几个数学解题的模式介绍

淺談幾個數學解題的模式 解題是數學中一個主要的活動，從小到大數學的學習活動，都脫離不了學習如何去解題，這一連串的課程主要是取材於George.Polya的、這三部書，希望能介紹一些有用的策略與方法，讓讀者在學習數學的過程中，能有一些遵循的模式與法則。當然並不是所有的問題都能經由這些模式去解決，但是我們試圖舉出一些理性、有效率的建議，以提供讀者參考。 (A)雙軌跡模式： 模式的敘述：把問題簡化為作一個點，然後，把條件分為兩部分，使每一個部分變成 未知點的一條軌跡；而每一條軌跡必須是一條直線或者是一個圓。例題1 已知一三角形ABC，求作此三角形的內切圓。簡化問題：已知：三角形的三個邊，AB,BC,CA。未知：一個點X。條件：X點到AB,BC,CA三邊的距離相等。做法： (1)將條件分成兩部分 第一部份：X到AB,BC的距離相等 滿足第一條件的軌跡是兩條互相垂直的直線。(直線AB,BC的角平分線) 第二部分：X到AB,CA的距離相等 滿足第一條件的軌跡是兩條互相垂直的直線。(直線AB,CA的角平分線) (2)滿足上述兩個條件的軌跡有四個交點，而X為其中一個。(練習1) 三等份一給定三角形的面積，即在給定DABC內求一點X，使得DXAB、DXBC、DXCA面積相等。簡化問題：已知： 未知：條件：做法：(1)若從DXAB=DXBC出發，則X會落在 若從DXBC=DXCA出發，則X會落在 (2)若從DXAB=DABC出發，則X會落在 若從DXBC=DABC出發，則X會落在 由(1)(2)出發，可找到不一樣的做法嗎？PA(練習2) 已知P為直線L上一點，A為L外一點，求作一圓通過A點且與L相切於P點。已知： 未知：條件：作法：(B)相似形模式： 模式的敘述：當我們一下子求不出欲求的圖形，考慮能否做出與所求圖形相似的圖 形，藉此再求得所要的圖形。CBA例題2 在一個給定的DABC中作一內接正方形，此正方形的兩個頂點在AB上，一個在AC上，一個在BC上。已知：DABC 未知：正方形條件：正方形的兩個頂點在AB上，一個在AC上， 一個在BC上。做法： (1)減弱一個條件，正方形一個頂點不用落在BC上。 (2)減弱條件之後，可做出多個相似的正方形。 (3)觀察這些相似正方形的頂點，這些頂點共線。 (4)所求的正方形，其頂點要在BC邊上，故此直線與的交點 即為所求正方形的一個頂點，其餘個頂點，亦可順序做出來。(練習3) 給定ACB，作一直線交CA於X點，CB於Y點，使得=。假設問題已知解決了！如圖。(1)作YZ/XA且YZ=XA。(2)AXYZ為菱形且DBYZ為等腰三角形。(3)如果可做出Z，則可由Z求Y。雖然無法求出DBYZ，不過卻知道它的形狀，我們試著作一個與之相似的三角形。(1)我們不知道Y的位置，不過倒著作，先在上任取一點Y/，假設Y/是我們欲求的Y點，反過來去求類似Z點的Z/，即作直線Y/Z/CA，使得Y/Z/=Y/B。(2)Z/點取定之後，如何在上找一個類似A點的點A/呢？ 做法：(3)A/點取定之後，四邊形BYZA與BY/Z/A/ 是相似的圖形，如何由Z/點在去求Z點呢？ 做法：(練習4) 給定一個三角形的三個高ha , hb , hc，求作此三角形。已知： 未知條件：做法：(C)輔助圖形模式： 模式的敘述：設法發現圖形的一部份或與之密切相關的某個圖形，它是能否做出欲 求的圖形的一塊踏腳石。我們應該注意尋找那些容易從所求的圖形中 分出來的圖形，而且應該尋找極端情況，運用類比法或變化已知量等 等，引出輔助圖形。例題3 做兩個已知圓的公切線。已知量：兩個相離的圓。未知量：兩組公切線。做法：以外公切線為例 (1)尋找輔助問題的方法 變化已知量：即變化兩圓的半徑大小。 找極端的情形：有一個圓變成一點。 (2)當兩圓的半徑同時縮小，而有一圓縮成一個點時，想一想這樣變化 的過程中，每一條外公切線都在移動著，但是整個移動過程，它們始 終都是平行的。 (3)將圓外一點作圓的切線當作是輔助問題，根據(2)的結果，就可得出 兩圓外公切線的做法。(練習5) 給定一直線L，與線外兩點A,B，A,B兩點同側且不平行L，求作與直線L相切且通過A,B的圓。已知：直線L與線外同側的兩點A,B 未知：圓條件：此圓與直線L相切且通過A,B兩點。做法： (1)輔助問題：給定不共線三點，就可決定一個圓。故我們想去尋找在L 上圓的切點T。 (2)假設圓已做成了，設P點為直線與直線AB的交點，根據切割線定理 ( )2=，我們可藉由來求T點的位置。 (3)如何求出呢？以上我們列出了能用以處理幾何作圖問題的三種不同的模式。輔助圖形模式比起相似形模式來，給我們以更多的選擇機會，但是他的目標不太確定。雙軌跡模式是最簡單的你可以首先試試看，因為在大多數情況下最好先從簡單的試起。但不要把自己束縛住，要保持開闊的思路：把問題當作是已解決了，然後畫一個使未知量和已知量按規定安排好的圖形，圖中每一個元素處於正確的位置，所有元素依條件要求的正確關係相聯繫。研究這個圖形，努力從中辨識出熟悉的圖形、定理，提出一條合適的問題、輔助線、恰當的模式，或一些有用的步驟。(D)笛卡爾模式： 笛卡爾提出解題的通用方法 第一，將任何類型的問題化歸為數學問題。 第二，將任何種類的數學問題劃歸為代數問題。 第三，將任何代數問題化歸為單個方程式的求解。例題4 一家農莊共有50隻動物，它們可能是雞或羊，已知這些動物共有140條腿，試問雞、羊各多少隻。試探法：逐個去試一試雞、羊的個數雞羊腿數500100050100252515026241483020140 確實，我們已經得到這個解，這是因為給定的數字(如50和140)比較小，也比較簡單。但是如果提出同樣給定小數的情形，或是對於各種問題，這種方法都可用；同時也不需要特殊的技巧。回過頭來看(推廣與比較)：本題之中，若以h代表頭數50，f代表腿數140，則利用列方程式的方法可得：，將(4)-(3)可得y=。將最後得到的式子與奇妙的想法一對照，就會恍然大悟了。 在例題4中，以探索和瞎碰為其解題的第一種方法，它包括一系列試探，其中每一個都企圖糾正前一個探索所犯的錯誤或所帶來的誤差，我們總是希望隨著探索而越來越接近於所要求的結果。但是這個方法雖然重要，可是不一定能順利解決問題。因此列方程式，可以解決多一點的問題，而不需要碰碰運氣。下面我們介紹笛卡爾對於解方程式的建議，讓同學有一個標準來參考。(1)對問題有充分的理解，然後將其化歸為如何去確定某些未知量。 在對問題有了整體的理解之後，我們把注意力轉向其主要部分，我們應該 非常清楚地分辨出： (a)我們必須求的是那一種東西？未知量是甚麼 (b)甚麼是給定的或已知的？已知量是甚麼 (c)未知量與已知量是以何種關係互相聯繫？條件是甚麼(2)以最自然的分式來考察問題，把它當作是以解決了，並以適當的次序使所 有由條件規定的未知量和已知量之間所必須保持的關係具體化。(3)分劃出一部份的條件，根據這個條件可以把一個量用兩種不同的方法表示， 並從而得到未知量之間的一個方程式。照此作下去，最後可把條件分成與 未知量個數一樣多的部分，從而得到與未知數數量相等的一組方程組。(練習6) 一個幾何題：一個區域是由直線AB和兩個圓弧和所圍成，一個圓的圓心是A，另一個圓的圓心是B，並且每一個圓通過另一圓的圓心，在這個區域中作一個內切圓，與三條邊相切。利用坐標化的方法來解決：令直角坐標系的原點與A點重合，並令x軸通過B點，令(x,y)表示所求圓的圓心，=a可列出何種方程式呢？(練習7) 一個物理題：一個鐵球浮在水銀上，而水又傾注在水銀之上，並覆蓋鐵球。這時球將下沉？上升？還是保持在同樣的深度上？(水、鐵、水銀的密度，分別為1,7.84,13.6)定性的觀察：鐵球的上方由真空轉換成水，再轉成鐵，密度由0轉成1，再轉 成7.84，即密度一直增加到鐵的密度，此時整個鐵球會隨著密度 的增加，而將下沉？上升？定量的描述：設水、水銀、鐵的密度為a,b,c 令v表示球的總體積，x表示球上方的 體積，y表示球下方的體積。 列方程式：這裡有一個重要的物理知識，阿基米德原理：使浮體浮起的垂 直方向的力等於浮體所排開的液體重量。 方程組：由定量的結果討論定性的觀察結果：(E)遞迴方法模式： 在處理與整數有關的問題時，若此問題蘊藏某些規律的關係，處理這一類問題時通常可採取下列三個步驟：(1)依照題目的條件構造一個數列an。(2)建立相鄰之間的遞迴關係式。(3)解遞迴方程，找出an的一般項。若無法找出an的一般項，則根據遞迴關係式，亦可 透過此式找到解。+-.如同n=2的投擲情形.如同n=3的投擲情形例題5 把一枚硬幣連續擲n次，投擲的過程中接連出現兩次正面向上的機率等於少？ (1)構造數列an：設an=n次投擲中不發生接連兩次正面向上的機率。