定理进行证明。参考文献:1. 华东师范数学系编.数学分析(第三版)M.北京:高等教育出版社 20012. 复变函数中的洛必达法则.晋中学院.吴琼.20063. 高等数学(上).同济大学编第六版.2007附:积分中值定理和微分中值定理的证明积分中值定理:设函数是凸区域内的解析函数,是内的任意两点,则在与的连线段上至少存在两点,使得.证明 因为是区域内的解析函数,为凸区域,所以与的连线段,的方程 , .由复变函数积分计算法知 .因为为解析函数,故必为的连续函数,从而及均为的连续函数,由实函数中的积分中值定理,必存在,使,.令, ,则微分中值定理:设是定义在凸开集上的解析函数,则存在,使得 证明:容易看到,将积分中值定理用于该式就可以得到也即下面我们再用牛顿-莱布尼茨公式证明洛必达法则函数,在点a的某去心领域k-a内解析 令2),但,可以得到证明: 由于
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