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第十届本科二级竞赛题与评分标准一、填空题（每小题4分，共32分）1) = 2) 。3） 4） 5) 6） 圆 的面积为 7) 设 可微，则 8) 级数 的和为 二、（10分）设在 上连续，且 求证：存在 使得证：令 （3分）则应用罗尔定理，使得 （4分） 于是 （3分）三、（10分）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面正方形的中心，（1）试求过点的平面与底面所成的二面角的值。（2）试求过点的平面截正方体所得到的截面的面积。 （2分） （2分） （2分）2） （2分）所求截面的面积为 （2分）四、（12分）已知是等腰梯形求的长，使该梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大。 （4分） （4分） 即 为所求的值。 （4分）注：可对V的表达式应用平均不等式求最大值。五、（12分）求二重积分 其中 （4分） （2分） （2分） 六、（12分） （2分） （2分+2分） （2分+2分+2分） （2分） (2分+2分+2分) （ 1分+1分+1分+1分） 七、（12分）已知数列单调增加，满足： 判别级数 的敛散性。解 因数列单调增加，所以， （4分） （4分）由于级数应用比较判别法得收敛。 （4分）
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