初中几何100题--高难度版.pdf

初中竞赛几何必做 100 题 第一题： 初中竞赛几何必做 100 题 第一题： 已知：ABC外接于O，60BAC，BCAE ，ABCF ，AE、CF相交 于点H，点D为弧BC的中点，连接HD、AD. 求证：AHD为等腰三角形. H O B C A F E D 第二题：第二题： 如图，F为正方形ABCD边CD上一点， 连接AC、AF， 延长AF交AC的平行线DE于 点E，连接CE,且 AC=AE. 求证：CFCE . F A B C D E 第三题：第三题： 已知：ABC中，ACAB ，20BAC，30BDC. 求证：BCAD . A BC D 第四题：第四题： 已知：ABC中，D为AC边的中点，CA3，45ADB. 求证：BCAB . A B C D 第五题：第五题： 如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点E，50BAC，60ABD， 20CBD，30CAD，40ADB，求ACD. E A B C D 第六题：第六题： 已知，30ABC，60ADC，DCAD ，求证： 222 BDBCAB. A D C B 第七题：第七题： 如图，PC切O于C，AC为圆的直径，PEF为O的割线，AE、AF与直线PO相 交于B、D. 求证：四边形ABCD为平行四边形. D B E A O F C P 第八题：第八题： 已知：在ABC中，ACAB ，80A，10OBC，20OCA. 求证：OBAB . C A B O 第九题：第九题： 已知：正方形ABCD中，15ODAOAD，求证：OBC为正三角形. DA CB O 第十题：第十题： 已知：正方形ABCD中，E、F为AD、DC的中点，连接BE、AF，相交于点P，连 接PC. 求证：BCPC . P F E D A C B 第十一题：第十一题： 如图，ACB与ADE都是等腰直角三角形，90ACBADE，45CDF，DF 交BE于F，求证：90CFD. A E BC D F 第十二题：第十二题： 已知：ABC中，CABCBA2，CBA的角平分线BD与CAB的角平分线AD相 交于点D，且ADBC . 求证：60ACB. C B A D 第十三题：第十三题： 已知：在ABC中，BCAC ，100C，AD平分CAB. 求证：ABCDAD. C AB D 第十四题：第十四题： 已知：ABC中，BCAB ，D是AC的中点， 过D作BCDE 于E， 连接AE， 取DE 中点F，连接BF. 求证：BFAE . A B C E D F 第十五题：第十五题： 已知：ABC中，24A，30C，D为AC上一点，CDAB ，连接BD. 求证：ACBDBCAB. A B C D 第十六题：第十六题： 已知：ABCD与 1111 DCBA均为正方形， 2 A、 2 B、 2 C、 2 D分别为 1 AA、 1 BB、 1 CC、 1 DD 的中点. 求证： 2222 DCBA为正方形. D2 C2 B2 A2 B1 C1 B C A D A1 D1 第十七题：第十七题： 如图，在ABC三边上，向外做三角形ABR、BCP、CAQ，使45CAQCBP， 30ACQBCP，15BARABR. 求证：RQ与RP垂直且相等. C A B P Q R 第十八题：第十八题： 如图， 已知AD是O的直径，D是BC中点，AB、AC交O于点E、F，EM、FM 是O的切线，EM、FM相交于点M，连接DM. 求证：BCDM. M F E B D O C A 第十九题：第十九题： 如图， 三角形ABC内接于O， 两条高AD、BE交于点H， 连接AO、OH。 若2AH， 3BD，1CD，求三角形AOH面积. O E H D B C A 第二十题：第二十题： 如图，xDAC2，xACB4，xABC3，BCAD，求BAD. A BC D 第二十一题：第二十一题： 已知：在ABCRt中，90ABC，D为AC上一点，E是BD的中点，21. 求证：ABDADB2. 2 1 B A C D E 第二十二题：第二十二题： 已知正方形ABCD，P是CD上的一点，以AB为直径的圆O交PA、PB于E、F， 射线DE、CF交于点M. 求证：点M在O上. M E F O B C A D P 第二十三题：第二十三题： 已知，点D是ABC内一定点，且有30DBADCBDAC. 求证：ABC是正三角形. D A B C 第二十四题：第二十四题： 如图， 过正方形的顶点A的直线交BC、CD于M、N，DM与BN交于点L，BNBP， 交DM于点P. 求证： （1）MNCL； （2）BPMMON. O P L M A D B C N 第二十五题：第二十五题： 已知：在正方形ABCD中，E是CD上一点，AE交BD于点G，交BC的延长线于点F， 连接OF，交CD于点H，连接GH. 求证： （1）当且仅当E为CD中点时，AOGHOG； （2） 4 CHCF S HCF . G H F O BC AD E 第二十六题：第二十六题： 已知：ABCD与AEFG均为正方形，连接CF，取CF的中点M，连接DM、ME. 