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第二章 轴向拉伸和压缩2-1 一圆截面直杆，其直径d20mm, 长L=40m，材料的弹性模量E=200GPa，容重80kN/m3, 杆的上端固定，下端作用有拉力F =4KN，试求此杆的：最大正应力；最大线应变；最大切应力；下端处横截面的位移。解：首先作直杆的轴力图最大的轴向拉力为故最大正应力为：最大线应变为: 当（为杆内斜截面与横截面的夹角）为时，取A点为轴起点，故下端处横截面的位移为：2-2 试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长L。已知杆横截面面积为A，长度为L,材料的容重为。解：距离为x处的轴力为 所以总伸长 2-3 图示结构，已知两杆的横截面面积均为A=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。在结点A处受荷载F作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为14104，22104，试确定荷载P及其方位角的大小。解: 由胡克定律得 相应杆上的轴力为 取A节点为研究对象，由力的平衡方程得 解上述方程组得 2-4 图示杆受轴向荷载F1、F2作用，且F1F2F，已知杆的横截面面积为A，材料的应力应变关系为cn，其中c、n为由试验测定的常数。(1) 试计算杆的总伸长；(2) 如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？(3) 当n1时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论？解：（）轴力图如图（a）所示。根据：则（）采用叠加法。单独作用F1时，轴力图如图（b）所示。单独作用F2时，轴力图如图（c）所示。则（）当n=1时，上述两解答相同。结论：只有当与成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。2-5 试求图示构架点C的铅垂位移和水平位移，已知两根杆的抗拉刚度均为EA。解： 取C点分析受力情况，如图（b）所示，得因此只有CD杆有伸长 变形几何图如图（c）所示 ，得 。2-6 刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮G、H。已知钢丝的E210GPa，绳横截面面积A100mm2，荷载F20KN，试求C点的铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦）。解：首先要求绳的内力。刚性梁的受力分析如图，由平衡方程： 解得： 绳的原长 绳的伸长量为 在作用下结构变形如图， 可得： 再由三角几何关系得： 由、式联立可得：又因为：所以，2-7 图示结构中AB杆为刚性杆，杆AC为钢质圆截面杆，直径d1=20mm，E1=200GPa；杆BD为铜质圆截面杆，直径d225mm，E2=100GPa，试求：(1) 外力F作用在何处(x？)时AB梁保持水平？(2) 如此时F30kN，则两拉杆横截面上的正应力各为多少？解：(1). 容易求得AC杆、BD杆的轴力分别为从而AC杆、BD杆的伸长量若要AB梁保持水平，则两杆伸长量应相等，即.于是, (2).当时，两拉杆横截面上的正应力分别为2-8 图示五根杆的铰接结构，沿其对角线AC方向作用两力F20 kN，各杆弹性模量E=200GPa，横截面面积A500mm2，L1m，试求：(1) AC之间的相对位移AC，(2) 若将两力F改至BD点，则BD点之间的相对位移BD又如何？解：(1)取节点为研究对象，受力分析如图(b)由平衡方程： ,得同理，可得：节点受力分析如图(c)，,四杆材料相同，受力大小相同，所以四个杆的应 变能相同，可求得整个杆件应变能为：力作的功为： 由弹性体的功能原理得： 当两力移至两点时，可知，只有杆受力，轴力为所以 从而 2-9 图示结构，已知三根杆AF、CD、CE的横截面面积均为A=200mm2, E=200GPa,试求每根杆横截面上的应力及荷载作用点B的竖向位移。