经济数学基础课后答案概率统计第三分册.doc

93习题一1.写出下列事件的样本空间：(1) 把一枚硬币抛掷一次；(2) 把一枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M).解(1) =正面，反面正，反(2) =(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)(3) =(正)，(反，正)，(反，反，正)，(4) =x；0 x m2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A“偶数点”，B“奇数点”，C“点数小于5”，D“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解A与B为对立事件，即B；B与D互不相容；AD，CD.3. 事件Ai表示某个生产单位第i车间完成生产任务，i1，2，3，B表示至少有两个车间完成生产任务，C表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件及BC的含义，并且用Ai(i1，2，3)表示出来.解表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. BC表示三个车间都完成生产任务 图114. 如图11，事件A、B、C都相容，即ABC，把事件AB，ABC，ACB，CAB用一些互不相容事件的和表示出来.解 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A与D是对立事件，C与D是互不相容事件.6.三个事件A、B、C的积是不可能事件，即ABC，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解不一定. A、B、C三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图12，事件ABC，但是A与B相容.图127. 事件A与B相容，记CAB，DA+B，FAB. 说明事件A、C、D、F的关系.解 由于ABAA+B，ABAA+B，AB与AB互不相容，且AAB(AB). 因此有AC+F，C与F互不相容，DAF，AC.8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件A表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A的样本点数目A.而组成试验的样本点总数为，由古典概率公式有P(A)(其中A，分别表示有利于A的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件B表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件的样本点数为.10. 抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.解设事件A表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即8，因此 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A表示“门锁能被打开”. 则事件发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.从9题11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.12. 一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花色各异；(2)四张中只有两种花色.解设事件A表示“四张花色各异”；B表示“四张中只有两种花色”.13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.解设事件A表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A“三次都是红球” “全红”，B“全白”，C“全黑”，D“无红”，E“无白”，F“无黑”，G“三次颜色全相同”，H“颜色全不相同”，I“颜色不全相同”.解3327，ABC1，DEF238，GABC3，H3！6，IG2415. 一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.解设事件A表示“有4个人的生日在同一个月份”.126，A16. 事件A与B互不相容，计算P.解由于A与B互不相容，有AB，P(AB)017. 设事件BA，求证P(B)P(A）.证BAP(B-A)P(B) - P(A)P(B-A)0P(B)P(A)18. 已知P(A)a，P(B)b，ab0 (b0.3a)，P(AB)0.7a，求P(B+A)，P(B-A)，P().解由于AB与AB互不相容，且A(A-B)AB，因此有P(AB)P(A)-P(A-B)0.3aP(AB)P(A)P(B)P(AB)0.7abP(B-A)P(B)-P(AB)b-0.3aP()1-P(AB)1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.解设事件A表示“取到废品”，则表示没有取到废品，有利于事件的样本点数目为，因此P(A)1-P()1-0.225520. 已知事件BA，P(A)lnb 0，P(B)lna，求a的取值范围.解因BA，故P(B)P(A)，即lnalnb,ab，又因P(A)0，P(B)1，可得b1，ae，综上分析a的取值范围是：1bae21. 设事件A与B的概率都大于0，比较概率P(A)，P(AB)，P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A，B，均有ABAA+B且P(A+B)P(A)P(B)-P(AB)，P(AB)0，因此有P(AB)P(A)P(A+B)P(A)P(B)22. