河南省“专升本”高等数学试卷及答案[].doc

河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号一二三四五六总分核分人分数得分评卷人一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合的所有子集共有 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数。2.函数的定义域为 （ ） A. B. C. D. 解： 。3. 当时，与不等价的无穷小量是 ( ) A. B. C. D. 解：根据常用等价关系知，只有与比较不是等价的。应选A。4.当 是函数 的 （ ） A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点解： ；。5. 设 在处可导，且，则的值为（ ） A.-1 B. -2 C. -3 D.-4 解： 。 6.若函数在区间内有，则在区间内，图形 （ ）A单调递减且为凸的 B单调递增且为凸的 C单调递减且为凹的 D单调递增且为凹的解：单调增加；凸的。应选B。7.曲线的拐点是 （ ） A. B. C. D. 解：，应选A 。8.曲线的水平渐近线是 （ ）A. B. C. D. 解： 。9. （ ） A. 0 B. C.2 D. 1 解： 。 10.若函数是的原函数，则下列等式正确的是 （ ）A. B. C. D. 解：根据不定积分与原函数的关系知，。应选B。 11. （ ）A. B. C. D. 解：。12. 设，则 （ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 解： 。13. 下列广义积分收敛的是 （ ） A. B. C. D. 解：由积分和积分的收敛性知，收敛，应选C 。14. 对不定积分，下列计算结果错误是 （ ） A. B. C. D. 解：分析结果，就能知道选择C。15. 函数在区间的平均值为 （ ）A. B. C. 8 D. 4解： 。16. 过轴及点的平面方程为 （ ） A. B. C. D. 解：经过轴的平面可设为，把点代入得应选C。也可以把点代入所给的方程验证，且不含。17. 双曲线绕轴旋转所成的曲面方程为 （ ）A. B. C. D. 解：把中换成得，应选A。18. （ ） A. B. C.0 D. 极限不存在解： 。 19.若，则 （ ） A. B. 1 C. D. 0 解： 。20. 方程 所确定的隐函数为，则 （ ）A. B. C. D. 解：令，应选A。21. 设为抛物线上从到 的一段弧，则 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2解：从0变到1， 。22.下列正项级数收敛的是 （ ）A. B. C. D. 解：对级数、需要利用积分判别法，超出大纲范围。级数有结论：当时收敛，当时发散。级数、与级数利用比较判别法的极限形式来确定-发散的，应选C。23.幂级数的收敛区间为 （ ） A. B. C. D.解： 令，级数化为收敛区间为，即。24. 微分特解形式应设为 （ ） A. B. C. D. 解： 不是特征方程的特征根，特解应设为。应选B。25.设函数是微分方程的解，且，则在处（ ）A.取极小值 B. 取极大值 C.不取极值 D. 取最大值解：有 。得分评卷人二、填空题（每题2分，共30分）26.设，则_.解： 。27._.解：构造级数，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件。 28.若函数在处连续，则_. 解：。29.已知曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标为 _解：。30.设，则 _解： 。31.设，则_解： 。32. 若函数在处取得极值2，则_，_解：；。33. _解：。34_ 解：。35.向量的模_解：。36. 已知平面：与平面：垂直，则_解：。37.设，则_ 解：。 38.已知，交换积分次序后，则_ 解： ，所以次序交换后为。39.若级数收敛，则级数的和为 _解：，而，所以。40.微分方程的通解为_ 解：有二重特征根1，故通解为（为任意常数）。得分评卷人三、判断题（每小题2分，共10分）你认为正确的在题后括号内划“”，反之划“”.41.若数列单调，则必收敛. ( )解：如数列单调，但发散，应为。42.若函数在区间上连续，在内可导，且，则一定不存在，使. ( )解：如在满足上述条件，但存在，使得，应为。43. ( )解：第二步不满足或，是错误的，事实上。应为。