《物理学基本教程》课后答案牛顿定律.doc

第二章 牛顿定律2-1 在如图2-1(a)所示的倾角为的斜面上，由一轻杆相连的二滑块A、B质量相同，mA = mB = 2.5 kg，与斜面间的滑动摩擦系数分别为，求杆中的张力(或压力)以及滑块的加速度分析 应用牛顿定律解力学问题的基本步骤为：（1）根据题意选取研究对象；（2）分析研究对象的受力情况，并画出示力图；（3）选取坐标系，将力或加速度沿坐标轴分解为分量，根据牛顿第二定律列出各个物体的运动方程；（4）求解方程，先进行文字运算，再代入数据，计算出结果在分析力的过程中，必须注意每个力是哪个物体施给它的，没有施力物体的力是不存在的在涉及斜面的问题中，斜面上物体所受到的作用力有重力、斜面压力和摩擦力，而不存在上滑力或下滑力在连接体之间存在张力或压力 y B FNB FfB FTA FNA a FfA a A B A O FTB mBg mAg x(a) (b) (c)图2-1解 分别选取滑块A、B为研究对象，受力分析分别如图2-1（b）、（c）所示假设杆中为张力，由于轻杆质量可以忽略，施加于A和B的张力大小应相等，即取Oxy坐标系如图2-1所示，应用牛顿第二定律，得滑块A的运动方程为x方向： (1)y方向： (2)滑块B的运动方程为x方向： (3)y方向： (4)由(2)式得，摩擦力，代入(1)式得 (5)由(4)式得，摩擦力，代入(3)式得 (6)从(5)和(6)式消去FT，并注意到mA = mB = 2.5 kg，得代入(5)式，得上式中结果的负号表明，滑块A所受轻杆的作用力方向与原假设相反，即受到沿斜面向下的推压力，因此杆中出现的是压力，量值为1.06 N FN FT2 Ff FT1 m1g m2g图2-22-2 一金属链条放置于水平桌面上，其纵向与桌子边缘垂直，当链条长度的1/4部分垂挂于桌子边缘时，此链条刚好能开始在桌面上滑动，求链条与桌面之间的摩擦系数为何值？分析 对于质量连续分布的物质，例如链条、绳和长杆等，根据题意，在运动过程中任一瞬时，可以将其分割成各自独立的部分作为研究对象，这些独立部分可以视为质点，作出示力图，分析各部分的受力情况，于是原来是内力的张力或压力就变成了分割出的独立部分所受到的外力，就可以应用牛顿第二定律建立运动方程了解 设链条质量为m，当链条刚好能开始在桌面上滑动时，桌面上的链条质量为，悬垂部分的链条质量为分别以这两部分为研究对象，作示力图如图2-2所示作用于桌面上链条的力有：重力m1g，桌面的正压力FN，摩擦力Ff，悬垂部分对它的张力FT1作用于悬垂链条的力有：重力m2g，桌面部分对它的张力FT2不考虑桌面边沿的形状和摩擦，则链条两部分中的张力大小应相等，FT1= FT2= FT由于链条刚好能开始在桌面上滑动，摩擦力为最大静摩擦力，此时链条加速度为零，可得由以上各式可解得2-3一物体沿倾角为30的斜面向上滑动，在斜面底部时其初速为12m/s，物体与斜面间摩擦系数为0.2，求(1)物体达到最高点所需要的时间，(2)返回底部时的速度，(3)摩擦系数为多大时，将使物体上升到速度为零后就不再往下滑动分析 滑动摩擦力始终与运动物体相对滑动的方向相反，因此物体在斜面上向上滑动和向下滑动时的摩擦力正好反向，则物体所受合外力不同，加速度也就不同通常取加速度方向为坐标轴正向，分别就向上滑动和向下滑动选取坐标系建立运动方程由于牛顿第二定律建立的方程确定的是力和加速度之间的关系，因此，当所讨论的问题涉及到速度、位移和运动时间等运动学的物理量时，还要应用运动学中已经获得的相关公式求解解 (1) 在上滑过程中，物体受力如图2-3(a)所示，摩擦力Ff1沿斜面向下，且选Oxy坐标系如图所示，设加速度方向沿x轴正向，应用牛顿第二定律得上滑过程的运动方程为x方向： y方向： 