【数学】2011年高考二轮考点专题突破检测：数列专题 数学思想方法专题（含详细答案） .doc

专题达标检测一、选择题1在等差数列an中，若a22a6a10120，则a3a9等于 ()a30 b40 c60 d80解析：由等差数列性质：若mnpq，则amanapaq，故a22a6a104a6120，故a630，a3a92a623060.答案：c2(2009宁夏、海南理)等比数列an的前n项和为sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a11，则s4等于 ()a7 b8 c15 d16解析：设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列得4a24a1a3.4a1q4a1a1q2.q24q40q2，s415.答案：c3等比数列an中，a1512，公比q，用n表示它的前n项之积：na1a2an，则n中最大的是 ()a11 b10 c9 d8解析：na1a2anaq12n129n(1)2，当n9时，n最大故选c答案：c4设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则数列(nn*)的前n项和是()a. b. c. d.解析：f(x)mxm1a2x1，m2，a1，f(x)x2xx(x1)，sn11.答案：a5如果数列an满足a12，a21，且(n2，nn*)，则这个数列的第10项等于 ()a. b. c. d.解析：11，2，是首项为，公差为的等差数列，n，a10，故选d.答案：d6数列an中，a11，an、an1是方程x2(2n1)x0的两个根，则数列bn的前n项和sn ()a. b. c. d.解析：由题意得anan12n1，又annan1(n1)，a11ann，又anan1，bn.snb1b2bn1.答案：d二、填空题7数列an的构成法则如下：a11，如果an2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式an1an2，否则用递推公式an13an，则a6_.解析：a121n，a23a13.a221a1，a33a29，a327，a47，a425，a55，a523a2，a63a515.答案：158已知数列an满足(nn*)，且a11，则an_.解析：由已知得，a11，左右两边分别相乘得an1.答案： 9如图，它满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n2)行的第2个数是_解析：设第n(n2)行的第2个数构成数列an，则有a3a22，a4a33，a5a44，anan1n1，相加得ana223(n1)(n2)，an2.答案：10对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是_解析：yxn(1x)，y(xn)(1x)(1x)xnnxn1(1x)(xn)f(2)n2n12n(n2)2n1.函数在点x2处点的纵坐标为y2n.切线方程为y2n(n2)2n1(x2)，与y轴交点纵坐标为y(n1)2nan2n，数列成等比数列，首项为2，公比为2，前n项和为2(2n1)2n12.答案：2n12三、解答题11等差数列an的各项均为正数，a13，前n项和为sn，bn为等比数列， b11，且b2s264，b3s3960.(1)求an与bn；(2)求的值解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正数，an3(n1)d，bnqn1，依题意有，解得 或(舍去)，故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)由(1)知sn35(2n1)n(n2)，所以.12已知数列an满足a12，an122an.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an2bnc)2n，试推断是否存在常数a、b、c，使得对一切nn*，anbn1bn恒成立？若存在，求出a、b、c的值；若不存在，说明理由；(3)求证：i(n22n2)2n2.(1)解：由已知得2，是公比为2的等比数列，且首项为2，22n1，an2nn2(2)解：bn(an2bnc)2n，bn1bna(n1)2b(n1)c2n1(an2bnc)2nan2(4ab)n2a2bc2n.若anbn1bn恒成立，则an2(4ab)n2a2bcn2恒成立，解得a1，b4，c6，故存在常数a1，b4，c6满足条件(3)证明：由(2)得，bn(n24n6)2n，i(b2b1)(b3b2)(b4b3)(bn1bn)bn1b1(n1)24(n1)62n16(n22n3)2n162y3x，那么 ()axy0cxy0解析：设f(x)2x3x.因为2x，3x均为r上的增函数，所以f(x)2x3x是r上的增函数又由2x3x2y3y2y3(y)，即f(x)f(y)，xy，即xy0.选b.答案：b2设函数f(x)x3sin x，若0时，f(mcos )f(1m)0恒成立，则实数m的取值范围是 ()a(0,1) b(，0)c(，1) d.解析：易知f(x)为奇函数、增函数，f(mcos )f(1m)0，即f(mcos )f(m1)，mcos m1，而0时，cos 0,1，得m1.答案：c3方程x2xm0在x1,1上有实根，则m的取值范围是 ()am bmcm dm解析：mx2x2，又当x时，m最小为，m.答案：d4已知函数f(x)32|x|，g(x)x22x，构造函数f(x)，定义如下：当f(x)g(x)时，f(x)g(x)；当f(x)g(x)时，f(x)f(x)那么f(x) ()a有最大值3，最小值1b有最大值72，无最小值c有最大值3，无最小值d无最大值，也无最小值解析：画图得到f(x)的图象：为射线ac、抛物线弧ab及射线bd三段，联立方程组得xa2，代入得f(x)最大值为72，由图可得f(x)无最小值，从而选b.答案：b5已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，以下四个图象中，yf(x)的大致图象是 ()解析：函数yxf(x)是yf(x)与yx的复合函数，当y0且xr时，必有f(x)0.因而其图象与x轴交点即为f(x)0两根由图象提供的信息，函数yf(x)在x1和x1处取得极值观察图象，只有c项合适答案：c6当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则a的范围是 ()a(0,1) b(1,2) c(1,2 d.