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管理数量方法与分析习题第1章 数据分析的基础思考与练习1什么是数据分组？它有哪些种类，各在什么情况下应用？所谓数据分组，就是对某一变量的不同取值，按照其自身变动特点和研究需要划分成不同的组别，以便更好地研究该变量的分布特征及变动规律。根据变量的类型可分为：单项分组，若变量是离散型变量，且取值不多时采用；组距分组，若变量是连续型变量、或者是取值较多的离散型变量时采用。2什么是变量数列？如何编制变量数列？在对变量取值进行分组的基础上，将各组不同的变量值与其变量值出现的次数排列成的数列，称为变量数列。组距数列的编制过程：确定组数。若变量的取值变动不均匀，如急剧增大、变小，变动幅度很大时，应采用异距分组；若变量的取值变动均匀，应采用等距分组。等距分组便于比较和分析处理，实践中应尽量采用等距分组。究竟分为多少组比较合适，可采用斯特吉斯公式计算：M = 1 + 3.322 * LgN，N为变量值的个数，m为组数。确定组距。确定了分组的组数之后，接下来就需要确定出分组的组距。等距分组的组距可根据变量值的取值范围和已确定的组数确定，下式可计算组距的最小值：d = (max(Xi) min(Xi) / m，d为组距，Xi为观测变量中的第i个变量值，m为组数。确定组限。在确定了分组的组数和组距之后，就需要确定各组的组限。各组的组限应尽量用整数，特别是5和10的倍数来表示。用小于或等于变量最小值的整数作为最低一组的下限，然后依次每增加一个组距就是一个组限，直到组限值增加到比变量的最大值还大时即为最高组上限。组限的表示方法随着变量的不同也有所不同。若变量是离散变量，则相邻两组中数值较小一组的上限和数值较大一组的下限可分别用相邻的两个整数值表示；若变量是连续变量或是即可取整数又可取非整数的离散变量，则相邻两组中较小一组的上限和数值较大一组的下限只能用同一数值表示。为了不违反分组的互斥性原则，在后一种情况下，一般规定上限不包含在本组之内，称为上限不在内原则。计算各组的次数（频数）。在确定了各组的组限以后，接着就需要计算出所有变量值中落入各组之内的变量值的个数，每组所分配的变量值的个数也就是该组的次数，又称频数。编制变量数列。当各组变量值的变动范围和各组的次数确定之后，接下来就可以将各组变量值按照从小到大的顺序排列，并列出相对应的次数，就形成变量数列。3测度变量分布中心有何意义？测度指标有哪些，各有什么特点？均值、中位数和众数之间有什么关系？揭示变量的分布中心有着十分重要的意义：变量的分布中心是变量取值的一个代表，可以用来反映其取值的一般水平。一个变量往往有许多个不同的取值，假若要用一个数值作为它们的代表，反映其一般水平，分布中心值无疑是一个最合适的数值。变量的分布中心可以揭示其取值的次数分布在直角坐标系上的集中位置，可以用来反映变量分布密度曲线的中心位置，即对称中心或尖峰位置。测度指标有：算术平均数，又称均值，它是一组变量值的总和与其变量值的个数的比值，是测度变量分布中心最常用的指标。算术平均数的计算方法有：简单算术平均数、加权算术平均数。算术平均数容易受到极端变量值的影响。中位数，是指将某一变量的变量值按照从小到大的顺序排成一列，位于这列数中心位置上的那个变量值。中位数表明在顺序排列的变量值中，小于中位数的变量值的个数与大于中位数的变量值的个数是相等的。因此，用中位数来代表所排列变量值的一般水平能够避免受到这些变量值中出现的极端变量值的影响，在某些特定条件下它更具有代表性。众数，是指某一变量的全部取值中出现次数最多的那个变量值。在特殊的应用条件下，使用众数作为变量的一般代表值既简便又具有代表性。在许多场合只有众数才适合作为某一变量取值的代表值。三者之间的关系：算术平均数、中位数和众数三者之间在数量上的关系取决于变量值在数列中的分布状况。在正态分布的情况下，变量值的分布是以算术平均数为中心，两边呈对称型，这时算术平均数、中位数和众数在数量上完全相等。在偏态分布的情况下，由于变量值中出现特别大或特别小的极端数值使其分布曲线在图形上呈现出不对称的情形。当有极大变量值出现时，是正偏分布（又称右偏分布），此时众数 中位数 中位数 算术平均数。4测度变量取值的离散程度有何意义？测度指标有哪些，各有什么特点？有了极差、平均差和标准差，为什么还要计算离散系数？意义：通过对变量取值之间离散程度的测定，可以反映出各个变量值之间的差异大小，从而也就可以反映分布中心指标对各个变量值代表性的高低。通过对变量取值之间离散程度的测定，可以大致反映变量次数分布密度曲线的形状。测度指标：极差，又称全距，是指一组变量值中最大值与最小值之差，用来表示变量的变动范围。它计算简单，意义明了。由于极差的确定只根据两个极端变量值计算，不受中间变量值的影响，所以不能全面反映变量值的差异情况。四分位全距，是指将一组由小到大排列的变量数列分成四等分，可得到三个分割点Q1、Q2、Q3，分别称为第一个、第二个、第三个四分位数；然后用第一个四分位数Q1减去第三个四分位数Q3所得差的绝对值|Q1-Q3|，即为四分位全距。