机械简谐运动的两种典型模型

专题二 简谐运动的两种典型模型 基础知识落实 1、弹簧振子：2.单摆（1）.在一条不可伸长、不计质量的细线下端系一质点所形成的装置.单摆是实际摆的理想化物理模型.（2）.单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg沿圆弧切线的分力Fmgsin 提供(不是摆球所受的合外力)，为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明Fxkx.可见很小时，单摆的振动是简谐运动.（3）.单摆的周期公式单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是伽利略首先发现的.单摆的周期公式，由此式可知T，T与振幅及摆球质量无关.（4）.单摆的应用计时器：利用单摆的等时性制成计时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调节单摆摆长即可调节钟表快慢.测定重力加速度：由变形得g，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以求出当地的重力加速度.秒摆的周期 秒 摆长大约 米（5）.单摆的能量摆长为l，摆球质量为m，最大偏角为，选最低点为重力势能零点，则摆动过程中的总机械能为:Emgl(1cos)，在最低点的速度为v.知识点一、弹簧振子：1、定义：一根轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m的小球就构成一弹簧振子。 2、回复力：水平方向振动的弹簧振子，其回复力由弹簧弹力提供；竖直方向振动的弹簧振子，其回复力由重力和弹簧弹力的合力提供。3、弹簧振子的周期： 除受迫振动外，振动周期由振动系统本身的性质决定。 弹簧振子的周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和放置的方式无任何关系。如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中；是水平放置、倾斜放置还是竖直放置；振幅是大还是小，只要还是该振子，那它的周期就还是T。【释例1】【解析】【变式】1题型关于弹簧振子模型： 方法指导 一、水平方向弹簧振子的几种模型：1、单弹簧模型：弹簧振子弹簧振子的振动是简谐运动的最典型实例。它由连在一起的弹簧和小球穿在光滑水平杆上并将弹簧另一端连在支架上构成。通过对它的运动的观察，可以总结出下面四个特点： 在水平方向振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力，其表达式： F=-kx或a=kx/m。 若弹簧的劲度系数越大，回复力越大，振子产生的加速度越大，振子来回振动得越快，因而周期越短。其次，振子质量越大，产生的加速度越小，振子来回振动得越慢，因而周期越长。计算表明，弹簧振子的周期公式为：（此式不要求掌握） 可见，弹簧振子的周期由弹簧的劲度系数和振子质量共同决定，跟振幅无关。如何从运动和力的关系来理解弹簧振子的周期与振幅无关呢？如图所示。COAB将弹簧振子从平衡位置拉到B（振幅为A）。振幅越大，振子在B处的弹力越大，加速度也越大，但振子离开平衡位置的位移也大了，因此，振子从B回到O的时间并不因振幅的大小而改变（为T/4），但振子回到平衡位置时的速度与振幅有关，振幅越大速度越大。振子从O到C的过程中，若振幅超大，振子离开O时的速度也大，但位移也大了，因此，振子从O到C的时间也不会因振幅的改变而改变（也为T/4），所以，弹簧振子自由振动的周期与振幅大小无关 频率：。 振动过程中位移、速度、加速度、动能、势能、回复力等的关系。【例题1】如图所示，为一弹簧振子，O为振动的平衡位置，将振子拉到位置C从静止释放，振子在BC间往复运动已知BC间的距离为20cm，振子在4秒钟内振动了10次（1）求振幅、周期和频率。