解析：设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图象在f2(x)logax的下方即可当0a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，loga21，11且nn*)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nn*)的表达式为_解析：由f1(x)f(x)和fn(x)fn1fn1(x)(n1且nn*)，得f2(x)f1f1(x)，f3(x)f2f2(x)，由此猜想fn(x)(nn*)答案：8若方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)只有一个根，则a的取值范围是_解析：原方程等价于即，构造函数yx25x3(1x3)和ya，作出它们的图象，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况为：当1a3或a时，原方程有一解；当3a时，原方程无解因此，a的取值范围是1a3或a.答案：1a3或a9若曲线y2|x|1与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件是_解析：y2，其图象如图所示，对直线ykxb，k0时，直线与曲线一定相交，只有当k0，且1b1时无交点故填k0；1b1.答案：k0，1b4xp3对一切0p4均成立，则实数x的取值范围为_解析：x2px4xp3，(x1)px24x30.令g(p)(x1)px24x3，则要使它对0p4均有g(p)0，只要，x3或x3或x1时，a(1a)f(x)1，2f(x)2，只要a(1a)2，解得a43.10)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数(1)试确定a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围解：(1)由题意知f(1)3c， 因此bc3c，从而b3.又对f(x)求导得f(x)4ax3ln xax44bx3x3(4aln xa4b)由题意f(1)0，因此a4b0，解得a12.(2)由(1)知f(x)48x3ln x(x0)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，此时f(x)为增函数因此f(x)的单调递减区间为(0,1)，而f(x)的单调递增区间为(1，)(3)由(2)知，f(x)在x1处取得极小值f(1)3c，此极小值也是最小值要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2.即2c2c30，从而(2c3)(c1)0，解得c或c1.所以c的取值范围为(，1.13已知函数f(x)x28x，g(x)6ln xm.(1)求f(x)在区间t，t1上的最大值h(t)；(2)是否存在实数m使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由解：(1)f(x)x28x(x4)216.当t14，即t4时，f(x)在t，t1上单调递减，h(t)f(t)t28t.综上，h(t)(2)函数yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数(x)g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点(x)x28x6ln xm，(x)2x8(x0)当x(0,1)时，(x)0，(x)是增函数；当x(1,3)时，(x)0，(x)是增函数；当x1或x3时，(x)0.(x)极大值(1)m7，(x)极小值(3)m6ln 315.当x充分接近0时，(x)0要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即7m2)0.023，则p(22) ()a0.477 b0.628 c0.954 d0.977解析：p(22)12p( 2)10.0460.954.答案：c6已知随机变量和，其中127，且e34，若的分布列如下表，则m的值为 ()1234pmna. b. c. d.解析：本题考查随机变量的期望及有关的运算，由127e12e73412e7e12m3n4，又mn1，联立求解可得m.答案：a二、填空题7(ax)10的展开式中x4项的系数为210，则实数a的值为_解析：二项展开式的通项tr1c(ax)10r(1)rxca10r(1)rx10，令104得r4，由ca6210，得a61，故a1.答案：18左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球，4个白球若从左口袋里取出1个球装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球的概率为_解析：分两种情况，从左边口袋里取出的是红球放在右边口袋里，则从右边口袋里取出的是红球，其概率是；从左边口袋里取出的是白球，再从右边的口袋里取出的是红球，其概率是，所求概率为.答案：9(2010广东河源)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，则刚好构成直角三角形的概率为_解析：直角三角形的斜边是圆的直径，而圆周上的10个等分点能组成5条直径，直角三角形的个数为5c40(个)而每3个点能构成的三角形有c120(个)，所求概率为p.答案：10(2010湖北)某射手射击所得环数的分布列如下：78910px0.10.3y已知的期望e8.9，则y的值为_解析：x0.10.3y1，即xy0.6.又7x0.82.710y8.9，化简得7x10y5.4由联立解得x0.2，y0.4.答案：0.4三、解答题11(2010湖南)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数x的分布列和数学期望解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.020.1x0.370.391，解得x0.12.(2)由题意知，xb(3,0.1)因此p(x0)c30.930.729，p(x1)c0.10.920.243，p(x2)c0.120.90.027，p(x3)c0.130.001.故随机变量x的分布列为x0123p0.7290.2430.0270.001x的数学期望为ex30.10.3.12(2010江苏)某工厂生产甲、乙两种产品甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元设生产各件产品相互独立(1)记x(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求x的分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率解：(1)由题设知，x的可能取值为10,5,2，3，且p(x10)0.80.90.72，p(x5)0.20.90.18，p(x2)0.80.10.08，p(x3)0.20.10.02.由此得x的分布列为x32510p0.020.080.180.72(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有(4n)件由题设知4n(4n)10，解得n，又nn，得n3或n4.所以pc0.830.2c0.840.819 2.故所求