它其实是指一组由小到大排列数据的中间50%数据的全距，所以它不像极差那么容易受极端变量值的影响，但仍然存在没有充分利用所有数据信息的缺点。平均差，是变量各个取值偏差绝对值的算术平均数。它反映了变量的各个取值离其算术平均数的平均距离。其意义明确，计算简单，但在运算上不方便。平均差的计算分为简单平均法和加权平均法两种。标准差，又称根方差，是变量的各个取值偏差平方的平均数的平方根。通过离差平方和的运算不但可以消除离差正负项的差别，而且强化了离差的信息，使其在数学性质上也有许多明显的优越性。标准差的计算方法分为简单平均法和加权平均法两种，即简单标准差和加权标准差。方差，标准差的平方称为方差。计算离散系统是因为：极差、平均差和标准差都是衡量变量各个取值之间绝对差异程度的指标，都具有一定的量纲。这些指标的数值大小不仅取决于变量各取值之间的差异程度，而且取决于变量取值水平即数量级的高低。显然，对于不同的变量，其变量值的绝对差异程度指标并不便于直接比较，这就需要在这些绝对差异指标的基础上构造出反映变量各取值之间的相对差异程度的无量纲指标。变异系数主要用于不同变量的各自取值之间差异程度的比较。例如，对于两个给定的变量，若要比较二者算术平均数对各自变量值一般水平代表性的高低，或比较二者各自内部变量值之间差异程度的大小，由于二变量的极差、平均差和标准差各自有不同的数量级和不同的量纲，难以直接对比，所以就需要计算各自的变异系数，用变异系数进行比较。5测度偏度和峰度有什么意义？测度指标各有哪些？意义：可以加深人们对变量取值的分布状况的认识，如可以使人们清楚了解变量的取值是否对称，或非对称程度有多大，以及变量的取值是否有特别的集聚，集聚程度有多高，等等。人们还可以将所关心的变量的偏度指标值和峰度指标值与某种理论分布的偏度指标值和峰度指标值进行比较，以判断所关心的变量与某种理论分布的近似程度，为进一步的推断分析奠定基础。偏度的测度指标：直观偏度系数，它是利用描述变量分布中心的不同指标之间的直观关系而确定的测度变量分布偏斜程度的指标。主要有：皮尔逊偏度系数，是算术平均数与众数之间的离差对标准差的比率，其数值在-3,+3的范围之内。鲍莱偏度系数，它是上四分位数与中位数的距离对中位数与下四分位数的距离的差值与上四分位数与下四分位数的差值的比率。矩偏度系数，就是利用变量的矩来确定的变量分布偏斜程度的指标。峰度的测度指标：峰度系数，是变量的四阶中心矩与其标准差的四次方的比率。6抽样调查某地区50户居民的月消费品支出额数据资料如下（单位：元）9678959219788219246518509269469388008649198639819168189008938909541006926900999886112090586681697810009181040854110090092810279469999508641050927949852928886要求：试根据上述资料编制变量数列；确定组数共有41个变量值，因此根据斯特吉斯公式：组数m = 1 + 3.322 * LgN = CEILING(1+3.322*LOG10(41),1) = 7确定组距组距d = (max(Xi) min(Xi) / m = CEILING(1120 651) / 7, 10) = 70确定组限最低组的下限为650，最高组的上限为1140。计算各组的频数编制变量数列月消费品支出金额户数(户)比率向上累计频数向上累计频率向下累计频数向下累计频率650-72012%12%50100%720-79000%12%4998%790-860714%816%4998%860-9302346%3162%4284%930-10001224%4386%1938%1000-1070510%4896%714%1070-114024%50100%24%合计50100%编制向上和向下累计频数、频率数列；绘直方图和拆线图。7为了了解农民工每月工资收入的情况，某市在全市农民工中随机抽取了300名进行调查，调查得样本资料如下表所示：按月生活费支出分组（元）人数（人）500以下10500-55030550-600120600-650100650-70025700以上15根据表中的样本数据计算下列各种分布特征测度指标：农民工月工资收入的算术平均数、中位数和众数；组中值x(元)人数f(人)频率(%)xf向上累计(人)向下累计475103.33%4750103005253010.00%157504029057512040.00%6900016026062510033.33%62500260140675258.33%1687528540725155.00%1087530015合计300100.00%179750算术平均数-x = (x * f) / f = 179750 / 300 = 599.17(元)根据300 / 2 = 150和累计人数确定中位数的位置应在组距数列第三组。