(2)建立遞迴關係式： 建立遞迴關係式，不仿採用歸納的方法，也就是說，先從簡單的情形出發， 將整個問題思考清楚，以得到其遞迴的關係。(1)考慮n=2的情形：投擲2次硬幣的過程， 正反面出現的情形可為：(+,+)(+,-)(-,+)(-,-)，故a2=(2)考慮n =3的情形：投擲3次硬幣的過程 正反面出現的情形可為： (+,+,+)(+,-,+)(-,+,+)(-,-,+)(+,+,-)(+,-,-)(-,+,-)(-,-,+)，故a3=(3)考慮n=4的情形，此時我們可能要注意到，如果想要得到遞迴關係，必須 去尋找連續幾項的關係，因此當投擲4次硬幣時，要能與投擲3次或2次 有所關聯。 你想到a4、a3、a2之間有何關聯嗎？倒回去想是個不錯的方法! 若第4次的投擲為正面，那麼第3次必為反面。 若第4次的投擲為反面，則第3次可為正面或反面 用數狀圖來看： 你可得倒a4= a3+ a2更進一步你可得知：an= an-1+ an-2(3)求an的一般解：若an+2=pan+1+qan，如何求an的一般式？(p,q不隨n改變)例題6 整數中的輾轉相除法：試求整數a,b的最大公因數。我們欲求(a,b)，根據輾轉相除法原理：a=b(q+r ( (a,b)=(b,r)。(其中q,r為整數)a=bq1+r1b=r1q2+r2r1=r2q3+r3 ( (a,b)=(b,r1)=(r1,r2)=(r2,r3)=.=(rk , rk+1)=(rk+1 , rk+2).rk=rk+1qk+1+rk+2為了求(a,b)，根據輾轉相除法原理，透過一連串的除法，將被除數、除數、餘數等逐一的化簡至較小的數，然後藉著(rk+1 , rk+2)反推去求(a,b)。在這個過程中，可令(rk+1 , rk+2)=c0，(rk , rk+1)=c1，.(b,r1)=ck-1，(a,b)=ck+2，換言之，整個過程中，輾轉相除法原理提供了cn這個數列的遞迴關係式，可是這裡cn卻沒有很明確的關係式，不過只要知道了其遞迴關係式，就可順利得到所要的解。例題7 求1k+2k+3k+.+nk=？(1)構造一個數列Sk：令Sk=1k+2k+3k+.+nk。(2)建立遞迴關係式： 計算S2：(1+x)3-x3=3x2+3x+1 x=1 23-13=312+31+1 x=2 33-23=322+32+1 . x=n (n+1)3-n3=3n2+3n+1 將上面n個式子相加，可得(n+1)3-13=3S2+3S1+S0。 你能推出S3、S4、.、Sk嗎？(3)這個遞迴關係式，雖不能推得Sk的一般式，不過只要根據遞迴關係式，就 可以求得任意的Sk。n個圓BA(練習8) 一筆畫問題：如右圖，由A出發至B且走過的路段不得重複的條件下，總計有多少種走法？(1)構造數列an：(2)找遞迴關係式：(3)求an=？(練習9) 小安給n個人寫了n封不同的信，信寫好後在寫上信封上的人名、地址。試問此n封信紙全都裝錯信封的情形有多少種？(n2)(1)構造數列an：(2)找遞迴關係式：(3)求an=？(練習10) 有n根火柴，甲、乙輪流取，每次取走1根或2根。若甲先取，問最後輪到甲取完火柴的方法數。(1)構造數列an：(2)找遞迴關係式：(3)求an=？(練習11) 你能在所學的課程中，還有那些遞迴歸納的實例。(F)疊加模式 疊加模式的特徵： (1)處理一個特殊情形，它不僅特別容易解決而且特別有用，我們可以恰當地稱之為先 導特殊情況：它指出通向一般解的途徑。 (2)用具體的代數運算把特殊情形結合起來。例題8 (Lagrange 差值法)給定4個不同的橫坐標x1, x2, x3, x4，4個縱坐標y1 , y2., y3 , y4；是否可找到一個三次函數f(x)使得f(xi)=yi，i=1,2,3,4。(1)特殊情況： 先找一個三次函數g1(x)使得g1(x1)=1，g1(x2)=0，g1(x3)=0，g1(x4)=0 根據因式定理，可令g1(x)=A(x-x2)(x-x3)(x-x4)，又g1(x1)=1， 可得A=，故g1(x)= 。 如果進一步要求f1(x1)=y1，f1(x2)=0，f1(x3)=0，f1(x4)=0 此時只要令f1(x)=y1g1(x)=y1即可。 同理可得出f2(x)=y2，f2(x2)=y2，f2(xi)=0，i=1,3,4。 可得出f3(x)=y3，f3(x3)=y3，f3(x