解：取AB为研究对象，选取如图所示坐标轴，故，即,即,于是得 ， ，即，于是 ，解得：，所有构件的应变能为由功能原理得，作的功在数值上等于该结构的应变能即：所以 .2-10 图示结构，已知四根杆AC、CB、AD、BD的长度均为a,抗拉刚度均为EA,试求各杆轴力，并求下端B点的位移。解：(1)以B结点为研究对象，受力图如图（a）所示由 得得以刚性杆为研究对象，受力图如图（b）所示由 得由 得(2)由于1，2杆的伸长变形，引起CD刚性杆以及B结点的下降（如图（c）由于3，4杆的伸长引起B点的继续下降（如图（d）则2-11 重G=500N,边长为a=400mm的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。已知此麻绳在290N的拉力作用下将被拉断。(1) 如麻绳长为1.7m时，试问此时绳是否会拉断？(2) 如改变角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少？解：(1)取整体作为研究对象,经分析得本受力体系为对称体系. 由于箱子重G=500N,由竖直方向的受力平衡可知,每根绳子竖直方向受力为F=250N. 即 而则于是,此时绳子不会被拉断.(2)绳子被拉断时其中则解得:答：(1)N=417N (2)L=1.988m2-12 图示结构，BC为刚性杆, 长度为L, 杆1、2的横截面面积均为A，其容许应力分别为1和2，且1=22，荷载可沿梁BC移动, 其移动范围0xL, 试从强度方面考虑，当x取何值时，F的容许值最大，Fmax等于多少？解：分析题意可知，由于1、2两杆横截面积均为A，而1杆的容许应力为2杆的二倍，则由公式可知，破坏时2杆的轴力也为1杆的二倍。本题要求F的容许值最大，即当力F作用在距离B点的位置上时，1、2两杆均达到破坏所需的轴力，即此时，对力的作用点求矩得：解得：此时，由竖直方向的受力平衡得：2-13 图示结构，AC为刚性杆, BD为斜撑杆, 荷载F可沿杆AC移动,试问：为使BD杆的重量最轻, BD杆与AC杆之间的夹角应取何值？解：如图所示，取整体为研究对象，对A点取钜，由得：而则要想使重量最轻，应该使sin2最大，即2=90 解得：=45 2-14 铰接桁架承受水平力F=150kN,桁架所有杆件的许用应力=125Mpa,试求AB杆和CD杆所需的横截面面积。解：由零杆的判别条件知，图中BC杆为零杆。取整体为研究对象，对A点取钜，由得： 解得： 取D节点为研究对象，由平衡方程得：则可以解得：同理，对于B节点，也有平衡方程：则可以解得：于是，由许用应力定义得：2-15 圆截面钢杆如图所示，已知材料的E=200GPa，若杆内应变能U=4Nm,试求此杆横截面上的最大正应力。解：各截面压力相同为应变能 代入数据 可得kNMPa 2-16 图示杆件的抗拉（压）刚度为EA，试求此杆的应变能。解：如图所示，为杆件的轴力图，则杆件的应变能计算应该分为两部分。其中： 则：第三章 扭 转3-1 直径d =400mm的实心圆截面杆扭转时，其横截面上最大切应力max=100Mpa，试求图示阴影区域内所承担的部分扭矩。解：法1 距圆心处切应力为 阴影部分扭矩k法2:距离圆心处切应力为 kN3-2 将空心管B和实心杆A牢固地粘结在一起而组成一实心圆杆，如图所示。管B和杆A材料的剪切弹性模量分别为GB和GA。试分别求出该组合杆承受扭矩MT时，实心杆与空心管中的最大切应力表达式。答：实心杆：，空心管：解：设实心杆受扭矩，空心管受扭矩，且两杆的最大切应力出现在外边缘处，由已知得 +=；对两杆接触截面的相对转角相同，即=；且=，=；所以=，=；则实心杆：=，空心管：=3-3 图示受扭轴，AB段因安装手轮，截面为正方形，试从强度方面考虑，轴的容许扭矩因此降低了多少（用百分比表示）？解：由题意可知，从强度方面考虑，即： 截面为圆时， 当截面为正方形时，如图，边长查表可得，当时， 所以 所以降低为： 3-4 受扭转力偶作用的圆截面杆，长L=1m，直径d20mm，材料的剪切弹性模量G80GPa，两端截面的相对扭转角0.1rad, 试求此杆外表面处沿图示方向的切应变、横截面上的最大切应力max和扭转力偶矩Me。