按下限公式计算中位数：中位数m = L + (f / 2 Sm-1) / fm * d= 550 + (300 / 2 40) / 120 * (600 550) = 595.83(元)由表可以很明显地看出，农民工每月工资收入出现次数最多的是第三组，所对应的变量值在550600元之间。按下限公式计算：众数m = 550 + (120 30) / (120 30) + (120 100) * (600 550) = 590.91（元）农民工工资收入的标准差和标准差系数；组中值x(元)人数f(人)偏差偏差2 * f偏差3 * f偏差4 * f47510-124.17 154181.89 -19144765.16 2377205489.56 52530-74.17 165035.67 -12240695.42 907892379.40 575120-24.17 70102.67 -1694381.49 40953200.51 62510025.83 66718.89 1723348.93 44514102.83 6752575.83 143754.72 10900920.61 826616809.64 72515125.83 237497.83 29884352.39 3760348061.15 合计300837291.67 9428779.86 7957530043.09 标准差 = (xi -x)2 * fi/ f)0.5 = (837291.67 / 300)0.5 = 52.83(元)标准差系数 = / x = 52.83 / 599.17 * 100% = 8.82%农民工月工资收入的矩偏度系数和矩峰度系数。矩偏度系数sk = S3 /3 = (xi -x)3 * fi) / fi /3= (9428779.86 / 300) / 52.833 = 0.21矩峰度系数ku = S4 / 4 = (7957530043.09 / 300) / 52.834 = 3.418300户农户的年纯收入分组资料如表所示：年纯收入（元）农户数（户）23000-250003025000-2700011027000-290009029000-310004031000-330002033000-3500010试计算：农户年纯收入的算术平均数、中位数和众数；组中值x(元)户数f(户)xf向上累计频数向下累计频数24000 307200003030026000 110286000014027028000 90252000023016030000 4012000002707032000 206400002903034000 1034000030010合计3008280000算术平均数-x = 8280000 / 300 = 27600(元)根据300 / 2 = 150和累计人数确定中位数的位置应在组距数列第三组，按上限公式计算中位数：中位数m = 29000 (300 / 2 70) / 90 * (29000 27000) = 27222.22(元)由表可以明显地看出，农民年纯收入出现次数最多的是第二组，所对应的值在25000-27000元。按上限公式计算：众数 = 27000 (110 90) / (110 30) + (110 90) * (27000 25000)= 26600(元)根据算术平均数、中位数和众数之间的关系，判断农民工年纯收入的分布类型。由上述计算结果可以看出：众数(26600) 中位数(27222.22) 算术平均数(27600)，属于正偏分布（即右偏分布），即农民的年纯收入有极大值出现。9表为130名同学统计学成绩分组资料：考试成绩学生数50-55255-60460-651065-701470-752075-802880-852685-901690-95795-1003要求计算：学生成绩的全矩、平均差、标准差和方差；全距（极差）= 100 50 = 50(分)组中值x学生数fxf偏差偏差2 * f偏差3 * f偏差4 * f52.5 2 105.0 -24.50 1200.50 -29412.25 720600.13 57.5 4 230.0 -19.50 1521.00 -29659.50 578360.25 62.5 10 625.0 -14.50 2102.50 -30486.25 442050.63 67.5 14 945.0 -9.50 1263.50 -12003.25 114030.88 72.5 20 1450.0 -4.50 405.00 -1822.50 8201.25 77.5 28 2170.0 0.50 7.00 3.50 1.75 82.5 26 2145.0 5.50 786.50 4325.75 23791.63 87.5 16 1400.0 10.50 1764.00 18522.00 194481.00 92.5 7 647.5 15.50 1681.75 26067.13 404040.44 97.5 3 292.5 20.50 1260.75 25845.38 529830.19 合计1301001011992.50 -28620 3015388i=1n|xi-x|算术平均数-x = 10010 / 130 = 77(分)平均差A.D = / n = 125 / 10 = 12.5(分)标准差 = (xi -x)2 * fi/ f)0.5 = (11992.50 / 130)0.5 = 9.6(分)方差2 = 11992.50 / 130 = 92.3学生成绩的矩偏度系数和矩峰度系数。