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解设事件A表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A的样本点数目为A364100，而样本空间中样本点总数为365100，所求概率为 = 0.239923. 从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件A表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.24. 某单位有92的职工订阅报纸，93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率：(1)该职工至少订阅一种报纸或期刊；(2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A表示“任找的一名职工订阅报纸”，B表示“订阅杂志”，依题意P(A)0.92，P(B)0.93，P(B)0.85P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P(B)0.920.080.850.988P(A)P(AB)-P(B)0.9880.930.05825. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A表示数学成绩优秀，B表示外语成绩优秀，若P(A)P(B)0.4，P(AB)0.28，求P(AB)，P(BA)，P(AB).解P(AB)P(BA)P(AB)P(A)P(B)-P(AB)0.5226. 设A、B是两个随机事件. 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)P()1. 求证P(AB)P(A)P(B).证 P ( A)P ()1且P ( AB )P()1P ( AB )P (A)P(AB)1-P(B)P( B)P( A)-P( AB)整理可得P(AB)P( A) P( B)27. 设A与B独立，P( A)0.4，P( AB)0.7，求概率P (B).解P( AB)P(A)P(B)P( A)P() P( B)0.70.40.6P( B )P( B )0.528. 设事件A与B的概率都大于0，如果A与B独立，问它们是否互不相容，为什么?解因P ( A )，P ( B )均大于0，又因A与B独立，因此P ( AB )P ( A ) P ( B )0，故A与B不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.解设事件Ai表示“使用1000小时后第i个元件没有坏”，i1，2，3，显然A1，A2，A3相互独立，事件A表示“三个元件中最多只坏了一个”，则AA1A2A3A2A3A1A3A1A2，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P(A1)P(A2)P(A3)0.8P( A)0.8330.820.20.89630. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解设事件A表示“任取一个零件为合格品”，依题意A表示三道工序都合格.P(A)(10.3)(10.2)(10.2)0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m为任何正整数).解设事件Ai表示“第i次能打通”，i1，2，m，则P(A1)(10.4)(10.3)0.42P(A2)0.58 0.420.2436P(Am)0.58m1 0.4232. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设Ai表示“第i人拿到自己眼镜”，i1,2,3,4. P ( Ai )，设事件B表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且A1A2A3A4.P()P(A1A2A3A4)P(AiAj)P(Ai)P(AjAi)=P(AiAjAk)=P(Ai)P(AjAi)P(AkAiAj)=（1ijk4）P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4A1A2A3)=33. 在1，2，3000这3000个数中任取一个数，设Am“该数可以被m整除”，m2，3，求概率P(A2A3)，P(A2A3)，P(A2A3).解依题意P(A2)，P(A3)P(A2A3)P(A6)P(A2A3)P(A2)P(A3)P(A2A3)P(A2A3)P(A2)P(A2A3)34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1)只有一人投中；(2)最多有一人投中；(3)最少有一人投中.解设事件A、B、C分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A、B、C相互独立.设Ai表示“三人中有i人投中”，i0,1,2,3,依题意， 0.20.30.40.024P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.80.70.60.336P(A2)=P(AB)P(AC)P(BC)=0.80.70.40.80.30.60.20.70.60.452(1) P(A1)1P(A0)P(A2)P(A3)10.0240.4520.3360.188(2) P(A0A1)P(A0)P(A1)0.0240.1880.212(3) P(ABC)P()1P (A0)0.97635. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?解设事件A2n-1B2n分别表示“甲在第2n1次投中”与“乙在第2n次投中”，显然A1，B2，A3，B4，相互独立.设事件A表示“甲先投中”. 计算得知P(A)0.5，P()0.5，因此甲先投中的概率较大.36. 某高校新生中，北京考生占30，京外其他各地考生占70，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80，而京外学生以英语为第一外语的占95，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件A表示“任选一名学生为北京考生”，B表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P(A)0.3，P()0.7，P(BA)0.8，P(B)0.95. 由全概率公式有P(B)P(A)P(BA)P()P(B)0.30.80.70.950.90537. A地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4，2，5，求A地的甲种疾病的发病率.解设事件A1，A2，A3分别表示从A地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A1，A2，A3两两互不相容，其和为.设事件B表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：P(A1)0.45，P(A2)0.35，P(A3)0.2，P(BA1)0.004，P(BA2)0.002，P(BA3)0.005 0.45 0.004 + 0.35 0.002 + 0.2 0.0050.003538. 一个机床有三分之一的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3，加工零件B时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A表示“机床加工零件A”，则表示“机床加工零件B”，设事件B表示“机床停工”. 39. 有编号为、的3个口袋，其中号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，号袋内装有两个1号球和1个3号球，号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?解设事件Ai表示“第一次取到i号球”，Bi表示第二次取到i号球，i1，2，3.依题意，A1，A2，A3构成一个完全事件组.应用全概率公式可以依次计算出. 因此第二次取到1号球的概率最大.40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解设事件A表示“受检人患有甲种疾病”，B表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可知P(A)0.0035，应用贝叶斯公式 41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94，90，95，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解设事件A1，A2，A3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B表示“废品”，应用贝叶斯公式有42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5，15，30，50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100，70，60与90，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解设事件A1，A2，A3，A4分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B表示“外出人如期到达”. =0.20943. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自号袋的概率.解39题计算知P(B1)，应用贝叶斯公式44. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解设事件Ai表示一箱中有i件次品，i0, 1, 2. B表示“抽取的10件中无次品”，先计算P ( B )45. 设一条昆虫生产n个卵的概率为 n=0, 1, 2, 其中0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p(0p1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k条虫的概率是多少?解设事件An“一个虫产下几个卵”，n0，1，2.BR“该虫下一代有k条虫”，k0，1，.依题意其中q=1p. 应用全概率公式有 由于，所以有习题二1. 已知随机变量X服从01分布，并且PX00.2，求X的概率分布.解X只取0与1两个值，PX0PX0PX00.2，PX11PX00.8.2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布.解X可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知依次计算得X的概率分布如下表所示：X012P3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X件，求随机变量X的概率分布.解X的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有4. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X的概率分布.解X可以取1, 2, 可列个值. 且事件X = n表示抽取n次，前n1次均未取到优质品且第n次取到优质品，其概率为. 因此X的概率分布为5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数X；(2)取到的旧球个数Y.解(1)X可以取1,2,3,4各值.(2) Y可以取0, 1, 2, 3各值 .6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X的概率分布.解X可以取0, 1, 2, 3各值.7. 已知PXnpn，n1, 2, 3, , 求p的值.解根据,有解上面关于p的方程，得p0.5.8. 已知PXn=pn， n2, 4, 6, ，求p的值.解解方程，得p=/29. 已知PXn=cn, n=1, 2, , 100, 求c的值.解解得 c1/5050 .10. 如果pncn2，n=1, 2, , 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么?解 由于级数收敛, 若记=a,只要取, 则有=1, 且pn0. 所以它可以是一个离散型概率分布.11. 随机变量X只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X的概率分布.解设PX2a，PX1ad, PX=3=a+d. 由概率函数的和为1，可知a=, 但是ad与a+d均需大于零, 因此d, X的概率分布为X123Pd+d其中d应满足条件：0d12. 已知,m =1, 2, , 且0, 求常数c.解由于, 所以有解得 13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求：(1)二人投篮总次数Z的概率分布；(2)甲投篮次数X的概率分布；(3)乙投篮次数Y的概率分布.解设事件Ai表示在第i次投篮中甲投中，j表示在第j次投篮中乙投中，i=1, 3, 5, , j=2, 4, 6,且A1, B2, A3, B4，相互独立.(1) (0.60.5)0.4= 0.4(0.3) k=1, 2, 0.50.6(0.60.5)=0.3k k=1, 2, (2) (3) 14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X的概率分布(不计其他因素停车).解X可以取0,1,2,3,4.PX00.4PX10.60.40.24PX20.620.40.144PX30.630.40.0864PX40.640.129615.问f(x)是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1)解 在0,与0,上，sinx0,但是而在上,sinx0.因此只有(1)中的a,b可以使f (x)是一个概率密度函数.16.其中c0，问f(x)是否为密度函数，为什么?解易见对任何x(,),f(x)0，又f(x)是一个密度函数.17.问f(x)是否为密度函数，若是，确定a的值；若不是，说明理由.解如果f(x)是密度函数，则f(x)0，因此a0，但是，当a0时，由于不是1，因此f(x)不是密度函数.18. 设随机变量Xf(x)确定常数a的值，如果Paxb0.5，求b的值.解解方程=1得a= 0解关于b的方程：arctanb=0.5得b=1.19. 某种电子元件的寿命X是随机变量，概率密度为3个这种元件串联在一个线路中，计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.解串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A表示“线路正常工作”，则20. 设随机变量Xf(x)，f(x)Ae|x|，确定系数A；计算P|X|1.解解得A21. 设随机变量Y服从0,5上的均匀分布，求关于x的二次方程4x24xY+Y+2=0有实数根的概率.解4x2+4xY+Y+2=0. 有实根的充分必要条件是b24ac=16Y216(Y+2)=16Y216Y320设事件P(A)为所求概率.则 =0.622. 设随机变量Xf(x)，确定常数c，计算解c=23. 设随机变量X的分布函数F(x)为确定系数A，计算，求概率密度f(x).解连续型随机变量X的分布函数是连续函数，F(1)F(10)，有A1.24. 求第20题中X的分布函数F(x).解当t0时，当t0时，25. 函数(1+x2)1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么?解不能是分布函数，因F()10.26. 随机变量Xf(x)，并且,确定a的值；求分布函数F(x)；计算.解因此a=1 27. 随机变量X的分布函数F(x)为：确定常数A的值，计算.解由F(20)F(2)，可得0.7528. 随机变量Xf(x)，f(x)确定A的值；求分布函数F(x).解因此A，29. 随机变量Xf(x)，其他确定a的值并求分布函数F(x).解因此，a=当0x时，30. 随机变量X的分布函数为求X的概率密度并计算.解当x0时，X的概率密度f(x)0；当x0时，f(x)F(x) 31. 随机变量X服从参数为0.7的01分布，求X2，X22X的概率分布.解X2仍服从01分布，且PX20PX00.3，PX21PX10.7X22X的取值为1与0,PX22X0PX00.3PX22X11PX00.732. 已知PX10nPX10-nY=lgX，求Y的概率分布.解Y的取值为1,2,PY=n=PlgX=n=PX=10n=PY=n=PlgX=n=Px=10-nn1,2,33. X服从a , b上的均匀分布，Y=ax+b (a0)，求证Y也服从均匀分布.证设Y的概率密度为fY(y)，X的概率密度为fX(x)，只要a0，y=ax+b 都是x的单调函数. 