北大附中高考数学专题复习极限经典答疑.docx

学科：数学教学内容：极限经点答疑（一）【学法旨要】1本章学习的目标是什么?(1)从数列的变化趋势理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限，并了解数列极限的-n定义；掌握数列极限的四则运算法则，会用它求一些数列的极限(2)从函数的变化趋势理解函数的极限概念，知道基本初等函数在其定义域内每一点的极限值等于该点的函数值；掌握极限的四则运算法则；了解两个重要极限(3)了解函数在某一点处连续的意义和初等函数在定义域内每点处都连续；会从几何直观理解闭区间上连续函数有最大值与最小值2学好本章知识的关键在哪里?学好本章的关键就在于理解数列极限和函数极限的概念只有深刻理解概念，才能在此基础上解决有关极限的问题【经点答疑】1什么是数列的极限?在引入数列极限的精确定义之前，我们先看一句中国古语：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”这句话的意思是说：“有一根一尺长的木棒，每天截下前一天留下的一半，永远也截不完”我们来考察每天所剩余的木棒长度如何随着天数的改变而变化因为日取其半，所以第1天剩余的木棒长度为，第2天截下尺的一半，所以剩余的木棒长度为，依此类推，第n天剩余的木棒长度为这个式子反映了每天所剩余的木棒长度随着天数改变而变化的规律它具有这样的变化趋势：当天数n无限增大时，剩余木棒长度以0为极限，并记为我们又以另一方面考察，截下的木棒总长度如何随着天数的改变而变化第1天截下的木棒总长度为，到第2天截下的木棒总长度为，依此类推，到第n天截下的木棒总长度为这个式子就反映了截下的木棒长度如何随着天数而改变的变化规律它具有这样的变化趋势：当天数n无限增大时，截下的木棒总长度无限接近于常数1，这时我们就说，当天数n趋向于无穷大时，截下的木棒总长度以1为极限，并记为如果我们把每天所剩余的木棒长度数值与截下的木棒总长度数值分别依次排列起来，那么可以得到两个数列：这时(1)式和(2)式就分别是和的数列展开式这两个数列中的项具有这样的变化趋势：当项数n无限增大时，数列(1)中的项无限接近于常数0，而数列(2)中的项无限接近于常数1，这时我们就说数列(1)以0为极限，而数列(2)以1为极限从上面两个具体数列极限的例子的共同特点，可以抽象出数列极限的描述性定义：如果数列中的项具有这样的变化趋势：当n无限增大时，项无限接近某一个常数a，那么我们就说，数列以常数a为极限，且记为关于数列极限概念的这种描述，只能算直观的描述，虽然有直观易懂的特点，但在运用极限进行推理时将会碰到困难，且利用“n无限增大”和“无限接近于某一个常数a”这些未加说明的直观描述来判断，在逻辑上是有毛病的，也容易发生错误，所以还必须对数列极限作确切的刻画，把直观描述上升为精确的定义数列极限的精确定义：上面关于数列极限的直观描述中，有一个涉及到极限本质的问题，这就是：“无限接近于常数a”的真正含义是什么?弄清这点是掌握数列极限概念的关键，用句俗话来说，“无限接近于常数a”的意思是：“可以任意地靠近a，希望有多近就能有多近，只要n充分大时，就能达到我们希望的那样近”换句话来说，就是指：“距离可以任意地小，希望有多小就能有多小，只要n充分大时，就能达到我们希望的那样小”现拿数列来说明，若取作标准,那么只要n3，就有；如果认为还不够小，要选作标准，那么只要n6,就有；如果嫌仍不够小，要选更小的作标准，那么只要n9，就有；(如果想选再小的作标准，那么只要n13，就有.)