矩偏度系数sk = S3 / 3 = (-28620 / 130) / 9.63 = -0.25矩峰度系数ku = S4 / 4 = (3015388 / 130) / 9.64 = 2.7310某运输公司对中兴汽车的驾驶速度和行驶英里数的观测数据如表所示：驾驶速度30504055302560255055行驶里程28252523303221352625要求计算：驾驶速度与行驶英里数之间的协方差；序号驾驶速度x行驶里程yx偏差y偏差x偏差2y偏差2x偏差 * y偏差13028-1211441-12250258-2644-1634025-2-24444552313-416916-5253030-1231449-3662532-17528925-857602118-632436-10882535-17828964-136950268-1641-810552513-21694-26合计420270-1660164-475由表中资料分别计算得：驾驶速度的算术平均数-x = x / n = 420 / 10 = 42行驶里程的算术平均数-y = y / n = 270 / 10 = 27则驾驶速度x与行驶里程y之间的协方差Sxy = 1/n * (xi -x) * (yi -y)= -475 / 10 = -47.5驾驶速度和行驶英里数之间的相关系数，并对计算结果进行简要说明。因为行驶速度的标准差x = (1660 / 10)0.5 = 12.88行驶里程的标准差y = (164 / 10)2 = 4.05相关系数xy = Sxy / (x * y) = -47.5 / (12.88 * 4.05) = -0.91计算结果表明，驾驶速度和行驶英里数的协方差和相关系统均为负值，说明二者是负相关的，同时相关系数-0.91比较接近-1，说明二者之间存在着高度的负相关关系。11表给出了上证指数和深证成指收盘价：日期上证指数深证成指1月4日3243.76 13533.54 1月8日3196.00 13267.44 1月13日3172.66 13016.56 1月19日3246.87 13350.67 1月25日3094.41 12470.19 2月1日2941.36 11989.11 2月9日2948.84 11970.44 2月25日3060.62 12494.27 3月2日3073.11 12548.91 3月10日3048.93 12391.65 3月17日3050.48 12233.77 3月24日3056.81 12290.04 3月30日3128.47 12593.04 计算：上证指数和深证成指的协方差；序号上证指数x深证成指y偏差x偏差y偏差x2偏差y2偏差x * 偏差y1 3243.76 13533.54 146.66 906.65 21508.70 822005.85 132967.22 2 3196.00 13267.44 98.90 640.55 9780.91 410298.39 63348.95 3 3172.66 13016.56 75.56 389.67 5709.08 151839.11 29442.52 4 3246.87 13350.67 149.77 723.78 22430.59 523850.81 108398.73 5 3094.41 12470.19 -2.69 -156.70 7.24 24556.34 421.78 6 2941.36 11989.11 -155.74 -637.78 24255.43 406769.22 99329.56 7 2948.84 11970.44 -148.26 -656.45 21981.48 430932.66 97326.97 8 3060.62 12494.27 -36.48 -132.62 1330.90 17589.29 4838.35 9 3073.11 12548.91 -23.99 -77.98 575.59 6081.60 1870.97 10 3048.93 12391.65 -48.17 -235.24 2320.50 55340.03 11332.10 11 3050.48 12233.77 -46.62 -393.12 2173.57 154546.96 18328.07 12 3056.81 12290.04 -40.29 -336.85 1623.41 113471.03 13572.39 13 3128.47 12593.04 31.37 -33.85 983.98 1146.13 -1061.97 合计40262.32 164149.63 -114681.39 3118427.42 580115.63 上证指数x的算术平均数-x = 40262.32 / 13 = 3097.10深证成指y的算术平均数-y = 164149.63 / 13 = 12626.89则上证指数x和深证成指y之间的协方差Sxy = 1/n * (xi -x) * (yi -y)= 580115.63 / 13 = 44624.28上证指数和深证成指的相关系数，并对计算结果进行解释。