（2）若规定从O到C的方向为正方向，试分析振子在从COB过程中所受回复力F，加速度a和速度的变化情况选题目的：考察弹簧振子振动中各物理量的掌握情况【解析】（1）（2）按题设从OC为正方向，则当振子在平衡位置右侧时位移为正，在平衡位置左侧时位移为负所以当振子从CO运动时，位移方向为正，大小在减少，回复力方向为负，加速度方向为负，回复力和加速度的大小都在减小振子的速度方向为负，加速度与速度方向一致，速度在增大；振子到达O位置时位移X=0，F、a均为零，最大当振子从OB运动时，位移方向为负，位移x在增大，回复力F、加速度a方向为正，大小在增大，此过程速度方向为负，a与反向，振子从OB做减速运动，在减小，到达B位置时F、a为正向最大，=0【点评】【例题2】如图所示弹簧振子，振子质量为2.0102g，作简谐运动，当它到达平衡位置左侧2.0cm时受到的回复力是0.40N，当它运动到平衡位置右侧4.0cm处时，加速度为 D A、 2 m/s2向右 B、 2 m/s2向左C、 4 m/s2向右 D、 4 m/s2向左【解析】F=-kx，所以力F1的大小F1=kx1，由此可解得k =200N/m则：F2= kx 2=200410-2=8N，由于位移向右，回复力F2方向向左根据牛顿第二定律：a2=F2/m=8/2=4m/s2，方向向左【点评】【例题3】上题中，若弹簧振子的振幅为8cm，此弹簧振子振动的周期为 A A、 0.63s B 、2s C 、8s D、 条件不足，无法判断 【解析】因为是简谐运动，所以： 【点评】【例题4】弹簧振子在BC间作简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10cm，由BC运动时间为1s，则 B A、 从B开始经过0.25s，振子通过的路程是2.5cm B、 经过两次全振动，振子通过的路程为40cm C、 振动周期为1s，振幅为10cm D、 从BOC振子做了一次全振动 【解析】【点评】【例题5】如图所示，在光滑水平面上有一弹簧振子，已知轻弹簧的劲度系数为k。开始时振子被拉到平衡位置O点的右侧某处，此时拉力大小为F，振子静止，撤去拉力后，振子经过时间t，刚好通过平衡位置O点，此时振子的瞬时速度为，则在此过程中，振子运动的平均速度为多少？F【解析】【点评】【例题6】一个弹簧振子，在光滑水平面上做简谐运动，如图所示，当它从左向右恰好经过平衡位置时，与一个向左运动的钢球发生正碰，已知碰后钢球沿原路返回，并且振子和钢球不再发生第二次碰撞。则下面的情况中可能出现的是( ACD)A.振子继续作简谐振动，振幅和周期都不改变B.振子继续作简谐振动，振幅不变而周期改变C.振子继续作简谐振动，振幅改变而周期不变D.振子停止运动【解析】【点评】【例题7】如图所示，一个弹簧振子在光滑的水平面上A、B之间做简谐振动，当振子经过最大位移处（B点）时，有块胶泥落在它的顶部，并随其一起振动，那么后来的振动与原来相比较( ACD )A、振幅的大小不变 B、加速度的最大值不变C、速度的最大值变小 D、势能的最大值不变【解析】【点评】2、摩擦力模型：AB【例题1】如图所示，质量为m的物体A放在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动。设弹簧劲度系数为k，但物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于（ ）A、kx B、kx C、kx D、0【解析】对A、B系统用牛顿第二定律：F=（M+m）a F=kxa=对A用牛顿第二定律：f=ma=kx【点评】A、B无相对运动，故可以综合运用整体法、隔离法分析整个系统和A或B物体的运动和力的关系。m/2mk【例题2】（2008四川理综14）光滑的水平面上盛放有质量分别为m 和的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。己知两木块之间的最大静摩擦力为f ，为使这两个木块组成的系统象一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（ ）A B C D【解析】本题不是非常简单，考查的知识点很多，稍有不足，就会选错。物体做简谐运动，取整体为研究对象，是由弹簧的弹力充当回复力。取上面的小物块为研究对象，则是由静摩擦力充当向心力。当两物体间的摩擦力达到最大静摩力时，两物体达到了简谐运动的最大振幅。又因为两个物体具有共同的加速度，根据牛顿第二定律对小物体有，取整体有，两式联立可得，答案为C。【高考考点】最大静静力、简谐运动、牛顿第二定律、临界问题【易错提醒】受力分析的整体法与隔离法，对解决物理问题是很重要的一个因素。合理的方法，会使你利用很短的时间解决问题，而不合理的方法，无论用多少时间都不会得出所要的答案。【点评】综合问题在物理中体现是最充分的。所以在高考前的专题复习时一定要对各知识点间的综合进行充分的复习。AB【例题3】（2006江苏物理9）如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连。在弹性限度范围内，A和B一起在光滑水平面上作往复运动(不计空气阻力)，并保持相对静止。