答：=1103，max80 MPa，Me125.6Nm解：由公式,=得出Me125.6Nm且=80 MPa， 由，得=.3-5 圆截面橡胶棒的直径d40mm，受扭后，原来表面上互相垂直的圆周线和纵向线间夹角变为86，如杆长L300mm,试求端截面的扭转角；如果材料的G2.7MPa，试求杆横截面上的最大切应力和杆上的外力偶矩Me。解： rad所以 rad MPa另外 因为 所以 3-6 一根在A端固定的圆截面杆AB如图所示，图中的a、b及此杆的抗扭刚度GI均为已知。杆在B端焊有一根不计自重的刚性臂，在截面C处有一固定指针，当杆未受荷载时，刚性臂及指针均处于水平位置。如现在刚性臂的端部悬挂一重量为F的重物，同时在杆上D和E处作用有扭转力偶MD和ME。当刚性臂及指针仍保持水平时，试求MD和ME。解：扭矩图如图（a）所示要保证指针及刚性臂保持水平则得 （1）得 （2）（1）、（2）两式联立 得 3-7 图示圆截面杆，其全长受集度为m=的均布扭转力偶作用，并在中点受其矩为T的扭转力偶作用，试作此杆的扭矩图，并求杆的应变能。解：对1-1截面，有,.对2-2截面，有,.作出扭矩图.(2)杆的应变能.第四章 弯曲应力4-1试作下列梁的剪力图和弯矩图。解：（a）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程AC段：CB段： 3、作剪力、弯矩图（b）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程AB段： 3、作剪力、弯矩图（c）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程AC段：CB段：3、作剪力、弯矩图（d）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得2、列剪力、弯矩方程AC段：CB段：3、作剪力、弯矩图4-2作图示梁的剪力图和弯矩图。解：（a）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程CA段：AB段： 3、作剪力、弯矩图（b）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程CA段：AD段：DB段： 3、作剪力、弯矩图（c）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程AB段：BC段： 3、作剪力、弯矩图（d）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程AC段：CD段：DB段： 3、作剪力、弯矩图（e）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程AB段：BC段： 3、作剪力、弯矩图（f）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、列剪力、弯矩方程CA段：AD段：DB段： 3、作剪力、弯矩图4-3已知简支梁的剪力图如图所示，试作此梁的弯矩图和荷载图。梁内若有集中力偶，则作用在右端。解：依据剪力与弯矩的微分关系作图4-4已知简支梁的弯矩图如图所示，试作此梁的剪力图和荷载图。解：依据剪力与弯矩的微分关系作图4-5试作图示简单刚架的内力图。解：（a）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 即 得 2、列内力方程AB段：BC段： 3、作内力图（b）1、计算支反力 由平衡方程得 2、列内力方程AB段：BC段： 3、作内力图（c）1、计算支反力 由平衡方程得 2、列内力方程AB段：BC段：CD段： 3、作内力图（d）1、计算支反力 由平衡方程得 2、列内力方程AB段：BC段： CD段： 3、作内力图4-6试作图示梁的内力图。