由以上各式解得由初始条件：时，而到达最高点时速度为零，有则到达最高点所需时间为 y FN x FN O y a2 Ff2 a1 Ff1 O x mg mg(a) (b)图2-3(2) 物体向下滑时，受力如图2-3(b)所示，摩擦力Ff2沿斜面向上，且选Oxy坐标系如图所示，设加速度方向沿x轴正向，应用牛顿第二定律得下滑过程的运动方程为x方向： y方向： 由以上各式解得 (1)物体上升时的位移为下滑过程由静止开始，到达底部时速率为(3) 令代入（1）式，则物体位于最高点时速度为零，又无向下加速度，即不再向下滑动，可得2-4 细绳跨过轻滑轮连接着质量分别为5kg和1kg的二物体，滑轮吊在弹簧称下悬挂于升降机之中，如图2-4(a)所示(1)当升降机静止不动时，问弹簧称上的示重是多少？(2) 当弹簧称上的示重为58.8 N时，求升降机的加速度分析 物体的重量是物体施加在称重仪器设备上的压力或张力，其大小等于称重仪器设备反作用在物体上的压力或张力当物体在地面上处于静止或作匀速直线运动状态进行称重时，地球对物体的引力和称重仪器设备作用的压力或张力等大而反向，物体的重量与重力的量值相等当物体在地表附近有沿竖直方向的加速度时，物体的重量与重力的量值就不再相等了 FT a FT1 FT2 a a m2g m1g（a） （b）图2-4牛顿定律只适用于惯性参考系，当所讨论的问题中参考系本身也有加速度时，就要应用相对运动的加速度合成定理通常可以选取地球（地面）作为静止参考系，物体相对于地面的加速度等于物体相对于运动参考系加速度与运动参考系相对于地面加速度的矢量和，即解 二物体质量分别为m1 = 5 kg， m2= 1 kg二物体和滑轮的受力情况如图2-4(b)所示对于细绳和轻滑轮，忽略绳和滑轮间的摩擦，应有，和，因此有设升降机有一向上的加速度a，物体m1相对于升降机的加速度a，方向向下，物体m2相对于升降机的加速度a，方向向上如果假设对于地面参考系，物体m1的加速度方向向下，物体m2的加速度方向向上，并以它们各自加速度的方向为坐标轴正向，则根据相对运动加速度合成定理，物体m1相对于地面的加速度为a-a，物体m2相对于地面的加速度为a+a由牛顿第二定律可得其运动方程分别为 (1) (2)(1) 当升降机静止时，由(1)和(2)式以及张力之间的关系，得弹簧称上的示重为(2) 当弹簧称上的示重为时，由(1)和(2)式以及张力之间的关系，得升降机的加速度为2-5质量均为m形状相同、相互接触的梯形木块A、B放置在光滑的水平桌面上，如图2-5(a)所示设两木块之间的接触面是光滑的，斜面与水平面之间的夹角为，今以一水平力F作用在A上，求A、B之间无相对运动时A、B对桌面的压力 FNA y a FNB A B F FTB F FTA O x mg mg（a） （b）图2-5分析 在解动力学问题时，隔离物体法是一个基本方法在有些求物体所受力的问题中，往往碰到该物体的运动状态难以确定的情况，这时可以先求该物体对其他运动物体的反作用力，再利用牛顿第三定律确定所求力的大小和方向解 分别选取木块A、B为研究对象，受力情况如图2-5(b)所示根据题意，两木块加速度a相等，且沿外力F方向木块之间相互作用的压力大小相等，即选取如图所示的Oxy坐标系，应用牛顿第二定律得其运动方程分别为木块A的x方向： y方向： 木块B的x方向： y方向： 解以上方程得根据牛顿第三定律，木块A、B对桌面的压力的大小分别等于桌面给予它们的反作用力FNA和FNA，方向向下2-6在一轻滑轮上跨有一轻绳，绳之两端连接着质量分别为1kg和2kg的物体A、B，现以50N的恒力F向上提滑轮的轴，如图2-5(a)所示，A和B的加速度各为多少？