当a0时，Y的取值为a2+b , ab+b,当时，fY(y)=0.类似地，若a0，则Y的取值为ab+b,a2+b因此，无论a0还是a0，ax+b均服从均匀分布.34. 随机变量X服从0,上的均匀分布Y=cosX,求Y的概率密度fY(y).解y=cosx在0, 上单调，在(0,1)上，h(y)=x=arccosyh(y)=, fx(x)=, 0x.因此35. 随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，Y=ex,Z=lnX，分别求随机变量Y与Z的概率密度fY(y)及fZ(z).解y=ex在(0,1)内单调,x=lny可导，且xy=,fX(x)=10x1,因此有在(0,1)内lnx0lnx=-lnx单调，且x=e，xze，因此有36. 随机变量Xf(x)，Y=,Z=X2,分别计算随机变量Y与Z的概率密度fy(y)与fZ(z).解当x0时，y=单调，其反函数为x=y2,xy=2y当x0时zx2也是单调函数，其反函数为x=,xz=37.随机变量Xf(x)，当x0时,Y=arctanX,Z=,分别计算随机变量Y与Z的概率密度fY(y)与fz(z).解由于y=arctanx是单调函数，其反函数x=tany,xy=sec2y在内恒不为零，因此，当0y时，即Y服从区间(0,)上的均匀分布.z=在x0时也是x的单调函数，其反函数x=,xz=.因此当z0时，即Z=与X同分布.38. 一个质点在半径为R，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动.求该质点横坐标X的密度函数fX(x).解如图，设质点在圆周位置为M，弧的长记为L，显然L是一个连续型随机变量，L服从0，R上的均匀分布.图2-1M点的横坐标X也是一个随机变量，它是弧长L的函数，且XRcosRcos函数x=Rcosl/R是l的单调函数(0lR),其反函数为lRarccos当RxR时，Lx0，此时有当xR或xR时，fX(x)0.39. 计算第2,3,5,6,11各题中的随机变量的期望.解根据第2题中所求出的X概率分布，有亦可从X服从超几何分布，直接计算在第3题中亦可从X服从二项分布(2，)，直接用期望公式计算：在第5题中(1) (2) 在第6题中，在第11题中， 40. PX=n=,n=1,2,3,4,5,确定C的值并计算EX.解41. 随机变量X只取1,0,1三个值，且相应概率的比为1 : 2 : 3，计算EX.解设PX1a，则PX02a, PX13a(a0)，因a+2a+3a=1,故a1/642. 随机变量X服从参数为0.8的01分布，通过计算说明EX2是否等于(EX)2?解EXPX10.8，(EX)20.64EX210.80.8(EX)243. 随机变量Xf(x)，f(x)0.5e-|x|，计算EXn，n为正整数.解当n为奇数时，是奇函数，且积分收敛，因此当n为偶数时， 44. 随机变量Xf(x)，其他计算EXn(n为正整数).解45. 随机变量Xf(x)，其他b,c均大于0，问EX可否等于1，为什么?解而由于方程组无解，因此EX不能等于1.46. 计算第6，40各题中X的方差DX .解在第6题中，从第39题计算知EX，DXEX2(EX)20.46在第40题中，已计算出EX, =DX=EX2-(EX)21.7747. 计算第23，29各题中随机变量的期望和方差.解在第23题中，由于f(x)（0x1）,因此DX=EX2(EX)2=在第29题中，由于f(x) (0x),因此DXEX2(EX)2=48. 计算第34题中随机变量Y的期望和方差.解EY=EY2=DY=49. 已知随机变量X的分布函数F(x)为：F(x)=计算EX与DX.解依题意，X的密度函数f(x)为：解EXEX2=DX=50. 已知随机变量X的期望EX，方差DX2，随机变量Y=, 求EY和DY.解EY=(EX)0DY= =151. 随机变量YnB(n,),分别就n=1,2,4,8,列出Yn的概率分布表，并画出概率函数图.解Y101Y2012PPY30123PY401234PY8012345678P6561a17496a20412a13608a5670a1512a252a24aa其中a=1/65536.图略.52. 设每次试验的成功率为0.8，重复试验4次，失败次数记为X，求X的概率分布.解X可以取值0,1, 2, 3, 4 .相应概率为P(Xm) (m=0, 1, 2, 3,4)计算结果列于下表X01234P0.40960.40960.15360.02560.001653. 设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率；至少命中3次的概率.解记X为10次投篮中命中的次数，则 XB(10,0.7). =10.310100.70.39450.720.380.998454掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解掷四颗骰子，记“6点”出现次数为X，则XB（4，）.EX=np=由于np+p=，其X的最可能值为np+p=0若计算，显然概率更小.55已知随机变量XB（n,p），并且EX=3，DX=2，写出X的全部可能取值，并计算.解根据二项分布的期望与方差公式，有解方程，得q=，p=，n=9.X的全部可能取值为0, 1, 2, 3, , 9 .=10.999956随机变量XB（n，p），EX=0.8，EX2=1.28，问X取什么值的概率最大，其概率值为何?解由于DX=EX2(EX)2=0.64, EX=0.8, 即解得q=0.8，p=0.2，n=4.由于np+p=1，因此X取0与取1的概率最大，其概率值为57随机变量XB（n,p），Y=eaX，计算随机变量Y的期望EY和方差DY.解随机变量Y是X的函数，由于X是离散型随机变量，因此Y也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有58. 