因为上证指数x的标准差x = (xi - -x)2 / n)0.5 = (114681.39/13)0.5 = 93.92深证成指y的标准差y = (yi - -y)2 / n)0.5 = (3118427.42/13)0.5 = 489.77则上证指数和深证成指之间的相关系数xy = Sxy / (x * y)= 44624.28 / (93.92 * 489.77) = 0.97计算结果表明，上证指数和深证成指的相关系数和协方差都是正值，说明二者是正相关的；同时相关系数0.97接近1，说明二者之间存在着高度的正相关关系。第2章 概率与概率分布思考与练习1什么是频率？什么是概率？二者之间的关系如何？频率是在随机试验中试验结果出现的次数；随机事件A发生的可能性大小的度量（数值），称为事件A发生的概率。关系：频率的稳定值与事件发生的可能性大小存在内在的必然联系。一方面频率的稳定性说明事件发生的可能性大小确实是一种客观存在，另一方面，频率的稳定值对事件发生的可能性大小提供了一种直观的解释。一个事件A发生的可能性的大小概率，在直观上表现为大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值，但频率的稳定值本身并不是概率的本质，不能作为概率的定义，一个事件的概率是由事件本身特征所决定的客观存在，就好比一根木棒有它的长度一样，频率的稳定值是概率的外在的必然表现，当进行大量重复试验时，频率会接近稳定值，因而，频率可用来作为概率的估计，就好比是测量概率的“尺子”，随着试验次数的增加，测量的精度会越来越高。2互斥事件和对立事件的区别是什么？互斥事件又称互不相容事件，即事件A与B不可能同时发生；对立事件是指事件A与B互为反面，它们不可能同时发生，但它们中必然会有一个发生，即A事件不发生时B必然发生。3什么是概率分布？概率分布如何表示？所谓随机变量的概率分布，就是随机变量的取值规律，通常用分布律（或分布密度）、分布函数来描述随机变量的分布。对于离散型随机变量的概率分布可以用表格的形式来表示，对于连续型随机变量的概率分布可以用概率分布密度曲线图形来表示。4指出与2对正态分布的密度的影响。f(x)关于直接x = 对称；在x = 处有拐点。 f(x)在x = 处有最大值1/(2)0.5，该位置处也是分布的中位数和众数。当x时，f(x) 0，即曲线y = f(x)以x轴为渐近线。当越大时，曲线越平缓；当越小时，曲线越陡峭。服从正态分布的随机变量的概率规律：为取与邻近的值的概率大，而取离越远的值的概率越小；越小，分布越集中在附近，越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于对称，在处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。5简述随机变量数学期望和方差的性质。数学期望的性质：设a为常数，则E(a)=a。设X为随机变量，a为常数，则E(a * X)=a * E(X)。设X、Y是两个随机变量，则E(X Y)=E(X) E(Y)。设X、Y是相互独立的随机变量，则E(X * Y)=E(X) * E(Y)。方差的性质：设c为常数，则D(c)=0。设X为随机变量，c为常数，则有D(c * X) = c2 * D(X)。设X、Y是两个相互独立的随机变量，则有D(X + Y) = D(X) + D(Y)。6指出下列各试验的样本空间：掷两个骰子，分别观察其出现的点数；=1,2,3,4,5,6观察一只股票某日的价格（收盘价）；= (1 - 0.1)P, (1 + 0.1)P，P为前一交易日收盘价。甲、乙两人下一局棋，观察棋赛的结果；=甲胜，已胜，和棋记录一个班级一次数学考试的平均成绩（以百分制记分）；=0,100一袋中装有10个同型号的零件，其中3个合格，7个不合格，每次从中随意取出一个，不合格便放回去，直到取到合格的零件为止，观察所抽取的次数。=1,2,3,7某工厂从6000件产品中，任取两件抽样检查，如果所取的两件都合格，则记为这6000件产品可以出厂。试问：如果这6000件中不合格品多达1000件，用这种方法检查，能出厂的概率是多少？能出厂的概率 = C(5000,2)/C(6000,2)=0.698某城市有40%的住户订日报，有50%的住户订晚报，至少有70%的住户订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。设A=订日报的用户，B=订晚报的用户，则有：P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(AB) 0.7订日报与订晚报可看作是任意两事件，因此，P(AB)= P(A) + P(B) - P(AB) 0.7P(AB) 0.4 + 0.5 - 0.7 = 0.29某城市发行A、B两种债券，市民拥有率为40%、26%，同时拥有A及B占30%。