解：对系统进行受力分析（如图b1）由得 由得，由得因此图示梁的内力图如图b2所示。（M图有问题）4-7试从弯矩来考虑，说明为什么双杠的尺寸常设计成 ？解：由题意只需要考虑两种临界情况即可。1、当力F在中间位置时，由对称可知最大弯矩发生在正中，即2、当力F在最边缘位置时，由平衡条件： 即 得 即 得最大弯矩发生在B处，即所以，根据材料的许用强度可知，当两者相等时最佳，即 即4-8试推导梁受均布弯曲力偶m时的荷载与剪力、弯矩之间的微分关系。解：由题意如图所示，由平衡条件： 即 得 即 得所以AB段：4-9已知悬臂梁及其剪力图如图a、b所示，若在梁的自由端无弯曲力偶作用，试作此梁的弯矩图及荷载图。从剪力图和弯矩图直接求出支反力和支反力偶，并在荷载图上画出其方向和转向。解：由剪力图知AC段受均布力作用，大小为；C点受集中力；BC段受均布力，大小为 则可作出荷载图与弯矩图如下：4-10一悬臂梁承受沿梁全长作用的分布荷载，梁的弯矩方程为M（x）=ax3+bx2+c，其中a、b和c为有量纲的常数。x的坐标原点取在梁的自由端，试求分布荷载的集度，并说明常数c的力学含义。解：当x=0时， 因此c表示自由端作用的弯矩为c。由为三元一次函数得知,集中荷载为一元一次函数，令 并且以自由端为原点建立坐标系（如图所示）得即所以。4-11一端外伸的梁在其全长L上有集度为q的均布荷载作用，如欲使梁在此荷载作用下的最大弯矩值为最小，试求外伸端的长度a与梁长L之比。解：1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得2、列剪力、弯矩方程AB段：BC段：3、作弯矩图4、由弯矩图可知，当时，最大弯矩值最小，解得或（舍去）4-12独轮车过跳板，如跳板的支座A是固定铰支座，试从最大弯矩考虑，支座B放在什么位置时，跳板的受力最合理？解：如图（）所示，当位于AB中点或者位于跳板的右端点D时，会在跳板上产生最大的弯矩。当F位于C处时： 所以 又 所以 所以 此时弯矩图如图（b）所示。当位于处时： 所以 所以 得 因此 此时弯矩图如图（c）所示。最合理时 ，即， 得 ，因此当时最合理。 4-13开口圆环，其受力如图所示，已知环厚为h（垂直于纸面），p为均匀压强，试求此环在任意截面1-1上的弯矩。解：如图，在任意截面1-1处， 在1-1截面与开口之间取一小段长为，宽为，则所受合力 对截面1-1处的弯矩为 所以对整段环的合弯矩为4-14如图所示，已知bh的矩形截面杆，其弹性模量为E，承受三角形分布载荷P（x），其方向与x轴夹角为，试导出杆的内力与载荷的微分关系。解：取坐标为和处的两横截面，设坐标为处的横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为、和。该处的荷载集度为，则在坐标为处横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为、和。梁段在以上所有外力作用下平衡。故，即 ， 解得：；又 ，即 ,解得：；再由，即，二阶无穷小项得：.4-15宽为b=30mm，厚为t = 4mm的钢带，绕装在一个半径为R的圆筒上。已知钢带的弹性模量E=200GPa，比例极限p=400MPa，若要求钢带在绕装过程中应力不超过p，试问圆筒的最小半径R应为多少？解：由题意钢带的曲率为 即 可知越大，R越大； 所以4-16空心圆截面梁如图所示。试求横截面1-1上K点处的正应力，并问哪个截面上相应于此K点位置的正应力最大，其值等于多少？解：1、求支反力 由平衡方程 即 得 即 得 2、求1-1截面处的弯矩 3、求该截面上K点处的正应力4、求 由于无均布荷载，根据微分关系可知最大弯矩在拐点处，其中 ， ， ，所以 ， 则4-17用相同材料制成的两根梁，一根截面为圆形，另一根截面为正方形，它们的长度、横截面面积、荷载及约束均相同。试求两梁横截面上最大正应力的比值。解：设截面面积为A，圆形截面直径为d，正方形截面边长为a，则有 即 由公式得最大正应力分别为 所以4-18 T形梁截面如图所示。