工程力学课后习题答案第10章题解g.pdf

第第 10 章章 弯曲变形弯曲变形 思考题思考题 10-1 梁的截面位移和变形有何区别？有何联系？图示两梁的弯曲刚度相同，则两梁的 挠曲线曲率是否相同，挠曲线形状是否相同，为什么？ 思考题 10-1 图 答答（1）梁的截面位移是指截面位置改变（可以是平移或转动） ；梁的截面变形是形状和 大小改变。 （2）两梁的挠曲线曲率相同，因为弯矩方程相同；挠曲线形状不相同，因为边界条件 不同。 10-2 工程中传动轴的齿轮或皮带轮一般都放置在靠近轴承处，而不放在中间，这是为 什么？ 答答 靠近轴承处挠度较小，中间挠度较大。 10-3 材料相同，横截面面积相等的钢杆和钢丝绳相比，为何钢丝绳要柔软得多？ 答答 弯曲刚度用 EI 表示，二者材料相同，只取决于惯性矩 I。设钢杆横截面为， 则其惯性矩为 dd33 () 12 81 12 33 4 3 1 ddd I= =；设钢丝绳每股横截面为dd ，则 9 股钢丝绳的惯 性矩为 1 43 2 9 1 12 9 12 9I ddd I= =，故钢丝绳要柔软得多。 10-4 用叠加法求梁的位移时，应满足哪些条件？ 答答 小变形。 10-5 提高梁的弯曲刚度的主要措施有哪些？与提高梁强度的措施有何不同？ 答答 提高梁的弯曲刚度的主要措施有 （1）调整加载方式，改善结构设计； （2）减小梁的跨度，增加支承约束； （3）增大梁的弯曲刚度 EI。 75 习习 题题 10-1 试确定图示各梁挠曲线的大致形状。 (a1) (b1) 10-2 试用积分法求图示各梁的挠曲线方程，并求截面 A 的挠度和截面 B 的转角。已知 各梁的弯曲刚度均为EI。 a 解解 ，0= A M( )=49qlFC； 0= y F，( )=43qlFA AC 段 2 111 2 1 4 3 qxqlxM= ()lx20 1 CB 段 ()lxqlqxqlxM2 4 9 2 1 4 3 2 2 222 += ()lxl32 2 AC 段 ()lx20 1 CB 段()lxl32 2 2 111 2 1 4 3 qxqlxMwEI= 1 3 1 2 11 6 1 8 3 CqxqlxwEI+= 111 4 1 3 11 24 1 8 1 DxCqxqlxEIw+= ()lxqlqxqlxMwEI2 4 9 2 1 4 3 2 2 2222 += () 2 2 2 3 2 2 22 2 8 9 6 1 8 3 ClxqlqxqlxwEI+= () 222 3 2 4 2 3 22 2 8 3 24 1 8 1 DxClxqlqxqlxEIw+= 由边界条件 ( )00 1 =w，,( )02 1 =lw( )=lw 2 1 ( )02 2 =lw，( )02 2 =lw得 0 1 =D， 3 1 6 1 qlC=， 3 2 6 1 qlC=，0 2 =D 由此得挠曲线方程 1 3 1 34 1 3 11 6 1 6 1 24 1 8 1 xqlxqlqxqlxEIw+= ()lx20 1 () 2 3 3 2 4 2 3 22 6 1 2 8 3 24 1 8 1 xqllxqlqxqlxEIw+= ()lxl32 2 76 进一步代入计算得 ( )( )= EI ql lwwA 8 3 4 2 ，( ) EI ql w B 6 0 3 1 =（顺） (b) (b1) b 解解 取图（b1）所示左手坐标系有 ( )x l q xq 0 = ( ) 30 632 1 x l qx xxqM= 3 1 0 6 x l q MwEI= ,Cx l q wEI+= 4 1 0 24 DCxx l q EIw+= 5 1 0 120 由边界条件( )( )0=lwlw得 30 24 l q C =， 40 20 l q D= 挠曲线方程为 () 5450 45 80 lxlx lEI q w+= ( )= EI lq wA 30 4 0 ， EI lq B 24 3 0 =（顺） 讨论讨论：请读者按右手坐标系求， A w B 并与以上解答比较。 (c) (c1) 解解 图(c1) 0= B M，( )= l M FC e 77 CA 段 1 e x l M M= 2 0 1 l x AB 段 e2 e Mx l M M+= lx l 2 2 CA 段 2 0 1 l x AB 段 lx l 2 2 1 e 1 x l M wEI= 1 2 1 e 1 2 Cx l M wEI+= 111 3 1 e 1 6 DxCx l M EIw+= e2 e 2 Mx l M wEI+= 22e 2 2 e 1 2 CxMx l M wEI+= 222 2 2 e3 2 e 2 26 DxCx M x l M EIw+= 由边界条件 ( )00 1 =w，= 2 1 l w 2 2 l w，( )0 2 =lw得 