张恭庆泛函分析上册答案.pdf

张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 1 - 课后习题解答与辅导课后习题解答与辅导 张张张张秀秀秀秀洲洲洲洲 二二二二 0 0 0 0 0 0 0 0 九九九九 年年年年 三三三三 月月月月 一一一一 十十十十 日日日日 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 2 - 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 3 - 1.1.51.1.51.1.51.1.5 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 4 - 1.1.61.1.61.1.61.1.6 1.1.71.1.71.1.71.1.7 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 5 - 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 6 - 1.2.21.2.21.2.21.2.2 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 7 - 1.2.31.2.31.2.31.2.3 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 8 - 1.2.41.2.41.2.41.2.4 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 9 - 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 10 - 1.3.31.3.31.3.31.3.3 1.3.41.3.41.3.41.3.4 1.3.51.3.51.3.51.3.5 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 11 - 1.3.71.3.71.3.71.3.7 1.3.81.3.81.3.81.3.8 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 12 - 1.3.91.3.91.3.91.3.9 1.4.11.4.11.4.11.4.1 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 13 - 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 14 - 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 15 - 1.4.5-61.4.5-61.4.5-61.4.5-6 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 16 - 1.4.91.4.91.4.91.4.9 1.4.111.4.111.4.111.4.11 1.4.121.4.121.4.121.4.12 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 17 - 1.4.131.4.131.4.131.4.13 1.4.14 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 18 - 1.4.151.4.151.4.151.4.15 1.4.171.4.171.4.171.4.17 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 19 - 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 20 - 1.5.11.5.11.5.11.5.1证明：证明：(1)(1)(1)(1) ( ( ( (? ? ? ? ) ) ) ) 若若x x x x int(int(int(int(E E E E) ) ) )，存在，存在 0 0 0 0，使得，使得B B B B ( ( ( (x x x x) ) ) ) E E E E 注意到注意到x x x x+ + + +x x x x/ / / /n n n n? ? ? ?x x x x( ( ( (n n n n? ? ? ? ) ) ) )，故存在，故存在N N N N + + + +，使得，使得x x x x+ + + +x x x x/ / / /N N N N B B B B ( ( ( (x x x x) ) ) ) E E E E 即即x x x x/( /( /( /(N N N N/( /( /( /( 1 1 1 1+ + + +N N N N) ) ) ) ) ) ) ) E E E E因此因此P P P P( ( ( (x x x x) ) ) ) N N N N/( /( /( /( 1 1 1 1 + + + +N N N N) ) ) ) 1 1 1 1， 使得使得y y y y= = = =a a a a x x x x E E E E 因因 int(int(int(int(E E E E) ) ) )，故存在故存在 0 0 0 0，使得使得B B B B ( ( ( ( ) ) ) ) E E E E令令 = = = = ( ( ( (a a a a 1)/1)/1)/1)/a a a a， z z z z B B B B ( ( ( (x x x x) ) ) )，令，令w w w w= = = =( ( ( (a a a a z z z z y y y y)/()/()/()/(a a a a 1)1)1)1)， 则则| | | |w w w w| | | | = = = = | | | | ( ( ( (a a a a z z z z y y y y)/()/()/()/(a a a a 1)1)1)1) | | | | = = = = | | | |a a a a z z z z y y y y|/(|/(|/(|/(a a a a 1)1)1)1) = = = = | | | |a a a a z z z z a a a a x x x x|/(|/(|/(|/(a a a a 1)1)1)1) = = = =a a a a| | | |z z z z x x x x|/(|/(|/(|/(a a a a 1)1)1)1) 0 0 0 0，存在，存在y y y y E E E E，使得，使得| | | |x x x x y y y y| | | | 0 0 0 0，故，故AxAxAxAx的各分量也非负但不全为零的各分量也非负但不全为零 x x x x C C C C，设，设f f f f( ( ( (x x x x) ) ) ) = = = = ( ( ( (AxAxAxAx)/()/()/()/( 