已知截面上M=3.1kNm，Iz=53.1106m4，试求截面上、下边缘处的正应力及中性轴以上部分截面的正应力构成的总压力及压力作用点的位置。解：根据得 （“-”号表示压应力） 解得4-19梁的横截面如图所示。如果已由实验测得上端纵向纤维的压缩应变=0.0003，下端纵向纤维拉伸应变=0.0006。试求截面上阴影部分总的法向内力。已知材料的E=200GPa。解：由及得：，由于同一截面上、及相同，故与成正比。由上端，下端得：,，故，阴影部分总的法向内力为：4-20矩形截面梁的截面尺寸如图所示。已知梁横截面上作用有正弯矩M=16kNm及剪力Fs=6kN，求图中阴影面积及上的法向内力及切向内力。解：分析截面：由对称知中性轴既是形心主轴 由积分得 （压力） （拉力） 4-21为了提高梁的弯曲强度，如图所示在矩形截面上增加肋板，如肋板的高度较小时，反而会使弯曲强度降低，已知尺寸b、b1、h，试求抗弯强度为最低时的肋板高度h1。解：梁的正应力强度条件为 由题意可知 而 ，所以只需求解，将梁截面分为三部分令 得： 所以4-22图示圆形截面悬臂梁，受均布荷载q作用，试计算梁横截面上最大切应力、最大正应力及它们两者的比值。解：剪力图，弯矩图如图所示。由圆形截面知所以，。4-23矩形截面梁高为h，试问在距中性轴多远处，横截面上的切应力等于平均切应力？解：距截面中性轴为y处的切应力 题 423 图其中为截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩。则平均切应力为，式中，要使截面上切应力等于平均切应力，即使，解得 4-24木制悬臂梁受载如图所示。试求中性层上的最大切应力及此层水平方向的总剪力。答：max=0.3MPa Fs*=30kN解：分析截面 梁所受剪力为 则中性层上的最大切应力为 此层水平方向的总剪力为4-25 T形截面梁如图所示。已知Fs=100kN，Iz=11340108m4，试求中性轴及翼缘与腹板交界点处的切应力。解：分析截面 由得 中性轴上 交界点处4-26已知梁横截面上的弯矩M=60kNm，横截面尺寸如图所示。试求此截面上的最大正应力。解：分析截面 所以4-27由50号工字钢制成的简支梁如图所示。试求横截面上的最大正应力和最大切应力。 解：1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、作剪力图与弯矩图 由图可知 3、求最大正应力和最大切应力 4-28试求图示梁横截面上的最大正应力和最大切应力，并绘出危险截面上正应力和切应力的分布图。 解：1、计算支反力 由平衡方程： 即 得 即 得 2、作剪力图与弯矩图 由图可知 3、求最大正应力和最大切应力分析截面 则 4、绘出危险截面上正应力和切应力的分布图4-29在图中如以虚线所示的纵向面和横向面从梁中截取一部分，试求在纵向面m上由微内力dA所组成的合力，并说明它与什么力平衡，用图表示。 解：求支反力：由平衡方程 即 得 即 得 求合力T：分析小块，在处所受切应力为 由受力平衡则 所受合力为 它与所在横向面所受拉应力平衡。4-30从图示梁中取出一脱离体，试求其横截面上：（）最大、最小正应力；（）最大、最小切应力；（）正应力组成的法向内力N*；（）切应力组成的切向内力S*。（）纵向面上切向应力。 解：（1）对于横截面来说，段上的正应力最大,其值为：，段上的正应力最小,其值为：，（2）段上的切应力最大，其值为：，段上的切应力最小,其值为：，（3）正应力组成的法向内力为：（4）切应力组成的切向内力为：（5）纵向面AAcc上切应力组成的切向应力 4-31一根木梁的两部分用单行螺钉连接而成，其横截面尺寸如图所示。已知剪力FS=3kN，IZ=113.5106 m4，螺钉的容许剪力为700N，试求螺钉沿梁纵向的间距a。解：截面上处由剪力引起的切应力为，由切应力互等定律木梁两部分连接面上有切应力，所以一个螺钉所承受剪力为：容许剪力为所以所以间距 为 4-32用螺钉将四块木板连接而成的箱形梁如图a所示，每块木板的截面均为150mm25mm，如每一螺钉的容许剪力为1.1kN，试确定螺钉的间距a。又如改用图b所示的截面形状，其他条件不变，则螺钉的间距a应为多少？