则下列说法正确的是( AB )AA和B均作简谐运动B作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比CB对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不做功DB对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦力始终对B做负功【解析】【点评】【例题4】如图所示，一个质量为m的木块放在质量为M的平板小车上，他们之间的最大静摩擦力为f，在劲度系数为k的轻弹簧的作用下，沿光滑水平面做简谐运动。为使小车能跟木块一起运动，不发生相对滑动，机械运动的振幅不能大于（ A ）A、 B、 C、 D、【解析】【点评】【例题5】在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k。振子质量为M，振动的最大速度为v0，如图所示。当振子在最大位移为A的时刻，把质量为m的物体轻放其上，则：（1）要保持物体和振子一起振动，二者间摩擦因数至少为多少？（2）一起振动时，二者过平衡位置的速度多大？振幅又是多大？【解析】（1），（2）机械能守恒：振幅仍为A【点评】【例题6】如图所示，把一个有槽的物体B与弹簧相连，使B在光滑水平面上做简谐运动，振幅为A1当B恰好经过平衡位置，把另一个物体C轻轻的放在（C速度可以认为是零）B的槽内，BC共同作简谐振动的振幅为A2比较A1和A2的大小 B A、A1=A2 B、 A1A2 C、 A1A2 D、 条件不足，无法确定 【解析】当C轻放在B槽内时，BC间发生一次完全非弹性碰撞，两者速度由不同达到相同，此时有一部分机械能转化为内能由于机械能损失，所以振幅减小，A2A1；公式推导也可得出同样的结论：B、C碰撞，遵从动量守恒定律，显然， 【点评】若在极端位置时把C轻放在B槽内结果又如何？【例题6】如图所示，一个三角形物块固定在水平桌面上，其光滑斜面的倾角为30。物体A的质量为mA0.5kg，物体B的质量为mB1.0 kg（A、B均可视为质点），物体A、B并列在斜面上且压着一劲度系数为k125N/m的轻弹簧，弹簧的下端固定，上端拴在A物体上，物体A、B处于静止状态。（g取10m/s2）（1）求此时弹簧的压缩量是多大？（2）将物体B迅速移开，试证明物体A在斜面上作简谐运动。（3）将物体B迅速移开，物体A将作周期为0.4s的简谐振动，若以沿斜面向上的方向为正方向，请你在所给的坐标系中作出物体A相对平衡位置的位移随时间的变化曲线图，并在图中标明振幅的大小。【解析】（1）对A、B受力分析： （2）移去B后A在平衡位置： 当A有沿斜面向下位移x时： 且方向沿斜面向上，与位移方向相反简谐运动 【点评】【例题7】(2008保定调研)如图所示，物体A放在物体B上，B与弹簧相连，它们在光滑水平面上一起做简谐运动。当弹簧伸长到最长时开始记时(t = 0)，取向右为正方向，A所受静摩擦力f随时间t变化的图象正确的是( D )【解析】【点评】XOX3、双弹簧模型：【例题1】如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1、k2的轻质弹簧系住一个质量为m的小球。开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球将在水平面上做往复振动。试问小球是否做简谐运动？【解析】以小球为研究对象，竖直方向受力平衡，水平方向受到两根弹簧的弹力作用.设小球位于平衡位置O左方某处时，偏离平衡位置的位移为x，则左方弹簧受压，对小球的弹力方向向右，大小为F1x右方弹簧被拉伸，小球所受的弹力方向向右，大小为F2kx小球所受的回复力等于两个弹力的合力，其方向向右，大小为FF1F2()x令k，上式可写成Fkx由于小球所受的回复力方向与物体位移x的方向相反，故考虑方向后上式可表示为Fkx.所以，小球将在两根弹簧的作用下，沿水平方向做简谐运动.【点评】【例题2】如图所示，将两根轻质弹簧连接起来系在一质量为m的物体上组成弹簧振子，已知两弹簧的倔强系数分别为k1和k2，不计一切阻力，则这一弹簧振子振动的周期为：mk1k2 。【解析】【点评】【例题3】某同学设计了一个测物体质量的装置，如图所示，其中P是光滑水平面，k是轻质弹簧的劲度系数，A是质量为M的带夹子的标准质量金属块，Q是待测物体的质量。已知该装置的弹簧振子做简谐运动的周期为，其中，m是振子的质量，k是与弹簧的劲度系数有关的常数。当只有A物体振动时，测得其振动周期为T1，将待测物体Q固定在A上后振动周期为T2，则待测物体的质量为多少?这种装置比天平优越之处是什么?【解析】由题意:这种装置可以在完全失重或太空中用来测物体的质量.【例题4】某同学设计了一个测量物体质量的装置，如图所示，其中P是光滑水平面，A是质量为M的带夹子的已知质量金属块，Q是待测质量的物体。