1 1 1 1 i i i i n n n n( ( ( (AxAxAxAx) ) ) )i i i i) ) ) )，则，则f f f f( ( ( (x x x x) ) ) ) C C C C 容易验证容易验证f f f f: : : :C C C C? ? ? ?C C C C还是连续的还是连续的 由由 BrouwerBrouwerBrouwerBrouwer 不动点定理，存在不动点定理，存在f f f f的不动点的不动点x x x x0 0 0 0 C C C C 即即f f f f( ( ( (x x x x0 0 0 0) ) ) ) = = = =x x x x0 0 0 0，也就是，也就是( ( ( (AxAxAxAx0 0 0 0)/()/()/()/( 1 1 1 1 i i i i n n n n( ( ( (AxAxAxAx0 0 0 0) ) ) )i i i i) ) ) ) = = = =x x x x0 0 0 0 令令 = = = = 1 1 1 1 i i i i n n n n( ( ( (AxAxAxAx0 0 0 0) ) ) )i i i i，则有，则有AxAxAxAx0 0 0 0= = = = x x x x0 0 0 0 1.5.61.5.61.5.61.5.6证明：设证明：设B B B B= = = = u u u u C C C C0,0,0,0,1111| | |? ? ? ?0,0,0, 0, 1111u u u u( ( ( (x x x x) ) ) )dx dxdxdx= = = = 1 1 1 1，u u u u( ( ( (x x x x) ) ) ) 0 0 0 0 ， 则则B B B B是是C C C C0,0,0,0,1111中闭凸集中闭凸集 设设 maxmaxmaxmax( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) ) 0,0,0,0, 1111 0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) ) = = = =MMMM，minminminmin( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) ) 0,0,0,0, 1111 0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) ) = = = =m m m m， ? ? ? ?0,0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )dydydydy) ) ) )dxdxdxdx= = = =N N N N，maxmaxmaxmaxx x x x 0,0,0,0, 1111| | |? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )dydydydy|= |= |= |=P P P P 令令( ( ( (S S S S u u u u)( )( )( )(x x x x) ) ) ) = = = =( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy)/()/()/()/(? ? ? ?0,0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy) ) ) )dxdxdxdx) ) ) ) 则则? ? ? ?0,0,0,0, 1111( ( ( (S S S S u u u u)( )( )( )(x x x x) ) ) )dxdxdxdx= = = = 1 1 1 1，u u u u( ( ( (x x x x) ) ) ) 0 0 0 0； 即即S S S S u u u u B B B B因此因此S S S S是从是从B B B B到到B B B B内的映射内的映射 u u u u, , , ,v v v v B B B B， | | | | ? ? ? ?0,0,0, 0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy ? ? ? ?0, 0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )v v v v( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy| | | | = = = = | | | | ? ? ? ?0,0,0, 0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) ) ( ( ( (u u u u( ( ( (y y y y) ) ) ) v v v v( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy| | | | = = = = maxmaxmaxmaxx x x x 0,0,0, 0, 1111| | |? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) ) ( ( ( (u u u u( ( ( (y y y y) ) ) ) v v v v( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy| | | MMMM | | | |u u u u v v v v| | | |； 因此映射因此映射u u u u? ? ? ? ? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy在在B B B B上连续上连续 类似地，映射类似地，映射u u u u? ? ? ? ? ? ? ?0,0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy) ) ) )dxdxdxdx也在也在B B B B上连续上连续 所以，所以，S S S S在在B B B B上连续上连续 下面证明下面证明S S S S( ( ( (B B B B) ) ) )列紧列紧 首先，证明首先，证明S S S S( ( ( (B B B B) ) ) )是一致有界集是一致有界集 u u u u B B B B， | | | |S S S S u u u u| | | |= = = =| | | |( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy)/()/()/()/(? ? ? ?0,0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy) ) ) )dxdxdxdx)| )| )| )| = = = = maxmaxmaxmaxx x x x 0,0,0, 0, 1111| | |? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy|/(|/( |/(|/(? ? ? ?0, 0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy) ) ) )dxdxdxdx) ) ) ) ( ( ( (MMMM ? ? ? ?0,0,0,0, 1111u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy|/(|/( |/(|/(m m m m? ? ? ?0,0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy) ) ) )dxdxdxdx) ) ) ) = = = =MMMM/ / / /m m m m， 故故S S S S( ( ( (B B B B) ) ) )是一致有界集是一致有界集 其次，证明其次，证明S S S S( ( ( (B B B B) ) ) )等度连续等度连续 u u u u B B B B， t t t t1 1 1 1, , , ,t t t t2 2 2 2 0,0,0,0,1111， | | |( ( ( (S S S S u u u u)( )( )( )(t t t t1 1 1 1) ) ) ) ( ( ( (S S S S u u u u)( )( )( )(t t t t2 2 2 2) ) ) )| | | = = = =| | |? ? ? ?0,0,0, 0, 1111K K K K( ( ( (t t t t1 1 1 1, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy ? ? ? ?0, 0,0,0, 1111K K K K( ( ( (t t t t2 2 2 2, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy|/(|/( |/(|/(? ? ? ?0, 0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy) ) ) )dxdxdxdx) ) ) ) ? ? ? ?0,0,0, 0, 1111| | |K K K K( ( ( (t t t t1 1 1 1, , , ,y y y y) ) ) ) K K K K( ( ( (t t t t2 2 2 2, , , ,y y y y) ) ) )| | |u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy/( /( /( /(m m m m? ? ? ?0, 0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy) ) ) )dxdxdxdx) ) ) ) (1/(1/(1/(1/m m m m) ) ) ) maxmaxmaxmaxy y y y 0,0,0, 0, 1111| | |K K K K( ( ( (t t t t1 1 1 1, , , ,y y y y) ) ) ) K K K K( ( ( (t t t t2 2 2 2, , , ,y y y y) ) ) )| | | 由由K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )在在0,0,0,0, 1111 0,0,0,0, 1111上的一致连续性，上的一致连续性， 0 0 0 0，存在，存在 0 0 0 0，使得，使得 ( ( ( (x x x x1 1 1 1, , , ,y y y y1 1 1 1), ), ), ), ( ( ( (x x x x2 2 2 2, , , ,y y y y2 2 2 2) ) ) ) 0,0,0,0,1111，只要，只要| | | | ( ( ( (x x x x1 1 1 1, , , ,y y y y1 1 1 1) ) ) ) ( ( ( (x x x x2 2 2 2, , , ,y y y y2 2 2 2) ) ) ) | | | | m m m m，则，则n n n n m m m m 1 1 1 1 0 0 0 0，从，从z z z zn n n n m m m m 1 1 1 1 而解析而解析 ( ( ( (z z z zn n n n/(2/(2/(2/(2 ) ) ) )1/2 1/21/21/2, , , ,z z z zm m m m/(2 /(2/(2/(2 ) ) ) )1/2 1/21/21/2) ) ) ) = = = = (1/ (1/(1/(1/i i i i) ) ) )? ? ? ?| | | z z z z | | | = = = = 1 1 1 1( ( ( (z z z zn n n n/(2/(2/(2/(2 ) ) ) )1/2 1/21/21/2 ( ( ( (z z z z* * * *) ) ) )m m m m/(2 /(2/(2/(2 ) ) ) )1/2 1/21/21/2)/ )/ )/ )/z z z z dz dzdzdz = = = = (1/(2(1/(2(1/(2(1/(2 i i i i) ) ) )? ? ? ?| | | z z z z | | | = = = = 1 1 1 1z z z zn n n n ( ( ( (z z z z* * * *) ) ) )m m m m/ / / /z z z z dzdzdzdz= = = =(1/(2(1/(2(1/(2(1/(2 i i i i) ) ) )? ? ? ?| | | z z z z | | | = = = = 1 1 1 1z z z zn n n n m m m m 1 1 1 1 dzdzdzdz= = = =0 0 0 0 因此，因此， z z z zn n n n/(2/(2/(2/(2 ) ) ) )1/2 1/21/21/2 n n n n 0 0 0 0是正交规范集是正交规范集 1.6.91.6.91.6.91.6.9 1.6.101.6.101.6.101.6.10证明：容易验证证明：容易验证 e e e en n n n ? ? ? ? f f f fn n n n 是正交规范集，下面只证明是正交规范集，下面只证明 e e e en n n n ? ? ? ? f f f fn n n n 是是X X X X的基的基 x x x x X X X X，由正交分解定理，存在，由正交分解定理，存在x x x x关于关于X X X X0 0 0 0的正交分解的正交分解 x x x x= = = =y y y y+ + + +z z z z，其中，其中y y y y X X X X0 0 0 0，z z z z X X X X0 0 0 0 因因 e e e en n n n, , , , f f f fn n n n 分别是分别是X X X X0 0 0 0和和X X X X0 0 0 0 