矩阵行列式与可逆矩阵.doc

矩阵行列式与可逆矩阵 一、n阶矩阵行列式 下面介绍线性代数中另一个基本概念行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材.定义2.9 对任一n阶矩阵 A =用式表示一个与A相联系的数，称为A的行列式，记作. 规定：当n = 1时，； 当n = 2时，； 当n 2时，其中=，称为中元素的余子式，它是中划去第一行、第j列后剩下的元素按原来顺序组成的n 1阶行列式；为中元素的代数余子式. （由定义可知，一个n 阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出. 应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.） 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号. 性质3 n 阶行列式等于任意一行（列）所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 （） 其中 i = 1, 2, , n ( j = 1, 2, , n) . 性质4 n 阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即当时，有 . 性质5 行列式一行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面.即 性质6 若行列式的某一行（列）元素都是两数之和： 则等于下列两个行列式之和： 性质7 用常数遍乘行列式的某一行（列）的各元素，然后再加到另一行（列）对应的元素上，则行列式的值不变. （下面通过例题简单介绍行列式的计算方法） 例1 计算 解 首先按性质5，从第一行提出公因子，再从第四行提出，即 再利用性质7把第三列的元素尽可能多的化为零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的变换，得 =再利用性质3按第3列展开，即 =再作“第三列加上第一列的-1倍”的变换，并按第二行展开，即 = = 例2 计算 解 首先交换第一列与第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的变换，得 =首先交换第二行与第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的变换，得 =再作“第四行加上第三行的倍”，化成三角形行列式，其值就是对角线上的元素乘积，即 =（关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.） 定理2.1 对于任意两个方阵A，B，总有即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积. （在上一讲中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否有除法运算呢？这就是这下面要介绍内容.） 二、逆矩阵定义 定义2.11 对于n阶矩阵A，如果有n阶矩阵B，满足 AB = BA = I （2-5-1）则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记作. （由定义可知：） 满足公式（2-5-1）的矩阵A , B一定是同阶矩阵. 例3 设矩阵 A =，B = 验证A是否可逆？ 解 因为 AB =BA =即A , B满足 AB = BA = I.所以矩阵A可逆，其逆矩阵=B. 可以验证：单位矩阵I是可逆矩阵；零矩阵是不可逆的. (1) 单位矩阵I是可逆矩阵. 证 因为单位矩阵I满足： II = I 所以I是可逆矩阵，且. (2)零矩阵是不可逆的. 证 设O为n阶零矩阵，因为对任意n阶矩阵B，都有 OB = BO = O 所以零矩阵不是可逆矩阵. 可逆矩阵具有以下性质： (1) 若A可逆，则是唯一的. 证 设矩阵B1 , B2都是A的逆矩阵，则B1 A = I，AB2 = I，且B1 =B1 I = B1 (AB2 )= (B1 A )B2 = I B2 = B2故是唯一的. (2) 若A可逆，则也可逆，并且 = A 若A可逆，则也可逆，并且 = A. 证 由公式（2-5-1）可知，A= A = I，故是A的逆矩阵，同时A是的逆矩阵，即= A. (3) 若A可逆，数k0，则kA也可逆，且 = 若A可逆，数k0，则kA也可逆，且 = 证 因为 kA () = ()() = I () kA = ()() = I 所以，kA可逆，且 = (4) 若n阶方阵A和B都可逆，则AB也可逆，且 证 因为 A和B都可逆，即和存在，且(AB )() = A( B )= AI = A= I()(AB ) = B ( A)= B I = B= I根据定义2.11，可知AB可逆，且.性质(4)可以推广到多个n阶可逆矩阵相乘的情形，即当n阶矩阵A1 , A2 , , Am都可逆时，乘积矩阵A1A2Am也可逆，且( A1A2Am= 特别地，当m = 3时，有( A1A2A3= 问题：若n阶方阵A和B都可逆，那么A+B是否可逆？ 答：尽管n阶矩阵A和B都可逆，但是A + B也不一定可逆，即使当A + B可逆 ，例如 A =， B = 都是可逆矩阵，但是 A + B = 是不可逆的.而A + A = 2A可逆，但是 = 2 (5) 若A可逆，则也可逆，且 = . 若A可逆，则也可逆，且 = . 证 因为矩阵A可逆，故存在，且 = = 根据定义2.11，可知也是可逆的，且= . 三、可逆矩阵的判定 若方阵A可逆，则存在，使.于是1= （定理2.1）得 . 把满足的方阵A称为非奇异的（或非退化的），否则就称为奇异的（或退化的）. （由此可以得到定理2.2：） 定理2.2 方阵A可逆的必要条件为A是非奇异的，即. （定理2.2结论是很重要的，但要注意，它是方阵A可逆的必要条件，不是充分条件.因此，大家就会想到若，方阵A是否可逆呢？要回答这个问题，需要引进伴随矩阵的概念） 定义2.12 对于n阶方阵 A =，称n阶方阵 为A 的伴随矩阵，记作，其中为行列式中元素的代数余子式. （注意：伴随矩阵中各元素的位置秩序与常规的不一样，是由常规秩序经过转置后获得的.） （利用伴随矩阵可以证明：） 定理2.3 若方阵A是非奇异的，即，则A是可逆矩阵，并且有 （定理2.3的证明请看教材.该定理不仅给出了可逆矩阵的一种判别方法，即当方阵A 的行列式时，A是可逆矩阵；若，则A不是可逆矩阵.而且还给出了求逆矩阵的一种方法伴随矩阵法，即若A可逆，那么只要求出它的伴随矩阵，再除以它对应的行列式的值，就能获得逆矩阵.） 例4 设矩阵 判别A是否可逆？ 解 因为 = 1即 ，所以A是可逆矩阵. 例5 设，问：当a, b, c, d满足什么条件时，矩阵A可逆？当A可