答：（a）a=0.117m； （b）a=0.176m解：（a）由平衡条件得 则 则 分析截面（a）：由对称知形心主轴即是对称轴 则两极连接处 所以在两极连接处所受的切应力为 由题意 即 解得（b）同理对截面有由 得 所以 解得4-33用20号工字钢制成的简支梁如图所示。由于正应力强度不足，在梁中间一段的上下翼缘上各焊一块截面为120mm10mm的钢板来加强，如材料的=160MPa，试求所加钢板的最小长度L1。解：经查表得20号工字钢的参数 ，h=200mm，b=100mm。受力分析知简支梁的受力图，剪力图，弯矩图（如图1）由弯矩图知，距中心处的弯矩为由带入数据得最小长度.4-34图示铸铁T形截面梁，已知IZ=7.65106m4，材料的 t=40MPa，=60MPa，试校核此梁的正应力强度。 解：1、求支反力 由平衡方程： 即 得 即 得2、作剪力、弯矩图3、校核正应力强度由题意 则此梁不安全。4-35有一桥式起重机，跨度l=10.5m，用36的工字钢作梁，工字钢的IZ=15760cm4，WZ=875cm3。梁的许用应力=140MPa，电葫芦自重12kN，若起重量为50kN时，梁的强度不够，为此在工字钢梁中段的上、下缘各焊一块钢板如图，试校核加固后梁的强度，并求加固钢板的最小长度L。解：由题意当电葫芦在梁中间时，所受最大弯矩最大为 此时加固后 则 由题意临界情况时，电葫芦刚好在加固板一端，此时 由平衡条件 即 得则此时 解得 则4-36在图示工字钢梁截面的底层，装置一变形仪，其放大倍数K=1000，标距S=20mm。梁受力后，由变形仪读得S=8mm。若L=1.5m，a=1m，E=210GPa，试求载荷F值。解：由题意1-1底层处发生的形变为 则此处所受拉应力为 由对称可知 则1-1处所受弯矩为 在1-1底层所受压应力为 即 即 解得4-37已知直梁的横截面如图所示，横向载荷作用在对称平面xcz（即截面对称轴z与轴线x组成的平面）内，该截面上的弯矩M=12kNm，剪力FS=12kN，试计算该截面上：（1）A、B两点处的正应力；（2）max和max；（3）沿aa的正应力和切应力分布图。解：（1）分析截面： 由公式得（2）在中性轴处在B处所以4-38图示简支梁受荷载F1，F2，q1，q2和m的共同作用。（1）试作梁的剪力、弯矩图。（2）若梁为矩形截面，材料的容许拉压应力=6MPa，容许切应力=1MPa，试校核此梁的强度。解：由得：，由得：，由弯矩图得，最大拉应力在端，最大拉应力为：，最大剪力为，最大切应力为：0，挠曲线向下凸；M0，挠曲线向上凸。5-2图示各梁EI=常数。试写出各梁的位移边界条件，并画出梁挠曲线的大致形状。设梁的最左端断点为坐标原点，x轴正方向向右。则各梁边界条件、弯矩图及梁的挠曲线大致形状如下：(a) (b) (c) (d) (e) (f) 5-3试画出图示梁挠曲线的大致形状。5-4如要使图示结构B端的挠度为零，则长度x应为多少？试画出此时AB梁的挠曲线大致形状。答：解:固定端约束反力如图所示。则AB梁上距离A端l处的横截面上的弯矩为 M（l）=Fl-F（L-x） 由挠曲线微分方程得：EI”=-M（l）=F（L-x）-Fl积分得：EI= F（L-x）l-l+C;再积分得：EI=（L-x）l-l+Cl+ C；由边界条件l=0 ，=0得C=0；由=0得C=0 EI=（L-x）l-l；由题意知l=L时，=0得x=LAB梁挠曲线大致形状：M（l）=Fl-L；0l时，M（l）0; l05-5图示刚架在端点C处受集中力F作用，试求当B点的铅垂位移为零时的比值。答：解：固定端约束反力如图所示。则AB梁上距离A端l处的横截面上的弯矩为 M（l）=Fl-F（L-a） 由挠曲线微分方程得：EI”=-M（l）=F（L-a）-Fl积分得：EI= F（L-a）l-l+C;再积分得：EI=（L-a）l-l+Cl+ C；由边界条件l=0 ，=0得C=0；由=0得C=0 EI=（L-a）l-l；由题意知l=L时，=0得a=L =5-6试用叠加法求图示梁自由端挠度fB和转角B，并画出挠曲线的大致形状。