不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦 F F y FT1 FT2 A B aA aB A B mAg mBg （a） （b）图2-6分析 在物体和滑轮组合成系统的动力学问题中，如果滑轮静止，不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦的情况下，用细绳跨过滑轮连接的两物体的速度和加速度的大小相等、方向相反然而，一旦滑轮本身具有加速度，如果以滑轮为运动参考系，那么细绳跨过滑轮连接的两物体相对于滑轮的加速度大小相等、方向相反，但是它们对于地面参考系的加速度则必须根据相对运动加速度合成定理叠加计算通常当不必求滑轮加速度时，可以先设定两物体对地面的加速度方向，最后再根据计算结果的正负确定实际加速度的方向解 以滑轮和物体A、B为研究对象，分别作出示力图如图2-6（b）所示取竖直向上为y轴正向，假设物体A、B的加速度aA和aB方向向上，由于不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦，绳中张力大小相等，即，应用牛顿第二定律得滑轮的运动方程为物体A的运动方程为物体B的运动方程为联立求解得2-7在光滑斜面上沿斜面倾斜方向放有一匀质长杆AB，长为l，质量为m，斜面与水平面间夹角为，现沿斜面以恒力F拉杆，如图2-7（a）所示，求杆内各部分间的相互作用（张力）沿棒长方向的变化规律分析 求质量连续分布的杆或绳中的内力，要采用隔离物体法，取其中一段作为研究对象分析受力情况，应用牛顿定律建立方程计算结果通常与所选取的段长有关，即为段长的函数 y F B F x FN a B L FNC FT A C A A mC g mg（a） （b）图2-7解 取如图2-7（b）所示的xy坐标系，以长杆AB为研究对象，加速度a沿斜面向上，根据受力情况，应用牛顿第二定律得运动方程为再取长为x的一段杆AC为研究对象，其质量为，在C处杆内张力FT对于AC部分成为外力，但AC仍具有与整个杆相同的加速度，应用牛顿第二定律得AC部分的运动方程为于是可解得结果表明杆内张力随C点位置变化2-8 在如图2-8所示的物体系统中，不计绳和滑轮的质量，并忽略m与水平桌面、m与m1之间的摩擦力问应以多大的水平推力作用在m上，才能使系统运动过程中m1和m之间无相对滑动？此时m对桌面的压力为多少？（m1 m2）分析 当几个物体构成一个系统并以相同的速度平动时，可以将这些物体构成的系统作为一个质点，应用牛顿定律建立合外力与加速度之间的关系，而不必考虑各部分之间的相互作用内力但是当这个系统的各部分之间有发生相对运动的可能性存在时，就仍然需要用隔离物体法，分析各部分的受力情况，分别建立运动方程，找到发生或不发生相对运动的条件 FT m1 m1 FT m1g F”T FT m m2 y F x mg m2g（a） （b）图2-8解 分别取m1、m2和m为研究对象根据题意，m1、m2和m组成系统以同一加速度a沿水平方向运动，因此连接m2的细绳将发生倾斜，与竖直方向夹角为，绳中张力的水平方向分量使m2获得加速度a，各物体受力情况和坐标选取如图2-8(b)所示不计绳和滑轮的质量，忽略摩擦，应有，m1和m之间的压力大小相等，应用牛顿第二定律得m1的运动方程为x方向： y方向： m2的运动方程为x方向： y方向： m的运动方程为x方向： y方向： 联立求解得m对桌面的压力大小等于桌面对m的压力，方向向下从上式可以看出该压力量值上等于整个系统所受的重力，因为系统中各物体的运动发生在水平面内，竖直方向无加速度和位移2-9如图2-9(a)所示的滑轮组系统中，不计绳子与滑轮质量，m1与桌面间无摩擦，求m1和m2的加速度以及绳中张力分析 