44. ( )解：因，由定积分保序性知：，应为。45.函数在点处可微是在处连续的充分条件.( )解：在点处可微可得在点处连续，反之不成立，应为应为。得分评卷人四、计算题（每小题5分，共40分）46求. 解： 。47.求函数的导数.解： 两边取自然对数得 ，-（1分） 两边对求导得：，-（3分）即，-（4分）故 。-（5分）48.求不定积分.解： -（1分） -（3分）-（4分）。-（5分）49.计算定积分 .解：因，所以-（2分）-（4分）。-（5分）50.设，且为可微函数，求. 解：令 ，有，利用微分的不变性得 -（3分） -（4分） -（5分）51计算，其中为圆环区域：.解：积分区域如图07-1所示：的边界、用极坐标表示分别为，；故积分区域在极坐标系系下为图07-1，-（2分）故-（3分） -（4分） 。-（5分）52将展开为的幂级数，并写出收敛区间. 解： 因；-（2分）。所以；。-（3分）故-（4分） 。-（5分）53求微分方程的通解.解：方程可化为，这是一阶线性非齐次微分方程，-（1分）它对应的齐次方程的通解为，-（2分）设原方程有通解，代入方程得，即 ，-（3分）所以 ，-（4分）故所求方程的通解为。-（5分）得分评卷人五、应用题（每题7分，共计14分）54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V立方米，底面造价每平方米元，侧面造价每平方米元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？ 解：设长方体的长、宽分别为 ，则高为，又设造价为，-（1分）由题意可得 ；-（3分）而 在定义域内都有意义.令得唯一驻点，-（5分）由题可知造价一定在内部存在最小值，故就是使造价最小的取值，此时高为。所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为、时，工程造价最低。-（7分）图07-255. 设平面图形D由曲线,直线及y轴所围成.求：（1）平面图形D的面积;(2) 平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积. 解：平面图形D如图07-2所示：-（1分）取为积分变量，且（1）平面图形D的面积为-（3分）。-（4分）（2）平面图形D绕轴旋转一周所生成旋转体的体积为 。-（7分）或 。 得分评卷人六、证明题（6分）56.若在上连续，则存在两个常数与，对于满足的任意两点，证明恒有.证明： 因在有意义，从而在上连续且可导，即在上满足拉格朗日中值定理的条件，-（2分）故存在，使得 ，-（3分）又因在上连续，根据连续函数在闭区间上最值定理知，在上既有最大值又有最小值，不妨设分别是最小值和最大值，从而时，有。-（5分）即 ，故 。-（6分）第 7 页 共 15 页河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷题号一二三四五总分核分人分数得分评卷人一. 单项选择题（每题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.1. 函数的定义域为 （ ） A. B. C. D. 解：.2. （ ） A.1 B. 0 C. D. 解：.3. 点是函数的 ( ) A.连续点 B. 跳跃间断点 C.可去间断点 D. 第二类间断点解: .4.下列极限存在的为 （ ） A. B. C. D. 解:显然只有,其他三个都不存在,应选B.5. 当 时，是比的（ ）A低阶无穷小 B高阶无穷小 C等阶无穷小 D.同阶但不等价无穷小解: ,. 6.设函数，则 （ ）A在处连续，在处不连续 B在处连续，在处不连续 C在，处均连续 D在，处均不连续解: 在处连续; 在处不连续;应选A.7.过曲线上的点(0,1)处的法线方程为 （ ）A. B. C. D. 解: .8.设函数在处可导，且，则 （ ）A. -1 B.1 C. -3 D. 3 解：,应选C.9.若函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 解：,应选B. 10.设函数由参数方程确定，则 （ ）A.-2 B.-1 C. D. 解： ,应选D.11.下列函数中，在区间-1,1上满足罗尔中值定理条件的是 （ ）A. B. C. D. 解：验证罗尔中值定理的条件,只有满足,应选C. 12. 曲线的拐点是 （ ）A. B. C.无拐点 D. 解: ,应选B.13. 曲线 （ ）A. 只有水平渐进线 B. 既有水平渐进线又有垂直渐进线C. 只有垂直渐进线 D. 