问至少拥有一种债券的概率是多少？设A=拥有债券A的市民，B=拥有债券B的市民，AB=至少拥有1种债券的市民，AB=同时拥有债券A和B的市民，则P(A)=0.4,P(B)=0.26,P(AB)=0.3A和B可看作任意两事件，则P(AB)= P(A) + P(B) - P(AB)=0.4 + 0.26 - 0.3 = 0.3610有奖储蓄每1000户设一等奖1个，二等奖10个（每100个连号中1个二等奖），三等奖100个（每10个连号中1个三等奖），鼓励奖500个。求此次有奖储蓄的中奖面（设一张券不同时兼有两种以上的奖）。中奖概率 = (1 + 10 + 100 + 500)/1000 = 61.1%11某企业向甲、乙两银行申请贷款，估计能从甲、乙两银行获得贷款的可能性为0.4与0.6，至少获得其中一家银行贷款的可能性为0.8。该企业能同时获得两家银行贷款的可能性是多少？设A=向甲银行成功申请贷款，B=向乙银行成功申请贷款，则P(A)=0.4,P(B)=0.6，P(AB)=0.8A和B可看作任意两事件，则P(AB) =P(A) + P(B) - P(AB)P(AB)=0.4 + 0.6 - 0.8 = 0.212在对200家公司的最新调查中，发现40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司同时从事这两项研究。假设从这200家公司中任选一家，定义事件A为该公司在研究广告效果，事件B为该公司在进行短期销售预测，试求P(A+B)及P(A|B)。P(A) = 0.4,P(B)=0.5,P(AB)=0.3P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.4 + 0.5 - 0.3 = 0.6P(A|B) = P(BA) / P(B) = 0.3 / 0.5 = 0.613某产品的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为0.05，第二道工序的废品率为0.02。假定两道工序废品是彼此无关的，求产品的合格率。设A=第一道工序合格，B=第二道工序合格，则P(A) = 1 - 0.05 = 0.95,P(B|A) = 1 - 0.02 = 0.98，则产品合格率P(AB) = P(A) * P(B|A) = 0.95 * 0.98 = 0.93114完成某项任务有两套方案，第一套方案的成功率为2/3，第二套方案的成功率为1/2，现在同时独立地施行这两套方案，其中有一套方案成功该任务就完成。求该任务完成的概率。方法一：设A = 第一套方案成功，B = 第二套方案成功，则P(A) = 2/3, P(B) = 1/2因为AB是相互独立的任务，则P(AB) = P(A) * P(B) = (2/3) * (1/2) = 1/3P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) = 2/3 + 1/2 - 1/3 = 5/6方法二：设任务完成为事件A，其对立事件B是任务没有完成，即两套方案同时都失败，P(B) = (1 - 2/3) * (1 1/2) = 1/6，由于A与B是对立事件，所以P(A) = 1 P(B) = 1 1/6 = 5/615某批发商供应100家商店，其中每一家商店是否订下一天货物是相互独立的，订下一天货物的概率为0.04。求：一天中订下一天货物的商店数的分布律；一天中恰有4家商店订货的概率。X01234100Pk1.69%7.03%14.50%19.73%19.94%0.00%一天中恰有4家商店订货的概率是PX=4 = C(100,4) * p4 * (1 - p)(100-4)= 3921225 * 0.044 * (1 - 0.04)96 = 19.94%16某会计事务所依据以往经验预计某公司的应收账款余额有1%是错误的，今抽取100笔账款进行核查。试问：抽查的账款中，没有错误的概率是多少？抽查的账款中，恰有2笔错误的概率是多少？抽查的账款中，至少有3笔错误的概率是多少？PX=0 = C(100,0) * (1 - 0.01)(100-0) * 0.010 = 0.99100 = 0.366PX=2 = C(100,2) * (1 - 0.01)(100-2) * 0.012 = 0.4950 * 0.9998 = 0.1849PX3 = 1 - PX3 = 1 - PX=0 - PX=1 - PX=2PX=1 = C(100,1) * (1 - 0.01)(100-1) * 0.01 = 0.9999 = 0.3697PX3 = 1 0.366 0.3697 0.1849 = 0.079417设XN（0,1），求：P1 x 2；Px2.35；P|x| 1.96；Px = 2.35； Px15。