总之，任意给出一个无论多么小的正数作标准，只要这个一经给定，那么对数列来说，总可以确定一项(或者说总存在一项，设为第n项)使得随后的所有项(即满足nn的一切)，都有上述过程可以概括在如下的表格中：给定正数总存在一个项数使得当时都有3n36n69n913n13nnn这个表格的最后一行是值得我们注意的，它把数列“无限接近于1”的本质确切地刻画出来了，把它概括为一般情形，就得到用和n描述的数列极限的精确定义(简称为“-n”定义)：设有数列，并设a是一个常数如果任意给定一个(无论多么小的)正数，总存在一个正整数n，使得当nn时，都有成立，则称数列以常数a为极限，且记为或者记为如果数列不存在极限，则称数列发散注：是希腊字母，读作epsiln；是拉丁文(极限)一词的前三个字母，通常按英文limit(极限)一词读音现在我们对极限的定义作几点说明：(1)关于正数，定义中的正数是一个距离指标，用来刻画与a的接近程度具有二重性：是任意性，即可以根据需要任意选取，这样，由不等式才能表明数列无限接近于a；是相对固定性，虽然可以任意给定，但一经给定就相对固定下来，作为一个固定的正数看待正数的二重性体现了一个数列逼近它的极限时要经历一个无限过程(这个无限过程通过的任意性来体现)，但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通过的相对固定性来体现)(2)定义中的正整数n是一个特定的项数，对于这个项数，重要的是它的存在性，它是在固定后才能确定的，所以它依赖于大体上说来，变小时，n就变大，所以可以把n看成是的函数要注意，对于一个固定的来说，合乎定义要求的正整数n不是惟一的例如数列的极限为0，即，取定存在自然数，当n100时有，显然，对取定的，比100大的任何一个自然数都能起到的作用如取，当，当然也有一般情况，对任意0，总存在自然数n，当nn时，有，于是当时，当然也有.由此可见，在极限的定义中，“总存在自然数n”这段话，在于强调自然数n的存在性因此，在极限的证明题中，常取较大的自然数n此外，定义中的不等式指的是下面一串不等式：.定义要求这一串不等式都成立至于下面n个不等式，并不要求它们一定成立：(3)若是任意给定的数，不难看到2，5，也都是任意给定的数尽管它们在形式上与有差异，但在本质上它们与起同样的作用今后在极限的证明题中，常应用与等价的其他形式2数列极限的几何意义是什么?学习数列极限的几何解释，将有助于我们对数列极限概念有更深的理解由于数列的每一项在数轴上可以用一个点来表示，因而数列的每一项在数轴上就对应一个点列先把数列的每一项和a在数轴上对应的点表示出来，再作出以点a为中心，为半径的开区间(a-，a+)由于不等式等价于，所以数列极限精确定义的几何表示为：数列以a为极限，就是对任意给定的一个开区间(a-，a+)，第n项以后的一切数全部落在这个区间内，如图2-1：(以后的一切项全部落在有阴影的区间中)图上的那个开区间(a-，a+)，我们有时也称它是a点的邻域，记为(a，)这样的定义可以用邻域把它叙述出来：对任意给定的邻域(a，)，一定存在正整数n，当nn时，这个定义和刚才已经给出的定义是一样的，这是因为和是一回事3收敛数列是否可以进行四则运算?可以若数列与皆收敛(数列与的极限存在)，则可以对它们进行加、减、乘、除的四则运算我们看以下三个运算法则：若数列与皆收敛，则数列也收敛，且若数列与皆收敛，则数列也收敛，且若数则，皆收敛，且则数列也收敛，且这三个运算法则指出：若两个数列收敛，先对它们进行四则运算再进行极限运算等于先对数列进行极限运算再进行四则运算这表明四则运算与极限运算是可以交换次序的这两种不同的运算交换次序将给计算极限带来很大的方便，我们可以利用这三个运算法则计算以下几道例题例1 考察其中k，都是正整数，并且是都思路启迪 原极限式中分子与分母各项式的极限都不存在，所以应将其变形，变成分子与分母极限都存在的形式规范解法 应用和与差的运算，得：再应用除法运算，得：例2 设思路启迪 由于的极限都不存在，所以应先将变形，使之变成极限可求的数列规范解法 因为用除分子和分母，得，而，由得知，再应用除法运算，即求得4什么叫无穷小量,无穷大量?