答： 解：（1）在均布荷载单独作用下： 查表得=l=（4a）=a；=l=（4a）=a （2）集中荷载单独作用下： = （3a）=a； =+a= （3a） + aa=a由叠加原理得：f=+=a +a=a=+=a+a=a5-7已知长度为4a的静定梁的挠曲线方程为，试用图表示此梁所受荷载及梁的支座，并求梁内最大弯矩。答：解：设F（x）=; 已知EIv”=M（x）;因此对F（x）求二阶导数得： M（x）=F （x）=； 由弯矩与剪力的微分关系得： 当时，=0，弯矩绝对值最大， ； ； 可推断知此梁所受荷载及梁的支座情况如图：5-8已知直梁的挠曲线方程为。试求： 1）截面处的弯矩；2）最大弯矩；3）分布荷载q（x）；4）梁的支承情况。答：，q（x）=，梁为两端铰支的简支梁。解：设 已知；对F（x）求二阶导数得：；（1）；（2）；令得；（3）；（4）；梁为两端铰支的简支梁。5-9一等截面悬臂梁抗弯刚度为EI，梁下有一曲面，其方程为y=Ax3，欲使梁变形后与该曲面正好贴和（曲面不受力），试问梁上需加什么样的荷载？答：在B端加F=6AEI的向上集中力和Me=6AEIL的顺时针集中力偶。解：欲使梁变形后与曲面正好贴合，则梁挠曲线方程与曲面方程相同。；则；由剪力，弯矩方程及边界条件可知：需在梁B端加载的向上的集中力和的顺时针的集中力偶。5-10梁ABCD原来是水平的，然后如图所示那样在C点施加向下集中力F，则梁向下挠曲，如希望在B处加一向上集中力以使B点的位置回到原来的水平线ABCD上。试问在B点需加多大的力？答：解：集中力不在梁中点，可采取叠加原理求解。查表得集中力不在梁中点时梁挠曲线方程为；（1）单独在C点施加集中力F时，满足条件：。代入方程得：；（2）单独在B点施加集中力时，满足条件：。代入方程得：；使B点位置回到原水平线ABCD上，则5-11重量为Q的直杆放在水平的刚性平面上，在它的一端作用一大小为F=的力，试问由于此力的作用，杆从平面上被拉起的长度a等于多少？并求出其端部提起的高度。答：，解：由题意设段被拉起仍为平放段，整个杆上受力情况如图（b）由于处 即 则由于 杆段B处可以简化为固定端，从而杆段简化模型为图（c）提升高度 5-12变截面悬臂梁如图所示，全梁承受均布载荷q的作用，试用叠加法求A截面的挠度。E，I为已知。答：解：利用叠加原理，原图等效为以下四图的叠加。如同所示：查表得悬臂梁自由端的挠度和转角公式：（1）（2）（3）（4）叠加得： 5-13试用等截面梁的挠度、转角表计算图示简支梁跨度中点的挠度fC。答：解：利用应变能求解，由于梁及荷载轴对称，可以只取左半段研究。由静力学平衡易求得支座反力为，则得5-14试求图示梁荷载作用点C的挠度。答：解：利用应变能求解，由静力学平衡方程易求得，向上。 以B端为坐标原点，坐标轴正方向向左。则 左半段；所以对整个梁求应变能：，从而得5-15试求图示梁跨度中点C的挠度。答：解：利用应变能求解，由静力学平衡方程易求得，由对称关系知梁的应变能为：，得5-16图中所示的梁具有中间铰B和C，EI为已知。试画出挠曲线的大致形状，并用叠加法求F力作用处的挠度。解：, 为铰接，受力如图（a）力矩平衡可得 且 各点挠度 5-17图示梁在B截面处支承一弹簧，弹簧刚度（即引起单位长度变形之力）为k，试求A截面的挠度。EI为已知。答：解：（1）弹簧受力，对梁：得（2）将梁AC等效为AB，BC两部分，如图：5-18设梁上受有均匀分布的切向载荷，其集度为t，若E为已知，试求A点的铅垂位移（挠度）及轴向位移。答：，解：（1）由于荷载偏离梁的轴心，根据力的平移定理原荷载等效为集度为t的切向荷载均匀分布于梁的中性轴，同时附加一个力偶。（x为梁上任一截面到A点的距离）由得（负号表示位移向下）（2）因为转角表示梁中性轴一点相对原来轴线的转角，由此引起A点的轴向位移水平向右；轴力引起的A点的轴向位移水平向左；A点总的轴向位移水平向右5-19简支梁的荷载情况及尺寸如图所示，已知该梁材料的弹性模量为E，求梁下边缘的总伸长量。解：弯矩图如图所示。 则下边缘上各点正应力取一微元为研究对象，其伸长量， 则5-20等截面刚架如图所示，E、A及I均为已知。