求证：MDE为等腰直角三角形. M E F C D B A G 第二十七题：第二十七题： 四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且ADAB ，OCAO。请你猜想 BOAB与ODBC的数量关系，并证明你的结论. C B A D O 第二十八题：第二十八题： 已知： 四边形ABDC中，58ACBABC，48CAD，30BCD， 求BDA 的度数. A B D C 第二十九题：第二十九题： 在ABC中，D是AB的中点，DCADAC2，30DCB，求B的度数. A B C D 第三十题：第三十题： 在四边形ABCD中，CDAD，BDAC，ACAB，求BEC的度数. E A BC D 第三十一题：第三十一题： 在ABCRt中，90ACB，60CAB，ABCD，M、N为直线AB上的两 点，且8NCBMCA，求EMD的度数. C M N D E BA 第三十二题：第三十二题： 如图，ABC中，ACBD于D，E为BD上一点，且38ABD，68CBD， 14BCE，8DCE，求DAE的度数. B AC D E 第三十三题：第三十三题： CD为O的直径，A、B为半圆上两点，DE为过点D的切线，AB交DE于E，连接 OE，交CB于M，交AC于N. 求证：OMON M N E D O C A B 第三十四题：第三十四题： 如图，四边形ABCD中，CDBC，21BCA，39CAD，78CDA，求 BAC的度数. A B C D 第三十五题：第三十五题： 如图，四边形ABCD中，CDAD，10BAC，50ABD，20ACD，求 CBD的度数. A B C D 第三十六题：第三十六题： 如图，CEBD，G、H为BC、DE中点，ACAB，FEFD ，DFEBAC. 求证：GHAF/ B D E C A F H G 第三十七题：第三十七题： 如图，在正方形ABCD中，有任意四点E、F、G、H，且4EF、3GH，四边形 EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积. A B C D G E H F 第三十八题：第三十八题： 已知，BC32，ABBC2，求A. C A B 第三十九题：第三十九题： 在ABC中，60ABC，D是BC边上一点，ABDC，21DAB，求C. A B C D 第四十题：第四十题： 在ABC中 ，ACAB，D为BC边 上 一 点 ，E为AD上 一 点 ， 且 满 足 BACCEDBDE2. 求证：CDBD2. A B C D E 第四十一题：第四十一题： 已知，FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、C的连线，点H是FC的中点， 连接EH、DH。 求证：DHEH 且DHEH . A BC D E F G H 第四十二题：第四十二题： 已知：10DABCAD，40CBD，20DBA，求证：70CDB A C B D 第四十三题：第四十三题： 如图，E、F分别是圆内接四边形ADBC的对角线AB、CD的中点， 若CEBDEB. 求证：BFDAFD O D B C A E F 第四十四题：第四十四题： 已知：ACAB，60ADB，30BCE. 求证：BEBA A BC D E 第四十五题：第四十五题： 已知：直角三角形ABC，A为直角，I为内心，BD、CE分别为两内角平分线。 IBC的面积为S。求四边形BCDE的面积. I A B C D E 第四十六题：第四十六题： DECDACAB，且BDBE ，求EBD的度数. A C D B E 第四十七题：第四十七题： 如图，ABCCDE，90ABCD，点B在CD上，AB、CE交于F，过B 作ACBG于G，交CE于H，连接AH并延长，交CD于I，设xAB，yBC 。 （yx ） 求： （1）AH的长（用x，y表示） ； （2） IC BC 的值. F H E D C A BI G 第四十八题：第四十八题： 在ABC中，BCAD，P是ABC外接圆O上一点，点P关于AB、AC的对称点为 点E、F，连接EF与AD交于点H，求证：H是ABC的垂心. H F E D O A B C P 第四十九题：第四十九题： 如图，点D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于点O，AEAD ，OBOC. 求证：ABAC （寻求直接证法） O A B C E D 第五十题：第五十题： 以任意四边形四条边为基础向外做正方形，连接相对两正方形的中心。求 证：这两条线段垂直且相等. N M P O J I L K B H F E A D G C 第五十一题：第五十一题： 如图，ABC为一普通三角形，求证：)( 222 PCPBAPBCPBACPCAB A BC P 第五十二题：第五十二题： ABC中 ，D、E分 别 在AC、AB上 ，BD、CE交 于P，AEAD ； 若 PCCDPBBE，求证：ACAB.