在质点力学中，对于滑轮和物体组成的连接体问题，往往忽略滑轮质量以及绳与滑轮之间的摩擦，才使得跨过滑轮的绳中张力大小相等在第五章掌握了刚体的运动定律后，将不再忽略滑轮质量，问题的分析就更接近实际了当存在动滑轮时，动滑轮的加速度和跨过滑轮的绳上连接物体的加速度之间的相互关系，要根据题意建立方程确立 FN1 a1 FT1 FT1 FT2 m1 m1 FT1 a2 m1g FT2 m2g m2 （a） （b）图2-9解 分别以m1、m2和动滑轮为研究对象，受力情况如图2-9（b）所示m1的加速度a1向右，m2和动滑轮的加速度a2向下不计绳子与滑轮质量，应有，因为都只作直线运动，可取各自的运动方向为坐标轴正向，应用牛顿第二定律，它们的运动方程分别为m1： m2： 动滑轮： 因为绳长不变，当m1位移为x时，m2位移为x/2，于是可得加速度a1和a2之间的关系：联立以上各式，解得 2-10 在如图所示的滑轮系统中，滑块A的质量为mA，与桌面间的摩擦系数为，B是起始质量为mB的冰块，因溶化使其质量随时间的减少率为k不计绳与滑轮质量，求A、B由静止开始运动后t时刻的速率分析 由于有了微积分的基础，在大学物理中可以分析变力作用下的直线运动问题因为力是时间的函数（有些问题中也可能表示为位置的函数，即为时间的隐函数），应用牛顿定律建立的运动方程就成为微分方程，解微分方程并利用初始条件可以获得所需要的解在动力学的其他几章和电磁学中都会碰到这类应用积分或求解微分方程的问题，这对于巩固高等数学知识，学会建立物理模型以便为今后工程技术实际应用打下基础，有着重要意义这些问题对于初学者有一定的难度，但是通过一些习题的训练，是可以逐步掌握方法和技巧的 A FN a FT A FT B a B Ff mAg mBg (a) (b)图2-10解 以滑块A和冰块B为研究对象，隔离物体并作受力分析如图2-10(b)所示不计绳与滑轮质量，绳中张力大小相等，即取二物体各自运动方向为坐标轴正向，作为连接体它们的加速度大小相等，均为a，应用牛顿第二定律得其运动方程分别为滑块A：冰块B： 根据题意，其中t时刻冰块质量，作用于滑块A的摩擦力，由以上各式可得因，则上式可写为分离变量：由于初始时，设t时刻滑块和冰块速率为v，上式两边积分得 2-11 质量为0.5kg的物体沿x轴作直线运动，在沿x方向的力的作用下，t = 0时其位置与速度分别为x0 =5，v0 =2，求t = 1时该物体的位置和速度（其中F以N为单位，t以s为单位，x0以m为单位，v0以m/s为单位）分析 当作用于物体的力是时间的函数时，由建立的运动方程积分可以求得速度所求出的速度必定也是时间的函数，当还需要计算t时刻该物体的位置时，就应该利用速度的定义式，再积分求出位置的表示式解 由加速度的定义，应用牛顿第二定律，可得分离变量：两边积分得由初始条件：t = 0时v=v0 =2，得，即 (1)因，上式可写为分离变量：两边积分得由初始条件：t = 0时x=x0 =5，得，即 (2)当t = 1s时，由(1)和(2)式得，2-12物体与地面间的摩擦系数为0.20，以轻绳系于物体之一端，并通过滑轮以一水平力F = 8 N拉此物体,如图2-12(a)所示设物体的质量为2kg，(1)问绳与水平方向的夹角为何值时，物体的加速度有最大值？