已知该装置的弹簧振子做简谐振动的周期为，其中m是振子的质量，k是与弹簧的劲度系数有关的常数，当只有A物体振动时，测得其振动周期为T1，将待测物体Q固定在A上后，测得振动周期为T2，则待测物体的质量为 ，如果这种装置与天平都在太空站中使用，则（ ）A、天平仍可以用来测质量，这种装置不能用来测质量B、这种装置仍可以用来测质量, 天平不能用来测质量C、这种装置和天平都可以用来测质量D、这种装置和天平都不能用来测质量【解析】【点评】【变式】QAP某同学设计了一个测量物体质量的装置，如图所示，其中P是光滑水平面，A是质量为M的带夹子的已知质量金属块，Q是待测质量的物体（可以被A上的夹子固定）已知该装置的弹簧振子做简谐运动的周期为（数量级为100s）,其中m是振子的质量，K是与弹簧的劲度系数有关的常数（1） 为了达到实验目的还需要提供的实验器材是：_；（2） 写出所需测量的物理量（用字母表示），并简要地写出测量方法_； ；用所测物理量和已知物理量求解待测物体质量的计算式为m= 【解析】【点评】【例题5】（2007江苏物理16）如图所示，带电量分别为4q和q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d。若杆上套一带电小环C，带电体A、B和C均可视为点电荷。（）求小环C的平衡位置。（）若小环C带电量为q，将小环拉离平衡位置一小位移x(xd)后静止释放，试判断小环C能否回到平衡位置。（回答“能”或“不能”即可）ABd-q4q（）若小环C带电量为q，将小环拉离平衡位置一小位移x(xd)后静止释放，试证明小环C将作简谐运动。（提示：当0，则F0，表示小球在平衡位置下方而合力方向向上；若x0，表示小球在平衡位置上方而合力方向向下回复力满足F = -kx的条件，所以小球做简谐运动【点评】【例题2】如图所示，一个竖直弹簧连着一个质量M的薄板，板上放着一个木块，木块质量为m。现使整个装置在竖直方向做简谐运动，振幅为A。若要求在整个过程中小木块m都不脱离木板，则弹簧劲度系数k应为多大？【解析】木板运动到最高点又不脱离，弹簧可能处于两种状态：无形变状态和压缩状态。若恰好脱离，则弹簧此时无形变，m、M的加速度均为g，此时，系统回复力为：F=（M+m）g所以弹簧在平衡位置时的弹力为：KA=（M+m）g，若弹簧处于压缩状态，则系统在最高点的回复力为：FkA 则km)的A、B两物体，箱子放在水平面上，平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐振动，当A运动到最高点时，木箱对地面的压力为（ A ）A、 B、C、 D、【解析】剪断A、B间细绳后，A与弹簧可看成一个竖直方向的弹簧振子模型，因此，在剪断瞬间A具有向上的大小为g的加速度，当A运动到最高点时具有向下的大小为g的加速度（简谐运动对称性），此时对A来说完全失重，从整体法考虑，箱对地面的作用力为Mg，选A。【点评】注意应用弹簧振子模型中运动的对称性，及超重、失重知识，注重物理过程的分析，利用理想化模型使复杂的物理过程更加简单。【例题4】如图所示，质量为m的木块放在弹簧上，弹簧在竖直方向做简谐运动。当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是弹簧的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是多少？欲使物体在振动中不离开弹簧，其最大振幅是多少？【解析】0.5mg；2A【点评】【例题5】如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧竖直立在桌面上，下端固定在桌面上，上端与质量为M的金属盘固定连接，金属盘内放一个质量为m的砝码。先让砝码随金属盘一起在竖直方向做简谐运动。（1）为使砝码不脱离金属盘，振幅最大不能超过多少？（2）振动过程中砝码对金属盘的最大压力是多少？【解析】 2mg【点评】【例题6】如图所示，质量为M的橡皮泥从一定高度自由下落，落到正下方被轻弹簧支起的木板上，并粘在木板上和木板一起做简谐振动木板质量为m，轻弹簧劲度系数为k，相碰前后弹簧压缩量变化为a，则( BD)A.系统的振幅为B.系统的振幅大于等C.木板下压a距离的时间为D.木板下压a距离的时间大于【解析】【点评】【例题7】如图所示，一轻质弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在AB两点间做简谐振动，O点为平衡位置。已知OC=h，振子的振动周期为T，某时刻物体正经过C点向上运动，则从此时刻开始的半个周期内( ABC )A.