概率论与数理统计习题三解析哈工大版.doc

习 题 三 1掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为，若以表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求的分布列。 解 表示事件：前次出现正面，第次出现反面，或前次出现反面，第次出现正面，所以 2袋中有个黑球个白球，从袋中任意取出个球，求个球中黑球个数的分布列。 解 从个球中任取个球共有种取法，个球中有个黑球的取法有，所以的分布列为 ， 此乃因为，如果，则个球中可以全是白球，没有黑球，即；如果则个球中至少有个黑球，此时应从开始。 3一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第个零件是不合格品的概率，以表示三个零件中合格品的个数，求的分布列。 解 设第个零件是合格品。则 ， ， ， .即的分布列为 . 4一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为，以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求的概率分布。 解 (第一个路口即为红灯), (第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)，依此类推，得的分布列为 . 5将一枚硬币连掷次，以表示这次中出现正面的次数，求的分布列。 解 为重贝努里试验中成功出现的次数，故，的分布列为 6一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。 解 设为每分钟接到的呼叫次数，则 （1） （2） 7某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。 解 设为该商品的销售量，为库存量，由题意 即 查泊松分布表知，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。 8已知离散型随机变量的分布列为：，试写出的分布函数。 解 的分布列为 所以的分布函数为 9设随机变量的概率密度为 求：（1）常数；（2）使成立的. 解 （1），； （2）， 可见 ， 。 10设随机变量的分布函数为 ，求：（1）系数与；（2）；（3）的概率密度。 解 （1）由分布函数的性质 于是 ，所以的分布函数为 ， （2）； （3）的概率密度为， . 11已知随机变量的概率密度为，.求的分布函数. 解 12设随机变量的概率密度为 求的分布函数. 解 的图形为 的分布函数为 012x(1，1)f(x) 13 13设电子管寿命的概率密度为若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏的电子管数的分布列；（3）的分布函数。 解 为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，其中 ， （1）所求概率为 ； （2）的分布列为，即 . （3）的分布函数为 14设随机变量的概率密度为 现对进行次独立重复观测，以表示观测值不大于0.1的观测次数，试求随机变量的概率分布。 解 ，其中 ，所以的概率分布列为 . 15设随机变量，求方程有实根的概率. 解 设方程有实根，则 发生 即 ，因，所以 发生所以 . 16设随机变量，现对进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率. 解 设为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则，其中 ，所求概率为. 17设顾客在某银行窗口等待服务的时间（单位：分），服从参数为的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次，以表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求的分布列及。 解 由题意，其中 ，于是的分布为 . 18一大型设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。 解 （1）设的分布函数为，则 事件表示两次故障的间隔时间超过，也就是说在时间内没有发生故障，故，于是，可见，的分布函数为 即服从参数为的指数分布。 （2）所求概率为. 19设随机变量。求 （1）；（2）常数，使； （3）常数，使。 解 （1） ； （2），查表知 ，所以； （3） 所以 ，查正态分布表知 ，故 。 20设随机变量，且，求。 解 ，所以 ，。 21某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 解 所求概率为 22假设测量的随机误差，试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出的近似值。 解 设为误差的绝对值大于19.6的测量次数，则，其中 ，所求概率为利用泊松定理. 23在电源电压不超过，在和超过三种情况下，某种电子元件，损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压服从正态分布，试求：（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200240的概率。 解 设电子元件损坏，电源电压在第档，则 （1） （2）. 24假设随机变量的绝对值不大于1；，在事件出现的条件下，在内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：（1）的分布函数；（2）取负值的概率. 解1 设的分布函数为，则 当 时，且， 当 时， ， 当 时，由题意 ，而 ，所以 。于是 此时 ，故的分布函数为 （2）. 解2 设的分布函数为，则 当 时， 且 当 时， 当时，设，且，由题意 ，即 由此得 ，两边同除以得 令取极限得 两边积分得 ，由及得 解之得 故 ，综上所述，的分布函数为 （2） 25已知离散型随机变量的分布列为 求的分布列. 解 的分布列为 . 26设随机变量的概率密度为 求的概率密度 解1 当时函数单调增，反函数为，于是的概率密度为 解2 设的分布函数为，则 27设随机变量的概率密度为 求随机变量的概率密度 解1 函数严格单调，反函数为，则 解2 设的分布函数为，则 ，所以。 28设，求（1）的概率密度；（2）的概率密度。 解 的密度为 （1）在上单调增，反函数为，所以的密度为 （2）在上单调减，反函数为，所以的密度为 29设，求的概率密度。 解1 函数在上单调减，反函数为， 在上单调增，反函数为，所以的密度为 即 30设随机变量服从参数为2的指数分布，试证在区间上服从均匀分布。 证 只须证明的分布函数