(2)求此时的加速度以及地面对物体的作用力分析 若作用力的大小不变，但方向在不断改变，则该作用力仍然是变力在力的分析过程中就要特别注意力的作用方向与物体运动方向间的关系求某一物理量的最大值或最小值，通常可以采用数学中的求极值的方法，即对该物理量的表达式求导数并令其等于零，得到相关参量的方程，根据题意求解，得到取最大值或最小值的条件 F y FN F Ff x mg (a) (b)图2-12解 恒力通过滑轮改变方向后作用于物体上，力F的作用方向与物体运动方向间的夹角随物体位置变化，运动中物体受力情况如图2-12(b)所示取图中所示的坐标系，应用牛顿第二定律得运动方程为x方向: y方向: 其中摩擦力，联立解得 (1) (2)(1) 当时，加速度有极值，因此由(1)式得(2) 将上面的结果代入(1)和(2)式，得摩擦力为 2-13 质量为1.5 kg的物体被竖直上抛，初速度为60 m/s，物体受到的空气阻力数值与其速率成正比，求物体升达最高点所需的时间及上升的最大高度分析 在忽略空气阻力的情况下，地面附近的抛体在重力作用下以恒定的重力加速度g运动但在实际问题中，空气阻力是不可忽略的，当物体的速度较小时，空气阻力的大小与速率成正比；对于高速运动的物体，空气阻力的大小与速率的平方成正比下面将应用解微分方程的方法，求解一些简单的直线运动情况下有空气阻力存在时的质点运动问题解一阶微分方程可以用不定积分也可以用定积分方法如果采用不定积分，积分常数利用初始条件确定分离变量法则是通常采用的比较简捷的算法解 以竖直向上为y坐标正向，应用牛顿第二定律得物体运动方程为 (1)物体达到最高点时，初始条件：时，将上式分离变量并积分：得由于，代入(1)式，得根据始末条件，分离变量并积分：得2-14 将相同材料制作的半径分别为R和2R的二小球在粘滞系数为的液体中无初速地释放根据斯托克斯定律，半径为r的小球速度为v时在液体中受到的粘滞阻力为试计算两球的初始加速度之比和终极速度之比分析 由斯托克斯定律确定的流体粘滞阻力大小与物体的速率成正比，即为变力，为了求物体的运动状态，需要用到积分方法由于在例题2-5中已经严格推导出了速度与时间的函数关系，以及小球的运动方程，因此可以利用其结果进行相关的计算解 设球的密度为，液体的密度为，二小球质量分别为和，作用于二小球的液体浮力分别为和，液体的粘滞阻力分别为和取竖直向下方向为x轴的正方向，则二小球的运动方程分别为初始时刻，则，由以上二式及二小球对应量间的关系，得由例题2-5的(2-27)式，知半径为r的小球在液体中下落，足够长时间后的终极速度为，因此半径分别为R和2R的二小球终极速度比为2-15 质量为1000kg的船，发动机熄火时速度为90km/h，水的阻力与船速成正比，Frkv，其中k = 100kg/s假设水面静止不流动，求(1)熄火后船速减小到45km/h所需要的时间；(2)熄火后1分钟内船的行程，以及船的最大航程分析 当作直线运动的物体只受到一个与速率成正比的阻力作用时，用分离变量法解此一阶微分方程比较简单解 船只受水的阻力Frkv作用，船的运动方程为初始条件为时，将上式分离变量并积分：得 (1)(1) 当船速减小到时，由上式得(2) 由(1)式得初始条件为时，积分得 (2)当时，由上式得当时，由(2)式得船的最大航程为结果表明，熄火后1分钟船已接近停止2-16 长度不等的两根细绳，各系一物体悬于同一点，使二物体在同一高度处作圆周运动，证明这样的两个圆锥摆周期相同分析 在忽略空气阻力的情况下，如图2-16(a)所示的圆锥摆绕竖直轴线回转一圈的时间为定值，称为周期 y FT h x r mg (a) (b)图2-16当物体作圆周运动时，必定存在法向加速度，在分析力和建立运动方程的过程中，通常选取指向圆心的方向为坐标轴之一的正向，将外力分解到该方向后，可以建立法向合外力与法向加速度之间的关系证 设物体回转的水平位置距悬点的高度为h，回转半径为r，悬线与竖直方向夹角为，物体质量为m，物体受重力与悬线张力作用，选竖直方向为y轴正向，水平指向回转圆心方向为x轴正向，如图2-16(b)所示，可得运动方程为x方向： y方向： 因为物体无切向加速度，作匀速圆周运动，角速度，又由几何关系得，于是可解得结果表明，摆动周期T只与物体回转高度有关，与物体质量无关，与回转半径无关2-17在光滑水平面上固定着一半径为R的圆环形围屏，质量为m的滑块沿环形内壁转动，滑块与壁间摩擦系数为，如图2-17（a）所示，(1)当滑块速度为v时，求它与壁间的摩擦力及滑块的切向加速度，(2)求滑块的速率v由变为v/3所需的时间。