（直接证明） P A BC E D 第五十三题：第五十三题： 如图，O、I分别为ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上， ACAB，求证：ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径. O I A BCD 第五十四题：第五十四题： 如图， 三角形BDC和三角形BEA都是等腰直角三角形，90BEABDC， 连接AC， 取AC中点F，连接EF、DF、DE，证明三角形DEF是等腰直角三角形. F C D B E A 第五十五题：第五十五题： ABC中，CBCA，D、E分别在CA、CB上，并且CDCE，过C、D作AE的 垂线分别交AB于G、H，若90ACB,求证：GHBG. H G E B C A D 第五十六题：第五十六题： P是ABC内一点，PCAPBA，D是BC中点，过点P分别作BAC内外角平分 线的垂线，垂足为E、F，求证：D、E、F三点共线. F E D A B C P 第五十七题：第五十七题： 已知，ABC，90BCA，过C作AB的垂线，垂足为D点，设X是线段CD内部的 一个点，K在线段AX上，满足BCBK；类似地，L在线段BX上，满足ACAL。 令M为AL与BK的交点，证明：MLMK M C A B D X K L 第五十八题：第五十八题： 100A，DC平分C，20CAE，求CDE A BC E D 第五十九题：第五十九题： 四边形ABCD内接于圆，其边AB、DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点 Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E、F，求证：P、E、F三点共线. F E Q P O D A B C 第六十题：第六十题： 在锐角ABC中，AC、BC切内接圆于点E、D，在AC、BC上取点Q、P，使得 AECQ 、BDCP，BQ交AP于点M，把AP与圆的交点离A近的记作点N. 求证：ANPM N M A B C D E P Q 第六十一题：第六十一题： 在ABC中，D是AB的中点，DCADAC2，30DCB，求B的度数. B AC D 第六十二题：第六十二题： 如图，MN为ABC边BC的中垂线，MN交ABC的外接圆于M、N，交BC于D， 过D做AN的平行线，P为该平行线上一点，过P作直线与PM垂直交ABC于E、F. 求证：PFPE E F N M D A B C P 第六十三题：第六十三题： 四边形ABCD是正方形，CE=EF，90CEF， 连接AF，G是AF中点， 连接GD、 GE。求证：GEGD且GEGD. G F CD BA E 第六十四题：第六十四题： 设点I 、H 分别为锐角ABC的内心和垂心，点 1 B、 1 C为两边中点，射线IB1交 边 AB 于点 2 B（BB 2 ） ， 射线IC1交AC的延长线于点 2 C， 22C B与BC相交于K ， 1 A为BHC的外心. 求证： A、I 、 1 A三点共线的充要条件是 2 BKB和 2 CKC面积相等. H K C2 B2 C1 B1 I A1 A BC 第六十五题：第六十五题： 如图，ABC的内切圆I切AB、BC、AC于点D、E、F，直线EF与AI、BI、DI 交于点M、N、K. 求证：KFDNKEDM N M K B I C F E A D 第六十六题：第六十六题： 四边形ABCD内接于O，两对角线交于H两组对边分别相交于P、Q. 求证：H为OPQ的垂心 H Q P O A B D C 第六十七题：第六十七题： ACAB ，80BAC，20PBC，40PCB，求APB的大小. P B A C 第六十八题：第六十八题： 过圆外一点A作圆的切线AC、AD， 再作割线AEF， 分别经E、F作圆的切线相交于B， 求证：B、C、D三点共线. E O A D C F B 第六十九题：第六十九题： 两个半径不等的圆满 1 K、 2 K交于A、B两点，C、D为 1 K、 2 K上两点且ADAC， CB交 2 K于F，DB交 1 K于E，CD、EF的中垂线交于P. 求证：CA、PA、EP构成直角三角形. B A K1 K2 P C D F E 第七十题：第七十题： 如图，ABC中，60BAC，ACAB2，点PABC内，且3PA，5PB， 2PC，求ABC的面积. B C A P 第七十一题：第七十一题： 若ABC为等边三角形，O为其内接圆，D为O上一点， 证明或否证： 222 CDBDAD 为定值. O A C B D 第七十二题：第七十二题： ABC的内切圆I切BC于D，M是高AH的中点，DM交圆于R，求证：DR平分 BRC. M I A B C HD R 第七十三题：第七十三题： 如图，正三角形ABC，以A为顶点向外作两个正三角形ADE和AGF，连接EF、DB、 CG，取EF、DB、CG中点M、K、N连接. 