从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X，Y分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X，Y的概率分布以及期望和方差.解X服从超几何分布，Y服从二项分布B（4，）.具体计算结果列于下面两个表中.X01234P46/833208/833325/833208/83346/833Y01234P1/164/166/164/161/1659. 随机变量X服从参数为2的泊松分布，查表写出概率并与上题中的概率分布进行比较.01234P0.13530.27070.27070.18040.090260从废品率是0.001的100000件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不超过0.01的概率.解 设500件中废品件数为X，它是一个随机变量且X服从N=100000，=100，n=500的超几何分布.由于n相对于N较小，因此它可以用二项分布B（500，0.001）近似.又因在二项分布B（500，0.001）中，n=500比较大，而p=0.001非常小，因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数=np=0.5.61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求：（1）产品的废品率；（2）产品价值的平均值解 设X为一件产品表面上的疵点数目，（1）（2）设一件产品的产值为Y元，它可以取值为0，8，10.62设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解 设一页书上印刷错误为X，4页中没有印刷错误的页数为Y，依题意，即 解得=2，即X服从=2的泊松分布.显然YB63每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率.解 设X为粮仓内老鼠数目，依题意解得=1.64上题中条件不变，求10个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.解 接上题，设10个粮仓中有老鼠的粮仓数目为Y，则YB（10，p），其中 65设随机变量X服从上的均匀分布，计算E(2X)，D（2X），.解 EX=2.5，DX=E(2X)=5，D(2X)=4DX=，66随机变量X服从标准正态分布，求概率P.解 67随机变量X服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的a的数值：（1）；（2）（3）（4） 解（1），查表得a=1.28（2），得（a）=0.95，查表得a=1.64（3），查表得a =2（4），得 (a)= 0.55，查表得a = 0.1368. 随机变量X服从正态分布，求概率,.解 P=0.682669随机变量X服从正态分布，若,，计算和的值，求.解 查表得： 解以和为未知量的方程组，得 =5.08，=2.=0.322870已知随机变量，确定c和d的值.解 = ，查表得 查表得 71假定随机变量X服从正态分布，确定下列各概率等式中a的数值：（1）（2）（3）解 =2(a) -1（1）2 (a)-1=0.9， (a)=0.95，a=1.64；（2）2 (a)-1=0.95， (a)=0.975,a=1.96；（3）2 (a)-1=0.99， (a)=0.995，a=2.58.72某科统考的考试成绩X近似服从正态分布, 第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分?解 设参加统考人数为n，则=0.8413，n=设第20名成绩约为a分，则查表得 a=79.6因此第20名的成绩约为80分.习 题 三1袋内有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从中任取一张，不放回地抽取两次，记X、Y分别表示两次取到的卡片上数字的最小值与最大值，求（X，Y）的概率分布.解 （X，Y）可以取值为（1，2），（1，3），(3，4).事件是两个互不相容事件“第一次取到数字1且第二次取到数字2”与“第一次取到数字2且第二次取到数字1”的和，其概率为1/6，类似地可以计算出其他pij的值（见下表）.X Y234pi.120300p.j2求上题中随机变量X与Y的边缘分布.并计算期望EX，EY与方差DX，DY.解 在（X，Y）的联合分布表中，将每一行对各列求和，得到X的边缘分布pi.（i=1，2，3）.类似地，可以得到关于Y的边缘分布，其具体结果见上题联合分布表.EX=3一个袋内有10个球，其中有红球4个，白球5个，黑球1个，不放回地抽取两次，每次一个，记X表示两次中取到的红球数目，Y表示取到的白球数目，求随机向量（X，Y）的概率分布及X、Y的边缘概率分布.解 显然（X，Y）的全部取值为（0，1），（0，2），（2，0）.类似地可以计算出其他pij的值（见下表）：XY01200102004上题中试验条件不变，若记i=1，2，求随机向量的概率分布，计算两次取到的球颜色相同的概率.解 易见的全部可能取值为（0，0），（0，1），（2，1）. 应用乘法公式不难计算出pij的全部值（见下表）：X2X101201205第3题中袋内球的组成及抽取次数不变，但是改为有放回抽取，求第4题中定义的随机向量的概率分布.解的取值为(0，0)，(0，1)， (2，2)且，因此，的联合概率分布为下表所示：X2X101200.160.20 0.0410.200.250.0520.040.050.016将3个球随机地放入四个盒子，记表示第i个盒子内球的个数，i=1，2，求随机变量与的联合概率分布及关于的边缘分布.解 取值为（0，0），（0，1），（3，0） 列成联合分布表如下，表中最下一列为X2的边缘分布p.j，j=0，1，2，3.X2X10