重力做功为2mgh B.重力的冲量为C.回复力做功为零 D.回复力的冲量为零【解析】【点评】【例题8】如图所示，轻质弹簧下端挂重为30N的物体A，弹簧伸长了3cm，再挂重为20N的物体B时又伸长了2cm，若将连接A和B的连线剪断，使A在竖直平面内振动时，下面结论正确的是（ A ）AB A、振幅是2cm B、振幅是3cm C、最大回复力是30N D、最大回复力是50N【解析】【点评】【例题8】如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木板B相连，木板A放在木板B上，两木板质量均为m，现加竖直向下的力F作用于A，A与B均静止.问：(1)将力F瞬间撤除后，两木板共同运动到最高点时，B对A的弹力多大？(2)要使两板不会分开，F应该满足什么条件？【解析】(1)把没有外力F作用时物体所处的位置为平衡位置，则物体被外力压下去后，根据对称性，当两木板到达最高点时，其回复力和最低点的回复力大小相等，也为F.此时共同的加速度由牛顿第二定律求得aF/2mA物体受到重力与支持力N，再应用牛顿第二定律有：mgNma所以NmgmamgF/2(2)要使两板不分离，则N0，由上式得F2mg【点评】此题利用了简谐运动的对称性来解题，关于平衡位置对称的两点，回复力大小和加速度大小相等.【例题9】一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为k=400N/m，在弹簧的上端与空心物体A连接，物体B置于A内，B的上下表面恰好与A接触，如图所示。A和B质量均为1kg，先将A向上抬高使弹簧伸长5cm后静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧形变量大小(g取10m/s2,阻力不计)求：(1)物体A的振幅；(2)物体B的最大速率；(3)在最高点和最低点A和B的作用力【解析】(1)振子在平衡位置时,所受合力为零,设此时弹簧被压缩x.(mA+mB)g=kx,开始释放时振子处在最大位移处,故振幅A为:A=5cm+5cm=10cm(2)由于开始时弹簧的伸长量恰等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量,故弹性势能相等,设振子的最大速率为v,从开始到平衡位置,根据机械能守恒定律:(3)在最高点,振子受到的重力和弹力方向相同,根据牛顿第二定律:A对B的作用力方向向下,其大小N1为:N1=mBa-mBg=10N在最低点,振子受到的重力和弹力方向相反,根据牛顿第二定律:A对B作用力方向向上,其大小N2为:N2=mBa+mBg=30N【点评】2、双弹簧模型：【例题1】如图所示，三角架质量为M，沿其中轴线用两根轻弹簧栓一质量为m的小球，原来三角架静止在水平面上，现使小球做上、下振动，当三角架对水平面的压力最小为零时，求：（1）此时小球的瞬时加速度？（2）若上下两弹簧的劲度系数均为k，则小球做简谐运动的振幅为多少？【解析】【点评】【例题2】（2001上海物理8）如图所示，一升降机在箱底有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中( CD )A.升降机的速度不断减小B.升降机的加速度不断变大C.先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功D.到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值【解析】本题实质上是一个竖直弹簧振子的物理模型问题.当升降机吊索断裂后升降机先做自由落体运动.当底部弹簧刚触地后，由于重力mg大于弹力FN，所以升降机仍向下做加速运动，随着弹簧压缩形变越大，向上的弹力也随之增大，所以向下的合力及加速度不断变小，直至mgFN时，a0，速度达到最大值vm，这段运动是速度增大、加速度变小的运动.根据动能定理WEk，即WGEk0，所以WG，重力做的正功大于弹力做的负功，当升降机从a0的平衡位置继续向下运动时，由于弹力大于重力，所以加速度方向向上，且不断变大，而速度v不断变小直至为0，这段过程中，WGWFNEk0，所以WG，重力做的正功小于弹力做的负功.由此可知，选项A、B错，而C正确.把升降机视为一个竖直弹簧振子，如图所示.弹簧刚触地时升降机的位置在A点，升降机向下运动到的最低点位置为B点，速度最大的平衡位置为O点.在A点时有向下的速度，A点为最大位移处到平衡位置中的一点，即A点并非最大位移点.而B点速度为零，就是振子平衡位置下方的最大位移点，故.既然A点的加速度aAg方向向下，根据弹簧振子的对称性，那么最大位移B点的最大加速度aBamaAg，方向向上，选项D正确.