P1X2 = PX2 PX1 = (2) -(1) = 0.9772 - 0.8413 =0.1359PX2.35 = (2.35) = 0.9906P|X|1.96 = P-1.96 X 1.96 = PX1.96 - PX-1.96= PX1.96 (1 - PX 1.96)= 2 * (1.96) 1 = 2 * 0.9750 1 = 0.95 PX=2.35 = 0PX15 = 1 - PX15 = 1 - 1 = 018设XN（1.5,4），计算：P1 x 5.5；P3.5 x 5.5；P|x 3| 6.5。 PX3.5 = P(x-1.5)/2 5.5 = P(x-1.5)/2 (5.5-1.5)/2 = 1 - (2) = 1 - 0.9772 = 0.0228 P3.5 X 5.5= P(3.5-1.5)/2 (x-1.5)/2 (5.5-1.5)/2= (2) - (1) = 0.9772 - 0.8413 = 0.1359P|x-3|6.5 = P-6.5 x-3 6.5 = P-3.5 x 9.5= P(-3.5-1.5)/2 (x-1.5)/2 0f(x) = 0， 其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求PY1。 这是指数分布（连续型随机变量）题目，由概率密度函数可知，参数为1/5,将密度函数求积分，则概率分布函数为f(x)dx在（-，x）的定积分，F（x）= 1-e-x/5 x0,X取值为10时，F(10)为他等待时间少于10分钟的概率，则1-F（10）即为他离开的概率，Y取值可为0,1,2,3,4,5，Y服从二项分布B（Y；5，1-F（10），即可得出第一问。PY1.既是Y取1,2,3,4,5的概率之和了。1-e-x/5 概率分布函数F(x)= x01-e-2 e-2k X取值为10时，F(10) = 1-e-2 ，为他等待时间少于10分钟（即不离开）的概率，则1 - F（10）= e-2 ,即为他离开的概率，Y取值可为0,1,2,3,4,5，Y服从二项分布B（Y；5，1-F（10）PY=k = C(5,k) * * ( )(5-k)Y012345Pk48.33%37.82%11.84%1.85%0.15%0.00%PY 1 = 1 - PY 1 = 1 - 48.33% = 51.67%思路：Y是二项分布，要求其概率，因此要先求出指数函数的分布函数，才能根据条件求出不离开的概率。20设某只股票的收益服从正态分布，其平均收益率为10%，标准差也为10%。问投资者投资在此只股票保证不亏的概率有多大？收益在20%以上的可能性有多大？X服从N(0.1, 0.01)的正态分布PX0 = 1 - (0-0.1)/0.1) = 1 - (-1) = (1) = 0.8413PX0.2 = 1 - PX 15000 = 1 - PX15000 = 1 -(15000 - 10000)/ 2000) = 1 - (2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062 PX 5000 = (5000 - 10000)/ 2000) = (-2.5) = 1 - (2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062 P8000X12000 = PX12000- PX8000= (12000 - 10000)/ 2000) - (8000 - 10000)/2000)= (1) - (-1)= (1) - (1 - (1) = 2 * 0.8413 1 = 0.6826PXk = 1 - PX k = 1 - (k - 10000)/2000) 10%(k - 10000)/2000) 1 - 0.1 = 0.9查表得(1.29) = 0.9015，则(k - 10000)/20001.29k12580(元)22某产品的重量服从于均值为500克，标准差为10克的正态分布。求：重量在490510克之间的概率；重量小于490克的概率；重量大于510克的概率；重量在4985克之间的概率。P490X510 = PX510 - PX490 = (510-500)/10) - (490-500)/10)=(1) - (-1) = (1) - (1 - (1) = 2 * 0.8413 1 = 0.6826PX490 = (490-500)/10) = (-1) = 1 - (1) = 1 - 0.8413 = 0.1587 PX510 = 1 - PX510 = 1 - (510-500)/10) = 1 - (1) = 0.1587P498-5X498+5 = PX503 - PX493 = (503-500)/10) - (493-500)/10)= (0.3) - (-0.7) = (0.3) - (1 - (0.7) = (0.3) + (0.7) 1= 0.6179 + 0.7580 1 = 0.375923设某电子产品的电阻R是一个随机变量