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正项级数相关知识点总结1110810115 马舜1. 给定一个数列un，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式u1+u2+.un+称为数项级数。其中un为通项。记作n。若级数n的各项都是非负的实数，则称其为正项级数。2. 正项级数收敛性的判别方法。 （1） 正项级数n收敛的充要条件是：部分和数列sn有界，即存在某正数M，对一切自然数n有SnN都有unvn，那么 1) 若级数n收敛，则级数n也收敛； 2）若级数n发散，则级数n也发散。 （3） 比较判别法的极限形式 设n和n是两个正项级数，若（un/vn）=p则 1）当0p+时，n与n同时收敛或同时发散； 2）当p=0时且级数n收敛时，n也收敛； 3）当p=+时且n发散时，n也发散。 （4） 比值判别法 设n是正项级数，且存在某个自然数N0及常数q（0qN0，不等式（un+1/un）成立，则级数n收敛； 2）若对一切n N0，不等式（un+1/un）成立，则级数n发散。 （5）比值判别法的极限形式 若n是正项级数，若（un+1/un）=q，则 1）当q1或q=+时，级数n发散。 （6）根值判别法 设n是正项级数，且存在某个正数N0及正常数q 1）若对一切n N0，不等式nqN0，不等式n1成立，则级数n发散。 （7）根值判别法的极限形式 设n是正项级数，且n=q， 1）当q1时，级数n发散。 （8）积分判别法 设为1, +上非负递减函数，那么正项级数与积分同时收敛或同时发散。（9）拉贝判别法 设n是正项级数，且存在某个自然数N0及常数q， 1）若对一切n N0，不等式成立，则级数n收敛； 2) 若对一切n N0，不等式成立，则级数n发散。（10）拉贝判别法的极限形式 设n是正项级数，且极限存在，则 1）当q1时，级数n收敛； 3）当q=1时，拉贝判别法无法判断。例题 证明. 证明：因为 （x1），且单调减， 所以。 （1） 反复利用分部积分法， 又 所以 （01） (2) 将（2）式代入（1）得. （判别法（9）（10）为查
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