的正交规范基，的正交规范基， 故故y y y y= = = = n n n n ( ( ( (y y y y, , , ,e e e en n n n) ) ) )e e e en n n n，z z z z= = = = n n n n ( ( ( (z z z z, , , ,f f f fn n n n) ) ) )f f f fn n n n 因因z z z z X X X X0 0 0 0 ，故，故( ( ( (x x x x, , , ,e e e en n n n) ) ) ) = = = = ( ( ( (y y y y+ + + +z z z z, , , ,e e e en n n n) ) ) ) = = = = ( ( ( (y y y y, , , ,e e e en n n n) ) ) ) + + + +( ( ( (z z z z, , , ,e e e en n n n) ) ) ) = = = = ( ( ( (y y y y, , , ,e e e en n n n) ) ) ) 因因y y y y X X X X0 0 0 0，故，故( ( ( (x x x x, , , ,f f f fn n n n) ) ) ) = = = = ( ( ( (y y y y+ + + +z z z z, , , ,f f f fn n n n) ) ) ) = = = = ( ( ( (y y y y, , , ,f f f fn n n n) ) ) ) + + + +( ( ( (z z z z, , , ,f f f fn n n n) ) ) ) = = = = ( ( ( (z z z z, , , ,f f f fn n n n) ) ) ) 故故x x x x= = = =y y y y+ + + +z z z z= = = = n n n n ( ( ( (y y y y, , , ,e e e en n n n) ) ) )e e e en n n n+ + + + n n n n ( ( ( (z z z z, , , ,f f f fn n n n) ) ) )f f f fn n n n = = = = n n n n ( ( ( (x x x x, , , ,e e e en n n n) ) ) )e e e en n n n+ + + + n n n n ( ( ( (x x x x, , , ,f f f fn n n n) ) ) )f f f fn n n n因此因此 e e e en n n n ? ? ? ? f f f fn n n n 是是X X X X的正交规范基的正交规范基 1.6.111.6.111.6.111.6.11证明：首先，令证明：首先，令 k k k k( ( ( (z z z z) ) ) ) = = = = ( ( ( (k k k k+1+1+1+1)/ )/ )/ )/ ) ) ) )1/2 1/21/21/2z z z zk k k k ( ( ( (k k k k 0 0 0 0 ) ) ) )， 则则 k k k k k k k k 0 0 0 0是是H H H H2 2 2 2( ( ( (D D D D) ) ) )中的正交规范基中的正交规范基 那么，那么， u u u u( ( ( (z z z z) ) ) ) H H H H2 2 2 2( ( ( (D D D D) ) ) )，设，设u u u u( ( ( (z z z z) ) ) ) = = = = k k k k 0 0 0 0a a a ak k k kz z z zk k k k，则，则 k k k k ，有，有 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 26 - ( ( ( (u u u u, , , , k k k k) ) ) ) = = = = ? ? ? ?D D D Du u u u( ( ( (z z z z) ) ) ) k k k k( ( ( (z z z z) ) ) )* * * *dxdydxdydxdydxdy = = = = ? ? ? ?D D D D( ( ( ( j j j j 0 0 0 0a a a aj j j jz z z zj j j j) ) ) ) k k k k( ( ( (z z z z) ) ) )* * * *dxdydxdydxdydxdy = = = = j j j j 0 0 0 0a a a aj j j j( ( ( ( /( /( /( /(j j j j+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2? ? ? ? D D D D( ( ( (j j j j+1 +1+1+1)/ )/ )/ )/ ) ) ) )1/2 1/21/21/2z z z zj j j j k k k k( ( ( (z z z z) ) ) )* * * *dxdy dxdydxdydxdy = = = = j j j j 0 0 0 0a a a aj j j j( ( ( ( /( /( /( /(j j j j+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2? ? ? ? D D D D j j j j( ( ( (z z z z) ) ) ) k k k k( ( ( (z z z z) ) ) )* * * *dxdy dxdydxdydxdy = = = = j j j j 0 0 0 0a a a aj j j j( ( ( ( /( /( /( /(j j j j+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2( ( ( ( j j j j, , , , k k k k) ) ) ) = = = =a a a ak k k k( ( ( ( /( /( /( /(k k k k+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2 即即u u u u( ( ( (z z z z) ) ) )的关于正交规范基的关于正交规范基 k k k k k k k k 0 0 0 0的的 FourierFourierFourierFourier 系数为系数为a a a ak k k k( ( ( ( /( /( /( /(k k k k+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2( ( ( (k k k k 0 0 0 0 ) ) ) ) (1)(1)(1)(1) 如果如果u u u u( ( ( (z z z z) ) ) )的的 TaylorTaylorTaylorTaylor 展开式是展开式是u u u u( ( ( (z z z z) ) ) ) = = = = k k k k 0 0 0 0b b b bk k k kz z z zk