0 1 =D， 24 e 1 lM C =， 24 11 e 2 lM C=， 2 e2 8 1 lMD = 挠曲线方程为 () 2 1 21e 1 4 24 xl lEI xM w=, 2 0 1 l x () 3 2 22 2 3 2 e 2 311124 24 lxllxx lEI M w+= lx l 2 2 0 2 1 = = l wwA，( ) EI lM lw B 24 e 2 =（逆） (d) (d1) d 解解 图(d1) 0= B M，( )=qlFC 8 3 ( ) 2 111 2 1 8 3 qxqlxxM= 2 0 1 l x () = 428 3 222 l x ql qlxxM lx l 2 2 CA 段 2 0 1 l x AB 段 lx l 2 2 78 2 111 2 1 8 3 qxqlxwE= 1 3 1 2 11 6 1 16 3 CqxqlxwEI+= 111 4 1 3 11 24 1 16 1 DxCqxqlxEIw+= = 428 3 222 l x ql qlxwEI 2 2 2 2 22 4416 3 C l x ql qlxwEI+ = 222 3 2 3 22 41216 1 DxC l x ql qlxEIw+ = 由边界条件( )00 1 =w，= 2 1 l w 2 2 l w，= 2 1 l w 2 2 l w，得 ( )0 2 =lw 0 1 =D， 4 2 768 1 qlD =， 3 1 128 3 qlC=， 3 2 384 11 qlC= 挠曲线方程为 () 2 1 3 1 31 1 24169 384 lxxl EI qx w+ = 2 0 1 l x () 3 2 22 2 3 22 17248 384 lxllxx EI ql w+ = lx l 2 2 ( ) = = EI qll wwA 768 5 2 4 1 ，( ) EI ql lw B 384 7 3 2 =（逆） 10-3 用叠加法求图示各梁截面 A 的挠度和截面 B 的转角。已知各梁的弯曲刚度均为 EI。 (a) (a1) (a2) a 解解 图(a)=图(a1)+图(a2) + +=+= 33 2 221121 l w l wwww DDCCAAA EI Fll EI l F EI l F l EI l F EI l F 9 2 32 3 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 2323 = + + = EI Fl EI l F EI l F DCBBB 18 5 2 3 2 2 3 2 22 2121 = =+=+=（顺）（顺） 79 (b) (b1) (b2) b 解解 图(b)=图(b1)+图(b2) ( )= + + = + +=+= EI ql EI qll EI lql EI lql w l wwww ACCAAA 16822 22 2 22 2 44 2 2 2 21121 EI ql EI ql EI lql BCBBB 126 22 33 2 2121 = =+=+=（逆） (c) (c1) (c2) (c3) (c4) c 解解 图(c)=图(c1)+图(c2)=图(c1)+图(c3)+图(c4) 80 () + +=+=+=l EI ql lwwwwww CCAAAAAA2 4 12221121 8 ( ) ( ) ( )= EI ql l EI lql EI ql l EI lql 24 5 3 2 2 1 816 2 4 2 4 2 ( ) EI ql EI lql EI lql BBB 126 2 2 1 16 2 3 2 2 21 = =+=（逆） (d) (d1) (d2) (d3) (d4) d 解解 图(d)=图(d1)+图(d2)=图(d1)+图(d3)+图(d4) () 2221121AAAAAA wwwwww+=+= 22 22211 l w l CAC += ( )= = EI qll EI lql EI l ql l EI ql 2423 4 1 3 22 1 224 4 2 3 3 0 6 4 1 24 2 3 22121 = =+=+= EI lql EI ql BBBBB 讨论讨论： 迭加法简便， 特别是当提供附录 C 表时， 题 6-6 利用迭加法 （包括逐段钢化迭加） 一定要熟练掌握。 10-4 图示外伸梁的弯曲刚度为EI， 为使载荷作用点的挠度等于零， 求载荷与 的关系。若要使 F C wF q0= C ，则与的关系又如何？ Fq 81 (a) (b) (c) (d) (e) 解解 迭加法 图(a)=图(b)+图(c)=图(b)+图(d)+图(e) 222121 2 CCBCCC ww l www+=+= 22 2221 l w l BCB += 23 2 3 2 224 3 3 l EI l Fl EI l F l EI ql =0 848 34 = EI Fl EI ql 当qlF 6 1 =时，。 