既无水平渐进线又无垂直渐进线解： .14.如果的一个原函数是,那么 （ ） A. B. C. D. 解：,应选D.15. ( )A . B.C. D. 解: ,应选A.16.设，则的取值范围为 ( )A . B. C. D. 解:此题有问题,定积分是一个常数,有,根据定积分的估值性质,有,但这个常数也在其它三个区间,都应该正确,但真题中答案是B.17. 下列广义积分收敛的是 （ ）A. B. C. D. 解:显然应选D.18. （ ） A. B. C. D. 解：,应选D.19.若可导函数，且满足，则 （ ） A. B. C. D. 解：对两边求导有:,即有 ,还初始条件,代入得,应选A.20. 若函数满足，则 （ ）A. B. C. D. 解：令,则,故有,应选C.21. 若 则 ( )A B C D 解: ,应选C.22.直线与平面的位置关系为 A. 直线与平面斜交 B. 直线与平面垂直 C. 直线在平面内 D. 直线与平面平行 解： ,而点(-2,-4,0)不在平面内,为平行,应选D.23. （ ） A. 2 B.3 C. 1 D.不存在 解: ,应选A.24.曲面在点（1，2，5）处切平面方程（ ）A BC D解:令,也可以把点（1，2，5）代入方程验证,应选A.25.设函数，则 （ ）A. B. C. D. 解: ,应选B.26.如果区域D被分成两个子区域和且，,则 ( )A. 5 B. 4 C. 6 D.1解:根据二重积分的可加性, ,应选C.27.如果是摆线从点到点的一段弧，则 ( )A. B. C. D. 解:有此积分与路径无关,取直线段从变到0,则 ,应选C.28.以通解为（为任意常数）的微分方程为 ( ) A. B. C. D. 解: ,应选B.29. 微分方程的特解形式应设为 （ ）A . B. C. D.解:-1是单特征方程的根,是一次多项式,应设,应选A.30下列四个级数中，发散的级数是 （ ）A. B. C. D. 解:级数的一般项的极限为,是发散的,应选B.得分评卷人二、填空题（每题2分，共30分）31的_条件是. 解：显然为充要(充分且必要).32. 函数在区间单调 ，其曲线在区间内的凹凸性为 的. 解：在内单调增加,在内大于零,应为凹的. 33.设方程为常数)所确定的隐函数 ,则_.解： .34. .解: .35. .解：函数在区间是奇函数，所以.36. 在空间直角坐标系中,以为顶点的的面积为_ .解：，所以的面积为.37. 方程在空间直角坐标下的图形为_.解:是椭圆柱面与平面的交线,为两条平行直线.38.函数的驻点为 . 解: . 39.若，则 . 解: .40.解: .41.直角坐标系下的二重积分(其中为环域)化为极坐标形式为_.解：.42.以为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 .解:由为通解知,有二重特征根-3,从而,微分方程为.43.等比级数,当_时级数收敛,当_时级数发散.解: 级数是等比级数, 当时,级数收敛,当时,级数发散.44.函数展开为的幂级数为_解: .45.的敛散性为_的级数. 解:,级数发散.得分评卷人三、计算题（每小题5分，共40分）46求.解： .47. 求.解：.48.已知,求.解： .49. 计算不定积分.解：.50.求函数的全微分. 解：利用微分的不变性,.51计算，其中是由所围成的闭区域. 解：积分区域如图所示:把区域看作Y型,则有112,故 .52求微分方程满足初始条件的特解. 解:这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次微分方程的通解为,设是原方程解,代入方程有,即有,所以,故原方程的通解为,把初始条件代入得:,故所求的特解为.53求级数的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点).解：这是标准的不缺项的幂级数,收敛半径,而,故收敛半径.当时,级数化为,这是调和级数,发散的;当时,级数化为,这是交错级数,满足莱布尼兹定理的条件,收敛的;所以级数的收敛域为.得分评卷人四、应用题（每题7分，共计14分）54. 过曲线上一点作切线，是由曲线，切线及轴所围成的平面图形，求（1）平面图形的面积;11（2）该平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积. 解：平面图形D如图所示：因,所以切线的斜率,切线的方程为,即取为积分变量，且.（1）平面图形D的面积为.（2）平面图形D绕轴旋转一周所生成旋转体的体积为 .55.一块铁皮宽为24厘米,把它的两边折上去,做成