求证：三角形KNM为正三角形. N K M D F A BC G E 第七十四题：第七十四题： 如图，F为三角形ABC内一点，AFCAFB，G是AF上的点，直线BG、CG分 别交AC、AB于D、E，求证：DFAEFA. G A B C F D E 第七十五题：第七十五题： 如图，如图，ABC中，分别在中，分别在AB、AC上取点上取点D、E，使得，使得CEBD ，连接，连接BE、CD相交于点相交于点P，点，点M 是是BC的中点，的中点，BAC的平分线的平分线AQ与与PM相交于点相交于点Q，DQ与与BE交于点交于点K，EQ与与CD交于点交于点T. 求证： （求证： （1）四边形）四边形BPCQ是平行四边形是平行四边形 （2） CD BE CT BK （3） CTQACTBKQABK SSSS （4） AC AB S S CTQ BKQ M T K P A B C Q E D 第七十六题：第七十六题： 如图，平行四边形ABCD，E、F、H分别为BC、AD、BD中点，G为DC上任一 点，GE、DB延长线交于J点，连接JF，取JF上的点I，使得ADIH/，连接IE， 求证：FGIE/. E J D A C B F G I H 第七十七题：第七十七题： 如图， 四边形ABCD是圆满内接四边形， 对角线BDAC ，E是AB、 DC 交点，F是AD、 BC交点，L、M是AC、BD的中点，连接LM和EF 求证：)( 2 1 AC BD BD AC EF LM C D B O F E A L M 第七十八题：第七十八题： 如图，四边形ABCD各边都相等，60ABC，FD与BA延长线交于E点， 延长BC至 F，连接FA、CE，交点为M，连接CA 求证：CECMCA 2 M BE F A CD 第七十九题：第七十九题： 如图， 三角形ABC，D为BC上的点， 过B作AEBE ， 交AD延长线于E， 作ADCF 交AD于F，G为BC中点，连接FG与GE. 求证：GEFG . D A C B E F G 第八十题：第八十题： 三角形ABC，O重心，过O作任一直线交AB、AC于X、Y，求证：OXOY2. O B C A X Y 第八十一题：第八十一题： 如图，三角形ABC，以AB、AC为底边向外作等腰ABD和ACE，BDAD ， CEAE ，EACDAB，F、G、H、I、J分别为AD、AE、EC、BD、BC 中点，连接FH、IG、AJ，求证：FH、IG、AJ三线共点. G H I F J B C A D E 第八十二题：第八十二题： 如图，A为圆外一点，AB、AC为圆两条切线，切点为B、C，ADE为圆任意一条割 线，交圆于D、E，在圆上取一点F，连接BF使得DEBF/，连接CF交DE于G.求 证：G为DE中点. G D O E A B C F 第八十三题：第八十三题： 如图，以任意ABC三边分别向内侧作三个正三角形BCD、ABE、ACF，连接AD 并延长与CE相交于G，求证：F、B、G三点共线. B C A D F E G 第八十四题：第八十四题： 如图，AC、BD为圆内两条不平行的弦，分别延长后相交于点S，另过A、B分别作圆 的两条切线PA、PB，相交于P，连接BC、AD，交点为Q，求证：P、Q、S三点共 线. Q D C O S P A B 第八十五题：第八十五题： P是是圆O外一点，过P点作圆O的两条切线PA、PB，切点为A、B，M为弦AB中 点，C为圆O上优弧AB上的任一点，连接CM、CP. 求证：BCMACP. M O P C AB 第八十六题：第八十六题： 已知，H是ABC垂心，ACBD ，O是ABH外心，点M是AH中点，CM、OD 交于G，过C作GHCE/，交AH延长线于E. 求证：DEOD . G M H A B C E O D 第八十七题：第八十七题： 已知，锐角ABC的外接圆为O，AD是直径，过点B、C作BC垂线交直线CA、BA 于点E、F. 求证：ADFBED. D O A B C E F 第八十八题：第八十八题： 设A、B、C、D是圆上四点，点P满足条件BPDAPC，AC与BD交于点E， PAB与PCD交于P、F两点，求证：FPDAPE. F E A B C D P 第八十九题：第八十九题： 如图，AB为O的任意一条弦，E、F为AB三等分点，P为劣弧AB上一点， 延长PE、 PF分别交O于C、D. 证明；EFCDBDAC. D C O AB E F P 第九十题：第九十题： 如图，PB、PC交矩形ABCD的对角线于E、F，DE与AF交于点Q. 求证：BCPQ . Q F E A BC D P 第九十一题：第九十一题： 已知，点D、E、F分别是BC、AC、AB上三点，AEF、CED、BDF垂心分别 是G、H、I. 求证： GIHDEF SS . A B C G I H D F E 第九十二题：第九十二题： 如图， 在ABC中，ACAB ， 内切圆I与边BC切于点D，AD交内切圆I于另一点E， 圆I的切线EP交BC的延长线于点P，PECF/，交AD于点F，直线BF交圆I于点 M、N. 证明：ENQENP. Q M E A B C I D P F N 第九十三题：第九十三题： 已知，90BAC，BCAH 于点H，点J、I、S分别是ABH、ACH、ABC 的旁心，S在BC上