k k k， 则则u u u u( ( ( (z z z z) ) ) )的的 FourierFourierFourierFourier 系数为系数为b b b bk k k k( ( ( ( /( /( /( /(k k k k+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2( ( ( (k k k k 0 0 0 0 ) ) ) ) 由由 BesselBesselBesselBessel 不等式，不等式， k k k k 0 0 0 0| | |b b b bk k k k( ( ( ( /( /( /( /(k k k k+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2| | |2 2 2 2 | | | |u u u u| | | | 0 0 0 0，存在，存在N N N N + + + +，使得，使得 m m m m, , , ,n n n n N N N N，都有，都有| | | |u u u un n n n u u u um m m m| | | | 即即f f f f在在X X X X上有下界，因而上有下界，因而f f f f在在C C C C有下确界有下确界 = = = = infinfinfinfx x x x C C C Cf f f f( ( ( (x x x x) ) ) ) 张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题张恭庆泛函分析题数数数数 计计计计 院院院院张张张张 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 28 - 注意到注意到a a a a( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )实际上是实际上是X X X X上的一个内积，上的一个内积， 记它所诱导的范数为记它所诱导的范数为| | | |x x x x| | | |a a a a= = = =a a a a( ( ( (x x x x, , , ,x x x x) ) ) )1/2 1/21/21/2，则 ，则| | | | | | | |a a a a与与| | | | | | | |是等价范数是等价范数 因此因此f f f f( ( ( (x x x x) ) ) ) = = = =a a a a( ( ( (x x x x, , , ,x x x x) ) ) ) Re(Re(Re(Re(u u u u0 0 0 0, , , ,x x x x) ) ) ) = = = = | | | |x x x x| | | |a a a a2 2 2 2 Re(Re(Re(Re(u u u u0 0 0 0, , , ,x x x x) ) ) ) 设设C C C C中的点列中的点列 x x x xn n n n 是一个极小化序列，满足是一个极小化序列，满足 f f f f( ( ( (x x x xn n n n) ) ) ) + + + +1/ 1/ 1/ 1/n n n n( ( ( ( n n n n + + + +) ) ) ) 则由平行四边形等式，则由平行四边形等式， | | | |x x x xn n n n x x x xm m m m| | | |a a a a2 2 2 2= = = = 2(|2(|2(|2(|x x x xn n n n| | | |a a a a2 2 2 2+ + + + | | | |x x x xm m m m| | | |a a a a2 2 2 2) ) ) ) 4|4|4|4| ( ( ( (x x x xn n n n+ + + +x x x xm m m m)/2)/2)/2)/2| | | |a a a a2 2 2 2 = = = = 2(2(2(2(f f f f( ( ( (x x x xn n n n) ) ) ) + + + + Re(Re(Re(Re(u u u u0 0 0 0, , , ,x x x xn n n n) ) ) ) + + + +f f f f( ( ( (x x x xm m m m) ) ) ) + + + + Re(Re(Re(Re(u u u u0 0 0 0, , , ,x x x xm m m m) ) ) ) ) ) ) ) 4(4(4(4(f f f f( ( ( (x x x xn n n n+ + + +x x x xm m m m)/2)/2)/2)/2) + + + + Re(Re(Re(Re(u u u u0 0 0 0, , , , ( ( ( (x x x xn n n n+ + + +x x x xm m m m)/2)/2)/2)/2) = = = = 2(2(2(2(f f f f( ( ( (x x x xn n n n) ) ) ) + + + +f f f f( ( ( (x x x xm m m m) ) ) ) 4 4 4 4f f f f( ( ( (x x x xn n n n+ + + +x x x xm m m m)/2)/2)/2)/2) + + + + 2 2 2 2Re(Re(Re(Re( ( ( ( (u u u u0 0 0 0, , , ,x x x xn n n n) ) ) ) + + + + ( ( ( (u u u u0 0 0 0, , , ,x x x xm m m m) ) ) ) ( ( ( (u u u u0 0 0 0, , , ,x x x xn n n n+ + + +x x x xm m m m) ) ) ) ) ) ) ) = = = = 2(2(2(2(f f f f( ( ( (x x x xn n n n) ) ) ) + + + +f f f f( ( ( (x x x xm m m m) ) ) ) 4 4 4 4f f f f( ( ( (x x x xn n n n+ + + +x x x xm m m m)/2)/2)/2)/2) 2(2(2(2( + + + +1/ 1/ 1/ 1/n n n n+ + + + + + + + 1/ 1/ 1/ 1/m m m m) ) ) ) 4 4 4 4 = = = = 2(1/2(1/2(1/2(1/n n n n+ + + + 1/ 1/ 1/ 1/m m m m) ) ) ) ? ? ? ? 0 0 0 0 ( ( ( (m m m m, , , ,n n n n? ? ? ? ) ) ) ) 因此因此| | | |x x x xn n n n x x x xm m m m| | | |2 2 2 2 (1/(1/(1/(1/ ) ) ) )| | | |x x x xn n n n x x x xm m m m| | | |a a a a2 2 2 2? ? ? ? 0 0 0 0 ( ( ( (m m m m, , , ,n n n n? ? ? ? ) ) ) ) 即即 x x x x