分析 通常将物体与平面间的滑动摩擦力表示为，而这仅只是当物体在水平面内运动，竖直方向除重力外没有受到其他外力作用的情况下桌面上产生的滑动摩擦力准确地说，滑动摩擦力的大小与物体之间的正压力成正比，即因此必须首先确定正压力的量值，才能正确地计算出滑动摩擦力作圆周运动或曲线运动的物体受到法向和切向力作用时，将具有法向和切向加速度，通常选取随物体一起运动的直角坐标系，原点就在物体上，两个坐标轴方向分别指向法向和切向，称之为自然坐标系，从而可以应用牛顿定律建立法向和切向运动方程 y R v FN Ff x(a) (b)图2-17解 滑块在光滑水平面上作圆周运动，围屏作用于滑块有摩擦力和正压力，当速度为v时，法向加速度为，取如图2-17（b）所示的坐标系，可得运动方程为x方向： y方向： 则由于切向加速度，代入上式，分离变量积分：得 2-18 轻杆之一端系着一块石头，使石头在竖直平面内作匀速率圆周运动，如果测得杆中张力的最大值与最小值之差为4.9N，求石块的质量。 FT mg图2-18分析 在竖直平面内作圆周运动，物体所受重力为恒力，要维持匀速率圆周运动，其他物体施予的张力或压力大小和方向都要改变，且与重力的合力大小不变，方向始终指向圆心解 在石头圆周运动过程中，当杆与竖直方向夹角为时，受力情况如图2-18所示于是法向运动方程为得显然，当时，有最小值；当时，有最大值，即得2-19 人造卫星发射到半径为R的环绕地球的圆形轨道上，另一卫星发射到半径为1.01R的轨道上，求二卫星的转动周期之比分析 卫星运动服从万有引力定律，除地球引力外，不受其他力作用的情况下，如果作圆周运动，速率不变，转动周期与角速度关系为解 设地球质量为m0，二卫星质量分别为m1和m2，绕地球转动的周期分别为和，向心加速度分别为和，应用万有引力定律和牛顿第二定律，得运动方程分别为两式相比，得2-20 若要把一人造卫星发射到赤道正上方，使其成为相对于地球静止不动的同步卫星，应把它发射到距地面多高的地方？若卫星轨道半径的误差为200m，求它在一年内将向东或向西漂移的角度（地球半径R = 6.37106 m）分析 同步卫星绕地心转动的角速度与地球自转角速度相同，通常作为通讯卫星使用由轨道半径的误差引起的位置漂移，要用到误差理论中的误差传递公式解 设地球质量为m0，卫星质量为m，绕地球转动的周期等于地球自转周期，距地面高度为h时，转动半径为，应用万有引力定律和牛顿第二定律，得卫星运动方程为 (1)在地球表面，有 (2)由于，由(1)和(2)式可得 (3)由(3)可得绕地球转动的周期为若卫星轨道半径的误差 m时，根据误差理论，引起的周期误差为卫星回转一周的弧度为，所以一年内漂移的角度为2-21 一水平圆盘的半径r = 0.2 m，边缘处放有一质量m= 0.5 kg的滑块，滑块与圆盘间的静摩擦系数= 0.2，光滑细绳的一端连接滑块，另一端穿过圆盘中心的小孔悬挂质量m =1.0kg的物体当圆盘绕通过中心的竖直轴匀速转动时，若滑块仍处在圆盘边缘无相对滑动，求圆盘转动角速度的最大值和最小值 FT FT mg图2-21分析 静摩擦力始终与相对滑动的趋势方向相反，在达到最大静摩擦力之前其量值与物体所受外力和运动状态有关解 分别以滑块和悬挂的重物为研究对象，受力情况如图2-21所示，滑块在竖直方向受重力和圆盘支承力的作用