【点评】 解题示范 【例题1】弹簧振子从距平衡位置5cm处由静止释放，全振动10次所用的时间为8s，那么振子的振幅是 m，周期是 s，频率是 Hz，8s内的位移大小是 m，8s内的路程是 m。【解析】【点评】【例题2】弹簧振子的振幅取决于_，振幅的大小标志着_。【解析】【点评】【例题3】弹簧振子正在振动，振幅为A，周期为T，t1时刻运动到a点，t2时刻运动到b点，如果t2t1T/4，则ab两点间的距离可能是 ACD A.0 B.大于A C.等于A D.小于A【解析】【点评】【例题4】有一弹簧振子做简谐运动，则 A加速度最大时，速度最大 B速度最大时，位移最大C位移最大时，回复力最大 D回复力最大时，加速度最大【解析】振子加速度最大时，处在最大位移处，此时振子的速度为零，由F= - kx知道，此时振子所受回复力最大，所以选项A错，C、D对振子速度最大时，是经过平衡位置时，此时位移为零，所以选项B错故正确选项为C、D【点评】分析振动过程中各物理量如何变化时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系：位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动量、动能均减小；位移减小时，回复力、加速度、势能均减小，速度、动量、动能均增大各矢量均在其值为零时改变方向，如速度、动量均在最大位移处改变方向，位移、回复力、加速度均在平衡位置改变方向【例题5】如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。（1）最大振幅A是多大？（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？【解析】该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F- mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma，越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。（1）最大振幅应满足：kA=mg， A=（2）小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：Fm-mg=mg，Fm=2mg。【点评】【例题6】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动B、C相距20 cm某时刻振子处于B点经过0.5 s，振子首次到达C点求：（1）振动的周期和频率；（2）振子在5 s内通过的路程及位移大小；（3）振子在B点的加速度大小跟它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值【解析】（1）设振幅为A，由题意BC2A10 cm，所以A10 cm振子从B到C所用时间t05s为周期T的一半，所以T10s；f1/T10Hz（2）振子在1个周期内通过的路程为4A。故在t5s5T内通过的路程st/T4A200cm5 s内振子振动了5个周期，5s末振子仍处在B点，所以它偏离平衡位置的位移大小为10cm（3）振子加速度ax，所以aB：aPxB：xp10：45：2【点评】【例题7】一个弹簧振子的振动频率为f=5Hz，如图，振子在BC间往复运动，BC间距为20cm。从振子经过平衡位置向右运动开始计时，到t=3.25s时，振子的位移是多大？（规定向右为正方向）振子通过的路程是多少？【解析】由f=5HZ，可求出T=0.2s，由cm，可知A=10cm。由t=3.25s，可知在这段时间内振子完成全振动的次数为n=t/T=16.25，即振子从0开始振动了16个周期另加T/4，所以t=3.25s时振子的位移X=10cm，即振子在C位置。振子通过的路程：S=16.254A=650cm=6.5m。【点评】【例题8】如图所示，一个光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子，滑块A的质量为M、弹簧的劲度系数为k。