0= C w 2221121BCBCCC +=+=0 3 2 1 2 2 24 2 3 = = EI lFl EI l F EI ql 当qlF 7 1 =时，0= C 。 10-5 矩形截面悬臂梁受力如图。已知材料的弹性模量E和许用应力，求满足强度 条件下的最大挠度。 解解 FlM= max 82 = I Flhh I M 22 max max lh I F 2 = Eh l EI Fl w 3 2 3 23 max = 10-6 梁截面由工字钢制成， 若跨度m5=l， 力偶矩mkN5 1 =M， 许用应力 mkN10 2 =M MPa160=，弹性模量GPa200=E，许用挠度500lw =，试选择工字钢 型号。 解解 ,0= B MkN1 12 = = l MM FA 奇异函数法 321 62 x F x M xEIEIw A A += 由得 ( )0=lw () EI lMM A 6 2 21+ = 由此得 32121 626 2 x F x M lx MM EIw A + + = （a） 2 1 21 26 2 x F xMl MM wEI A + + = （b） 令，得 ( )0= x w m6637. 2=x 代入式（a）得 ()mN1051.23m6637. 2 3 =xEIw 500 1051.23 3 l EI w = 48 9 3 m101761 510200 1051.23500 = I 若选 16 号工字钢，其 48 m101301 =I m4010. 0 10130110200 1051.23 89 3 = = w %5%4 500 5 500 5 4010. 0 = = w ww 因此，可选 16 号工字钢。 （书上答案选 18 号工字钢，也可以，有点保守） 83 10-7 弯曲刚度为EI的梁如图， 为使梁的3个约束力相等， 求支座C与梁之间的空隙。 解解 支座约束力( )=qlFC 3 2 由迭加法得 ( )() ( ) ( ) ( )= =+= EI ql EI lql EI lq Fwqww CCCC 72 7 48 2 3 2 384 25 4 3 4 10-8 求图示各超静定梁的约束力（忽略轴力） 。设梁的弯曲刚度EI为常数。 (a1) a 解解 由变形谐调，用迭加法得 图（a1）迭加法 EI aF EI qa w B B 38 34 += ， EI aF w B B 3 3 = + 变形谐调 = B w + B w =+ EI aF EI qa B 38 34 EI aFB 3 3 qaFB 16 3 = 从而得梁的约束力 ( )=qaFqaF BA 16 13 22 16 5 2 1 qaaFqaM BA =+=（逆） ( )=qaFF BC 16 3 2 16 3 qaaFM BC =（顺） 84 (b) (b1) b 解解 迭加法+变形谐调 () 0 26 32 6 2 3 2 2 2 e = = aEI aaM EI aM EI aM CA A 即 e 48MMM CA = （a） () 0 26 32 3 2 6 2 2 2 e = + = aEI aaM EI aM EI aM CA C 即 e 84MMM CA =+ （b） 解式（a） ， （b）得 4 e M M A =（逆） ， 4 e M MC=（逆） ，0= C M02 e =+ CAA MMMaF 0 44 2 e e e = M M M aF ( )= 4a 3 e M FA，( )= 4a 3 e M FC (c) (c1) (c2) (c3) (c4) c 解解 图（c1）加变形条件0= B w与图（c）等价。 图（c1）=图（c2）+图（c3）+图（c4） 85 由附录 C 表用迭加法得 0 4321 =+= BBBBB wwwww ()0 38 2426 24 34 2 2 2 =+ EI aF EI qa aaaa EI qa B ( )=qaFB 4 7 由图（c1）进一步解得 0= y F，( )=qaFA 4 3 ，0= A MMaM A 4 1 =（顺） 10-9 梁 AB 因强度和刚度不足， 用同一材料和同样截面的短梁 AC 加固， 如图所示。 求： （1）二梁接触处的作用力； C F （2）加固后梁 AB 的最大弯矩和截面 B 的挠度比加固前分别减小多少？ (a) (b) (c) 解解（1）图（b） EI l F l l EI l F w C C 3 2 2 3 6 2 32 b + = 图（c） EI l F w C C 3 2 3 c = 由变形谐调即 = bC w cC w = + EI l F l l EI