电磁场及电磁波理论基础曹建章张正阶李景镇编著第2章答案.pdf

X Y Z ra= O 2 r sin d dq q j j q 题 2-1 图 s + r s - r d 1 E E E E 2 E E E E 3 E E E E 高 斯 面1 高 斯 面2 高 斯 面3 题 2-2 图 () 1 0 0 4S, , () 2 0 4 0S, , ()4 0 0P, , o X Y Z 1 r r r r 2 r r r r r r r r 1 R R R R 2 R R R R 1 8qC= 2 4qC= - 题 2-3 图 第二章第二章静电场静电场习题解答习题解答 2-1 已知半径为ra=的导体球面上分布着面电荷密度为 0cosSS =的电荷，式中的 0S 为常数，试计算球面 上的总电荷量。 解取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。 由 球面积分，得到 ( ) 2 2 0 0 0 cossin SS S QdSrd d = 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 cossin cos sin sin20 S S S rd d rd d ad = = = 2-2两个无限大平面相距为d，分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷，求两平面外及 两平面间的电场强度。 解对于单一均匀带电无限大平面，根据对称性 分析，计算可得上半空间和下半空间的电场为常矢 量，且大小相等方向相反。由高斯定理，可得电场大 小为 0 2 S E r = e 对于两个相距为的d无限大均匀带电平面，同样 可以得到 122313 EE ,EE ,EE= 因此，有 123 0 2 S EEE r = e 2-3 两点电荷 1 8Cq=和 2 4Cq= ， 分别位于4z=和 4y=处，求点(4,0,0)P处的电场强度。 解根据点电荷电场强度叠加原理，P 点的电场强 度矢量为点 S1和 S1处点电荷在 P 处产生的电场强度的 矢量和，即 ( ) 1122 33 0102 44 qq RR =+ pepe RRRRRRRR E rE rE rE r X Y Z o () 1 0 0Sa, ,- () 2 0 0Sa, , q+2q- ()P x,y,z r r r r 1 r r r r 2 r r r r 2 R R R R 1 R R R R 题 2-7 图 式中 ()() 22 111 4440044 2 xz, R=-=-=-+-=RrreeRrreeRrreeRrree ()() 22 222 4440044 2 xy, R=-=-=-+-=RrreeRrreeRrreeRrree 代入得到 ( ) () () () () 33 0 0 4 44 8 441 4 4 24 2 1 2 32 2 xy xz xyz = =+ eeeeeeee eeeeeeee E rE rE rE r eeeeeeeeeeee 2-7一个点电荷+q位于（-a, 0, 0）处，另一点电荷-2q位于（a, 0, 0）处，求电位等于零的 面；空间有电场强度等于零的点吗？ 解根据点电荷电位叠加原理，有 12 012 1 ( ) 4 qq u RR r r r r =+ 式中 () () 11 2 22 1 xyz xay Rxayz =-=+ =+ RrreeeRrreeeRrreeeRrreee () () 22 2 22 2 xyz xay Rxayz =-=-+ =-+ RrreeeRrreeeRrreeeRrreee 代入得到 ()() 22 22 0 22 12 ( ) 4 xayzxayz q ur r r r = + 电位为零，即令 ()() 2 0 2 2222 12 ( )0 4 xayzxayz q ur r r r = + + = + 简化可得零电位面方程为 ()() 22 33330xaxayz+= 根据电位与电场强度的关系，有 X Y Z 0u= 2 cos a uA = o ar = 题 2-9 图 () ()() () ()() ()() 33 2 22 2222 22 2222 2 2 0 33 22 33 2 2 22222 ( )( ) 2 4 2 2 xyz x y xayzxayz xayzxayz xay uuu u xy zxayz z q xaxa yy zz E rreeeE rreeeE rreeeE rreee e e e e e e e e = = + = + + + + + + + + z e e e e 要是电场强度为零，必有 000 xyz E,E,E= 即 () ()() () ()() ()() 33 22 33 22 22 2222 22 2222 22 33 222222 20 20 20 xaxa yy zz xayzxayz xayzxayz xayzxayz + + + + += += += + 此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。 2-9电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱内、 外 的电位为 2 0, cos , ua a uAa = = 求： （1）圆柱体内、外的电场强度； （2）这个圆柱是 由什么材料构成的，表面有电荷吗？ 