高三下学期数学(理)试题试题

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2012.2本试卷共6页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答案无效3非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、多涂的答案无效5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回参考公式：如果事件互斥，那么；如果事件相互独立，那么；若锥体的底面积为，高为，则锥体的体积为一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1若（为虚数单位），则的虚部是ABCD2已知，是平面内的两条直线，则“直线”是“直线，直线”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知直线的斜率为，在轴上的截距为1，则ABCD图1_否输入函数开始对任意实数及任意正数,均有是结束输出函数4执行图1的程序框图，如果依次输入函数：、，那么输出的函数为ABCD5已知符号函数，则函数的零点个数为ABCD6已知变量满足约束条件，若目标函数仅在点处取到最大值，则实数的取值范围为ABCD7“”含有数字，且有两个数字2则含有数字，且有两个相同数字的四位数的个数为ABCD8设是实数集的非空子集，如果有，则称是一个“和谐集”下面命题为假命题的是A存在有限集，是一个“和谐集”B对任意无理数，集合都是“和谐集”C若，且均是“和谐集”，则D对任意两个“和谐集”，若，则二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9 图20.0300.0250.0200.0150.010分数频率/组距506070809010010某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图（如图2），其中成绩的范围是50，100，样本数据分组为50，60），60，70)，70，80)，80，90)，90，100，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在内的学生人数为 11已知抛物线的准线与双曲线相切，则双曲线的离心率 12已知等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则 图313如图3所示的几何体中，四边形是矩形，平面平面，已知，且当规定主（正）视方向垂直平面时，该几何体的左（侧）视图的面积为若、分别是线段、上的动点，则的最小值为 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到曲线 上的点的最短距离为 15（几何证明选讲选做题）如图4，是圆上的两点，且，为的中点，连接并延长交圆于点，则 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数，（其中），其部分图像如图5所示（1）求函数的解析式； （2）已知横坐标分别为、的三点、都在函数的图像上，求的值17（本小题满分13分）随机调查某社区个人，以研究这一社区居民在时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：休闲方式性别看电视看书合计男女合计（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查名在该社区的男性，设调查的人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量，求的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有%的把握认为“在时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：，其中参考数据：18（本小题满分13分）如图6，平行四边形中，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为（1）当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？ABDCOAB（2）当时，求的大小19（本小题满分14分）如图7，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值，并求此时圆的方程；（3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值20（本小题满分14分）已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足（1）求；（2）设，求函数在上的最大值；（3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围21（本小题满分14分）已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）（1）求数列的通项；（2）设，求证：， 2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题每小题5分，满分40分12345678AADCCBBD二、填空题：本大题每小题5分，满分30分9 ； 10 ； 11； 12；13； 14； 15三、解答题16（本小题满分12分）已知函数，（其中），其部分图像如图所示(1) 求函数的解析式； (2) 已知横坐标分别为、的三点、都在函数的图像上，求的值解：（1）由图可知， ， 1分最小正周期 所以 3分 又 ，且 所以， 5分 所以 6分(2) 解法一: 因为，所以， 8分，从而， 10分由，得. 12分解法二: 因为，所以， 8分, 则. 10分由，得. 12分【说明】 本小题主要考查了三角函数的图象与性质，以及余弦定理，同角三角函数关系式，平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力17（本小题满分13分）随机调查某社区个人，以研究这一社区居民在时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：性别休闲方式看电视看书合计男女合计（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查名在该社区的男性，设调查的人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量，求的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有%的把握认为“在时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式： ，其中 参考数据：解：（1）依题意，随机变量的取值为：，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为 2分方法一：， ， 6分的分布列为: 8分方法二：根据题意可得， 4分， 6分 8分(2) 提出假设：休闲方式与性别无关系根据样本提供的列联表得因为当成立时，的概率约为，所以我们有%的把握认为“在时间段性别与休闲方式有关” 13分【说明】本题主要考察读图表、随机事件的概率、二项分布以及数学期望、独立性检验等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识18（本小题满分13分）如图，平行四边形中，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为 （1）当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？ （2）当时，求的大小解：（1）由题知为在平面上的射影，平面， 2分 4分， 5分当且仅当，即时取等号，当时，三棱锥的体积最大，最大值为 6分ABDCO(2)(法一)连接， 7分平面，平面， 9分，故， 11分，ABDCOxyzE， 12分在中，得13分(法二) 过作于，则为矩形，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 9分于是， 10分由，得， 12分得，又为锐角， 13分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力19（本小题满分14分）如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值，并求此时圆的方程； （3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值 解：（1）依题意，得，；故椭圆的方程为 3分（2）方法一：点与点关于轴对称，设， 不妨设由于点在椭圆上，所以 （*） 4分 由已知，则， 6分由于，故当时，取得最小值为由（*）式，故，又点在圆上，代入圆的方程得到 故圆的方程为： 8分方法二：点与点关于轴对称，故设，不妨设，由已知，则 6分故当时，取得最小值为，此时，又点在圆上，代入圆的方程得到 故圆的方程为： 8分(3) 方法一：设，则直线的方程为：，令，得， 同理：， 10分故 （*） 11分又点与点在椭圆上，故，12分代入（*）式，得： 所以为定值 14分方法二：设，不妨设，其中则直线的方程为：，令，得，同理：， 12分故所以为定值 14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直线方程等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、化归与转化思想20（本小题满分14分）已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足（1）求；（2）设，求函数在上的最大值；（3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围解：（1）， 1分，函数的图像关于直线对称，则2分直线与轴的交点为，且，即，且，解得， 4分则 5分（2）， 7分其图像如图所示当时，根据图像得：（）当时，最大值为；（）当时，最大值为；（）当时，最大值为 10分（3）方法一：，当时，不等式恒成立等价于且恒成立，由恒成立，得恒成立，当时， 12分又当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是 14分方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图），的图像过点时，或，要使不等式对恒成立，必须， 12分又当函数有意义时，当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是 14分方法三：， 的定义域是，要使恒有意义，必须恒成立，即或 12分由得，即对恒成立，令，的对称轴为，则有或或解得 综合、，实数的取值范围是 14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、导数的几何意义、二次函数和分段函数的图像及其性质的运用、不等式的求解与证明等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识21（本小题满分14分）已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）（1）求数列的通项；（2）设，求证：， 解：（1），即 3分令，则，因此，数列是首项为，公差为的等差数列， 5分 6分（2）（方法一）先证明当时，设，则，当时，在上是增函数，则当时，即8分因此，当时， 9分当时， 10分12分14分（方法二）数学归纳法证明（1），当时，成立；，又，当时，成立 8分（2）设时命题成立，即，当时，要证， 即证，化简，即证 9分设，则，当时，在上是增函数，则当时，即因此，不等式成立，即当时成立 11分当时，要证， 即证，化简，即证 根据前面的证明，不等式成立，则时成立由数学归纳法可知