试大致描出其变形曲线，并在下列两种情况下求D截面的垂直位移及水平位移：（1）不考虑BC杆的轴向伸长；（2）考虑BC杆的轴向伸长。解： 首先对，杆进行受力分析，分析如图(b)，(c) 其中， ，所以，可得杆变形大致曲线如图(d)(1)(2)考虑杆轴向伸长时，如图(e)5-21试求图示各梁的应变能。答：（a）（b）（c）解：（a）（b）易求得支座反力为，任一截面弯矩为由对称关系得梁的应变能为：（c）显然梁的应变能为：第六章 简单的超静定问题6-1图示由三根杆组成的结构,已知各杆的弹性模量E、横截面积A及杆长L均相同，试求各杆轴力，画出变形图和受力图。 解：如图所示，取中间节点作为研究对象，由受力平衡得： 对于1、2、3杆，根据胡克定律，可知其变形量分别为： 再由几何连续条件得： 于是，由上述方程联立解得： 6-2如图所示，三根同材料等长度和等截面的柔索，互成，在O点相连接，各索预受张力10kN，索3在垂直方向。之后，在O点施加荷载F,试计算在三种不同情况下，各索所承受之力：（a）F=9kN (b)F=15kN (c)F=21kN。答：（a）F=9kN时， （b）F=15kN时， （c）F=21kN时，解：首先计算当绳索3刚好无拉力时荷载F的值。 如图所示，取节点O作为研究对象。 由于绳索上实现施加了10KN的拉力，因此由节点的竖向平衡可知：则F=10KN(1) 由于F=9KN10KN 于是绳索3中没有拉力。 因此由节点的竖向平衡可知：则(3) 由于F=21KN10KN 于是绳索3中没有拉力。 因此由节点的竖向平衡可知：则6-3图示对称结构中，杆BC为刚性杆，其余四根杆的EA均相同，试求荷载F作用下四根杆的轴力。解： 此题为对称结构上作用对称荷载，因此结构的受力和变形均对称。 于是可得 取刚性杆BC作为研究对象，由竖直方向的受力平衡得： 再由胡克定律得： 且由于对称荷载作用，加载时刚性杆BC的运动为竖直方向的平动。 有 由以上方程可以解得： 6-4图示结构，各杆抗拉刚度均为EA, 试求各杆的轴力。解： 此题为对称结构受对称荷载作用,因此AB、BC杆的轴力相等，设为 则 对于DB杆，由于杆件在E点受集中力作用，则轴力应该分为两部分考虑。设DE段轴力为，EB段轴力为。 于是,其中 再由受力平衡条件得： 由变形协调条件得： 于是，由上式解得： 6-5刚性杆ABC由材料相同、横截面积相等的三根杆悬挂，其结构及受力如图，试分析三根杆的受力分配比。解：本题为一次超静定问题，由受力图（b），得 则 （1）ABC杆为刚性杆，由变形几何图（c）可得变形协调条件 （2）物理关系为： （3）由方程（1）（3）得 上式代入（2）得 （4）（3）再代入（4）得 再结合（1）得结论：三杆受力相同6-6一杆系如图所示，1、2、3杆铰接在滑块E上，滑块E能沿竖向移动，杆2在竖直位置。图中F、EA均为已知。各杆的EA相同，长度均为L，试求E点处的支反力。 解： 由节点处的变形协调条件及几何条件得： 由胡克定律得： 即 取滑块E作为研究对象，由水平和竖直方向上的受力平衡得： 于是解得： 方向水平向右6-7图示结构中，BC为刚性杆，1、2两杆的抗拉（压）刚度均为EA, 试求两杆的轴力。解： 如图所示，取整体为研究对象，对B点取矩得： 由变形协调条件得： 其中： 于是，可以解得：6-8刚性梁由材料相同、截面积相等的三根立柱支撑，其结构和受力如图所示，如使刚性梁保持水平，试求：（1）荷载F作用点的位置x；(2) 此时各立柱中的轴力。解： 由于梁要保持水平，所以 即 又由于 则 又 对1柱低端取矩， 由竖直方向的受力平衡得： 由以上三式得： 6-9 刚性梁悬挂在三根杆上，已知A钢=2A铜，钢=，E钢=210GPa,铜=，E铜=100GPa, 试求当温度升高C时各杆横截面上的应力。解： 如图所示，为对称结构受对称荷载作用，因此刚性梁一定是平行移动。即 由题中条件,可得以下四式: 由第一式和第四式分别得: 由以上四式联立可以解得: ，6-10 如图所示，斜杆DC的长度比要求短，已知DB和DC杆的面积A=200mm2, 材料的E=200GPa。试求：装配后DB杆和DC杆的轴力。解： 为刚性杆，假设其移动到 如图（b）所示由几何关系知： （1）由物