解（1）根据电位与电场强度的关系式 1 z uuu u z EeeeEeeeEeeeEeee = = + 得到 22 22 1cos1si 0, n, a aa Aa u A E E E E EeeEeeEeeEee + = = = + 0x d X 0 U O d 题 2-11 图 （2）由于圆柱体是等位体，且圆柱内电场为零，判断材料是导体。有根据电位边界条件 12 12S uu nn = 而 0, 2cos , a a u a u Aa = = = = 所以 00 2cos S A u = = 2-11两无限大平行板电极，距离为d，电位分别为 0 和U0，两板间充满电荷密度为 0 /x d的介质，如 图所示。求两极板间的电位分布和极板上的电荷密 度。 解由于两无限大平板间存在电荷密度分布， 电 位函数满足泊松方程。又平板沿 Y 和 Z 方向无穷大，电位分布与 x 和 z 无关，因此，有 0 2 2 00 V x d d u dx = = 且满足边界条件 0 0 0 x x d u uU = = = = 求解二阶常微分方程，得到 3 0 12 0 1 6 uxc xc d r = -+ e 应用边界条件，有 2 0 00 01 0 00 6 x x d u,c Ud uU ,c d = = = =+ 所以 2 0 3 000 0 00 0 01 0 00 1 66 6 x x d u,c Ud uxxU ddd uU ,c d = = = = + =+ 根据电位满足的边界条件 X Y Z o r 20 V e = l dr 题 2-15 图 12 12S uu nn = 可得在下极板上表面的电荷密度分布为 12 12 0 S x uu xx = = 下 下极板导体中的电位为零，有 2 0 u x = 代入，得到 0 2 000001 0 0 0 0 662 S x x UUu x xd d d d d = = = =+= + 下 对于上极板，导体中的电位为常数 10 uU= 有 1 0 u x = 上极板下表面电荷密度为 2 0 000 0 3 S x dx d Ud d uu xx = = = 上 2-15 空 间 某 区 域 中 的 电 荷 密 度 在 柱 坐 标 系 中 为 20 V e =（C/m3） ，应用高斯定理求电通密度 D D D D。 解根据题意知，电荷密度分布与、z无关，因此场 分布具有柱对称性，电通密度矢量 D D D D 仅有e e e e分量，由高斯定理 ( )() V SV ddVDSDSDSDS= 取圆柱面为高斯面，有 22 00 0 20ed dldlD = () 2 0 0 2 2 4022 20 2 el l dDdl e = =+ () 2 20 222e D + = 2-17在真空中放置一无限长线电荷密度为l的细金属棒，证明在径向距离上的两点1、2 X Y Z r l 题 2-17 图 之间的电位差为 2 01 ln 2 l U = 。 解首先计算无限长带电金属棒在空间任一点产生的电 场。由于线电荷分布无限长，电通密度矢量仅有径向分量，且 在同一圆柱面上电通密度矢量的大小相等，根据高斯定理，有 2 l ( S ) dDll= DSDSDSDS 由此得到电通密度矢量 2 l r r = pr DeDeDeDe 而电场强度为 0 2 l r r = pe r e e e e 根据电位的定义，在径向选择一点 0 r为参考点，则有 002 121 2 1 12 2 001 ln 22 ll Uuuddd d = = ElElElElElElElElElElElEl eeeeeeee 2-25如图所示，电荷Q距离两无限大接地直角平面 XY 平面的垂直距离为d，距离 XZ 平 面的垂直距离也是d。利用镜像法求任一点P(0,y,z)的电位和电场。 解两个半无限大导体平面间的夹角 0 90a =， 0 0 360 4 90 n=，则所需镜像电荷数为 3。首先，移去沿 Z 轴放置的导体平板，在00y,z区域的电位是 1 u和 2 u的叠加，即 0 12 1 sin0 n x b n n Un uuuyBye,x bb = =+=+ 在0x=的分界面上，电位满足 00 1 sin0 n n UUn yyBy,yd dbb = =+ 0 0 1 sin n n Un UyBy,dyb bb = =+ 为了确定系数 n B，上两式两边乘以sin m y b p ，并从 0 到 b 积分，得到 00 1 00 sinsinsin dd n n UUmnm yydyByydy dbbbb = = 0 0 1 sinsinsin bb n n dd Umnm UyydyByydy bbbb = = 两式相加，并利用积分式 () () () () sinsin sinsin 22 mn zmn z nzmzdzC mnmn + = + + 有 2 000 0 00 sinsinsin dbb n d UUUnnn yydyUyydyBydy dbbbbb += 利用积分式 2 11 sinsin2 24 zdzzzC=+ 有 0 0 2 0 0 2 2 0 2111 sin1sin 2 sincoscos 1 sincos 2 sin db n d d b d b d Unn By