外点法求约束最优化问题.doc

数学规划课程设计题目 外点法求约束最优化问题 姓名 学号 成绩 摘要罚函数是应用最广泛的一种求解式的数值解法，基本思路是通过目标函数加上惩罚项，将原约束非线性规划问题转化为求解一系列无约束的极值问题。（这种惩罚体现在求解过程中，对于企图违反约束的那些迭代点，给予很大的目标函数值，迫使这一系列无约束问题的极小值或者无限地向可行解（域）逼近，或者一直保持在可行集（域）内移动，直到收敛于原来约束问题的极小值点。）本文.外点法可用于求解不等式约束优化问题，又可用于求解等式约束优化问题，主要特点是惩罚函数定义在可行域的外部，从而在求解系列无约束优化问题的过程中，从可行域外部逐渐逼近原约束优化问题最优解。关键词：罚函数法、约束最优化问题、外点法1、 预备知识（基本理论）看下是否还有定理、定义等等，可以加一些外点惩罚函数法的一般形式考虑不等式约束优化设计时：对构造一般形式的外点惩罚函数为：其中：（1）当满足所有约束条件时惩罚项为0，即（2）当X违反某一约束条件，即 时表明X在可行域外，惩罚项起作用，且若X离开约束边界越远，惩罚力度越大。这样用惩罚的方法迫使迭代点回到可行域。（3）惩罚因子是一递增的正数数列，即且一般考虑等式约束的优化问题：构造外点罚函数：同样，若X满足所有等式约束则惩罚项为0；若不能满足，则且随着惩罚因子的增大而增大；综合等式约束和不等式约束情况，可以得到一般约束优化问题的外点罚函数公式为：实际计算中，因为惩罚因子不可能达到无穷大，故所得的最优点也不可能收敛到原问题的最优点，而是落在它的外面，显然，这就不能严格满足约束条件。为了克服外点惩罚函数法的这一缺点，对那些必须严格满足的约束（如强度、刚度等性能约束）引入约束裕度 ，即将这些约束边界向可行域内紧缩，移动一个微量，得到这样用重新定义的约束函数来构造惩罚函数，得到最优设计方案。外点惩罚函数法的迭代步骤：1.给定初始点，初始惩罚因子，维数n迭代精度和递增系数；2.构造外点惩罚函数；3.选用无约束优化方法来求解惩罚函数极小点，即，4.检验是否满足迭代终止条件或若满足转6，若不满足转5；5.令，转2；6.输出最优解，迭代终止。二、解问题1 问题重述用外点法求解约束最优化问题 2 问题求解解：构造罚函数 用解析法求解 即， 的解为 当时， 即解为: 程序解法：利用MATLAB编写程序如下：m=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);%a b为最优点坐标，f0为最优点函数值，f1 f2最优点梯度。syms x1 x2 e; %e为罚因子。m(1)=1;c=10;a(1)=0;b(1)=0; %c为递增系数。赋初值。f=x12+2*x22+e*(1-x1-x2)2;f0(1)=1;fx1=diff(f,x1);fx2=diff(f,x2);fx1x1=diff(fx1,x1);fx1x2=diff(fx1,x2);fx2x1=diff(fx2,x1);fx2x2=diff(fx2,x2);%求偏导、海森元素。for k=1:100 %外点法e迭代循环. x1=a(k);x2=b(k);e=m(k); for n=1:100 %梯度法求最优值。 f1=subs(fx1); %求解梯度值和海森矩阵 f2=subs(fx2); f11=subs(fx1x1); f12=subs(fx1x2); f21=subs(fx2x1); f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f12+f22)=0.001) %最优值收敛条件 a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f); break; else X=x1 x2-inv(f11 f12;f21 f22)*f1 f2; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end endif(double(sqrt(a(k+1)-a(k)2+(b(k+1)-b(k)2)=0.001)&(double(abs(f0(k+1)-f0(k)/f0(k)=0.001) %罚因子迭代收敛条件 a(k+1) %输出最优点坐标，罚因子迭代次数，最优值 b(k+1) k f0(k+1) break;else m(k+1)=c*m(k);endend得结果：ans = 0.6666ans = 0.3333k = 5ans =0.6666即min()的最优结果为0.6666写一些总结性内容三、参考文献1 范玉妹，徐尔，赵金玲，胡毅庆.数学规划及其应用M.北京：冶金工业出版社，20092 姜启源，谢金星，叶俊.数学建模M.北京：高等教育出版社，20033 沙特 M.H.Alsuwaiyel.算法设计技巧与分析M.北京：电子工业