现在振子上面放另一个质量为m的小物体B，它与振子一起做简谐运动，则小物体B受到的恢复力f跟位移x的关系式是 A、f= - kx B、C、 D、选题目的：考查简谐运动关系式的理解和推导【解析】由于A、B一起做简谐运动，恢复力F= - kx，根据牛顿第二定律，F=(M+m)a，对于物体B来说，它做简谐运动的恢复力f= - kx=ma，两式相比较，得k =k，因此f= -kx所以正确选项是B【点评】【例题9】如图所示，质量为m的木块放在竖直的弹簧上，m在竖直方向做简谐振动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最小值为物体自重的0.5倍，则物体对弹簧压力的最大值为 ，欲使物体在振动中不离开弹簧，其振幅不能超过 选题目的：考察回复力与振幅的理解【解析】物体m放在弹簧上让其缓慢下落，当重力mg与弹簧力kx相等时，物体处于平衡在此位置对物体施加向下的压力，使物体下移位移A时，撤去外力F，物体m将在竖直方向做简谐振动在振动过程中物体受重力和弹力作用，当压缩最小时，物体和弹簧的相互作用最小，应在平衡位置上方；当压缩量最大时，物体和弹簧的相互作用力最大，此位置应在平衡位置下方，且最小作用力和最大作用力的位置关于O点对称，离开平衡位置的距离均为A如图所示，物体m在最高点时弹力为，最低点时弹力为，则：KA=mg-N1 KA=N2-mg 由、式联立解得：N2= 2mg-N1= 1.5mg由牛顿第三定律知：N2=N2=1.5mg即物体对弹簧的最大压力为1.5 mg若要m在振动过程中不脱离弹簧，则物体m与弹簧的相互作用力达最小，即N=0，所以最大振幅即为物体m平衡时的压缩量设m能达到的最大振幅为A，则 KA=mg 由、式联立得： A=2A【点评】【例题10】在水平方向做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，最大速率为v，则下列说法正确的是（ AD ）A、从某时刻起，在半个周期时间内，弹力做功一定为零B、从某时刻起，在半个周期时间内，弹力做的功可能是0mv2之间的某一个值C、从某时刻起，在半个周期时间内，弹力的冲量一定为零D、从某时刻起，在半个周期时间内，弹力的冲量可能是02mv之间的某一个值【解析】做简谐运动的物体，半个周期后的速率一定与半个周期前相等，动能变化量为零，故弹力做功为零，所以A选项正确，B选项错误；从端点到端点，速度由零到零，冲量为0，从平衡位置到平衡位置，速度由v变到-v，冲量为2mv，起点为其他位置时，冲量介于两者之间，所以C选项错误，D选项正确。所以选AD.【点评】要注意动能和功是标量，而速度、动量和冲量是矢量。知识点二、单摆：1、引入：（1）讲述故事：1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。2、什么是单摆：（1）如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多（质点），这样的装置叫单摆。（2）理解： 悬点：固定; 摆球：体积小、质量大线长比球的直径大得多，可把摆球当作一个质点，只有质量无大小，悬线的长度就是摆长. 细线：不可伸缩、质量不计、较长线的伸缩和质量可以忽略使摆线有一定的长度而无质量，质量全部集中在摆球上. 空气等产生的阻力可以忽略不计；（3）单摆是一种理想化模型。【释例1】以下各装置中，哪个作为单摆更合适 D A1m长的橡皮绳上挂一个铁球B1m长的铁丝上挂一个乒乓球C0.3m长的细线下挂一个大钢球D1m长的细线下挂一个小钢球【解析】【点评】3、单摆的摆动：（1）当摆球静止于O点时，摆球受到的重力G和悬线的拉力F彼此平衡，O点就是单摆的平衡位置.（2）单摆的摆动：（3）以悬挂点为圆心在竖直平面内做圆弧运动（摆球以平衡位置O为中心振动）。（4）摆球沿着以平衡位置O为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动.【释例1】【解析】【点评】4、关于单摆的回复力：（1）如图所示，摆球受重力mg和绳子拉力F两个力的作用，将重力按切线方向和径向方向正交分解，则绳子的拉力T与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F提供了摆球振动所需的回复力Fmgsin OmgPQ（2）设单摆的摆长为l，在最大偏角很小的条件下，摆球对O点的位移x的大小与角所对应的弧长、角所对应的弦长都近似相等，即x=若偏角用弧度表示，则由数学关系知sin 所以重力沿切向的分力Fmgsin mg令k，则Fkx因为F的方向可认为与x方向相反，则F回kx由此可见单摆的偏角很小条件下的振动为简谐运动.(3)单摆振动的回复力是重力沿切线方向的分力，不能说成是重力和拉力的合力。(4)在左右两边最高点，速度为零，向心力为零，回复力最大；（5）在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零，F向=。【释例1】关于单摆做简谐运动的回复力正确的说法是 BCD A就是振子所受的合外力B振子所受合外力在振子运动方向的分力C振子的重力在运动方向的分力D振子经过平衡位置时回复力为零【解析】【点评】【释例2】一只单摆正在平衡位置O点附近摆动（最大摆角为） ，如图所示，则： 摆球此时所受的回复力是_； 摆球经过平衡位置时的速率是_； 摆球经过平衡位置时细线的拉力是 _.【解析】（1）mg sin（2）（3）3mg - 2mg cos【点评】5、单摆振动的周期：（1）伽利略发现了单摆运动的等时性，荷兰物理学家惠更斯（16291695）研究了单摆的摆动，定量得到：单摆的周期，即单摆振动时具有如下规律： 单摆的振动周期与振幅的大小无关单摆的等时性。 单摆的振动周期与摆球的质量无关。 单摆的振动周期与摆长的平方根成正比。其中L为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。 单摆的振动周期与重力加速度的平方根成反比。单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度 单摆的周期为单摆的固有周期，相应地为单摆的固有频率 单摆的周期公式可以由简谐运动的周期公式，以代入而得到 单摆的周期公式在最大偏角5时成立（达5时，与实际测量值的相对误差为0.01）【释例1】甲、乙两个单摆放在同一个地方，若其摆长之比为 l1：l2= 4：9，则它们的周期之比T1：T2为_ ，如果在一分钟内甲摆动30次，则乙摆动_次。【解析】2：3;20【点评】【释例2】（2000春季高考8）已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6m.则两单摆摆长la与lb分别为( B ）A、la =2.5m， lb =0.9mB、la =0.9m， lb =2.5mC、la =2.4m， lb =4.0mD、 la =4.0m， lb =2.4m【解析】【点评】【释例3】（2009上海物理4）做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的（ C ）A频率、振幅都不变B频率、振幅都改变C频率不变、振幅改变D频率改变、振幅不变【解析】由单摆的周期公式，可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，由可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，因此振幅改变，所以C正确。【点评】6、单摆的应用：（1）利用单摆可测定当地的重力加速度g： 原理：由单摆周期公式得： 测量：用米尺（最小分度为lmm）测出摆长L（悬点到摆球中心的距离）；用秒表测出单摆完成3050次全振动所用的时间t得到T，摆长一般为1m左右，测周期的计时以摆球经过平衡位置时开始【释例1】（2006成都零诊）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用毫米刻度尺测得悬线长为98.00cm，用10分度的游标卡尺测摆球的直径时示数如右图所示，则该单摆的摆长为_cm。 【解析】【点评】【释例2】一学生用单摆测当地的重力加速度时，在挂好单摆后，在摆角小于5的条件下，测得单摆的振动周期为T1；再使摆长增加l ，仍在摆角小于5的条件下，测得单摆的振动周期为T2，由此，可计算出当地的重力加速度值 g = 。【解析】【点评】（2）摆钟问题： 单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。 在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数），再由频率公式可以得到： 摆钟是靠调整摆长而改变周期, 使摆钟的走时与标准时间同步 周期为2s的单摆叫做秒摆【释例1】有一摆钟，平时走时准确，搬家后发现它变慢了，为重新使其走时准确，下面办法中正确的是（A） A稍微调整摆长，使其变短B稍微调整摆长，使其变长C适当增加摆锤质量D将指针适当往前拨动 【解析】【点评】【例题2】一只计时准确的摆钟从甲地拿到了乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述正确的是( C )A.g甲g乙，将摆长适当增长B.g甲g乙，将摆长适当缩短C.g甲g乙，将摆长适当增长D.g甲g乙，将摆长适当缩短【解析】钟摆摆动加快，周期变小，由于T2可知l一定时，g增大，则T变小，所以g甲g乙，要使T不变，应适当增长摆长l.【点评】【例题3】某摆钟，当其摆长为l1时，在一段时间内快了t；当其摆长为l2时，在同样一段时间内慢了t，试求走时准确时摆钟的摆长。【错解】设准确的摆钟摆长为l0，周