设是一个数列，若对于任意给定的0，总存在正整数n，当nn时，,则称为无穷小量，记为或要注意的是不能把无穷小量理解为很小的量设是一个数列，如果对任意给定的co，总存在正整数n，当nn时必有我们就称是一个无穷大量，记为，或要注意的是无穷大量是一个变量，在它的变化过程中，其绝对值随着n的增大而无限制增大，切不可把它和很大的量混淆起来无穷大量的几何解释：所谓是无穷大量，就是对任意给定的两个开区间(r，+)及(-，r)，一定有这样的一项(第n项)，自这项以后的一切项(即nn的)全部都落在这两个开区间内，如图2-2对于无穷大量，有时我们还要从变量的变化趋势是保持正号还是保持负号来对无穷大量加以区分，有：(1)正无穷大量：设是无穷大量，并且自某项n以后(即nn)，有，我们就说是正无穷大量，记为或正无穷大量也可以这样叙述：对任意给定的c0，总存在n，当nn时有，就称是正无穷大量(2)相仿地可以给出负无穷大量的概念5无穷大量与无穷小量有什么关系?无穷大量和无穷小量之间有着密切的关系，可以用下面的定理表达出来定理：若为无穷大量，则它的倒数所成的数列为无穷小量反之，若为无穷小量，且，则它的倒数所成的数列为无穷大量证明：因是无穷大量，根据定义，对任意给定的co，总可找到正整数n，当nn时，有，从而有因为c是任意的，所以也是任意的，于是就证明了是无穷小量定理的第二部分可以同样证明6无穷大量有哪些运算法则?(1)设和都是正(或负)无穷大量，那么它们的和也是正(或负)无穷大量证明：我们只证明正无穷大量的情形对任意给定的c0，因，所以存在，当时有，又因，所以还存在，当时，有现在取，那么当nn时，就有，这便证明了要注意的是，任意两个非同号的无穷大量之和可能不是无穷大量，例如n和-n都是无穷大量，但它们的和是0，0，显然不是无穷大量(2)设是无穷大量，而是有界数列(后面有对有界数列的说明)，那么它们的和是无穷大量(3)设是无穷大量，又设数列具有以下特性，存在某个n，当nn时，有，那么它们的乘积是无穷大量证明：对任意给定的c0，由于，故存在，当时，有又因为当nn时，有，这时取当时，就有，而0是一个定数，这就证明了推论：设是无穷大量，收敛于a(a0)，那么它们的乘积是无穷大量例 设思路启迪 和前面的例题一样，原极限式的分子和分母都不存在极限，所以应先将其变形，化成极限可求的情形规范解法 我们可以把写成： 因为，又因为，所以，由推论得.将这个例子和前面的例子合并起来，我们便得到这里当然要假定点评 以后碰到类似求的问题，可以直接套用最后的结论.7什么是函数的极限?实际上，数列就是定义域为自然数集的函数，在每一个自然数n处的函数值f(n)就是，即，如果理解了这种特殊函数形式的极限，那么学习函数极限的概念也就可以触类旁通，因为数列极限已包含着一般函数极限的基本思想与数列不同的是，函数y=f(x)的自变量有多种变化过程一般来说，自变量x的变化趋势有两种情形：一种是x无限接近于固定值；另一种是x的绝对值无限增大，也就是x沿数轴的正向和负向无限远离原点，下面就这两种不同的情形分别讨论函数的极限引例1 已知自由落体的运动方程是，求在时刻t=1秒时的瞬时速度解 这里我们遇到了两个问题：(1)什么叫做在时刻t=1秒时的瞬时速度；(2)怎么求出在时刻t=1秒时的瞬时速度在中学物理课本中，我们知道，当质点做匀速直线运动时，速度是位移与时间之比：它可以代表质点在任何时刻的速度但是，自由落体并不是作匀速直线运动的，因此不能直接利用公式来解决问题，为了解决所提出的问题，要用到平均速度的概念我们任意取一个很短的时间间隔1，t，把质点在这个时间间隔内所作的运动近似地看成是匀速的我们可以想象的到，当时刻t越来越接近1秒(也就是时间间隔1，t越短时)，质点运动越接近于匀速运动，从而这段时间间隔的平均速度越接近于质点在时刻t=1秒时的瞬时速度根据上述想法，首先求出所考虑的时间间隔内，质点运动的平均速度，这个速度是依赖于时刻t的，我们记为利用公式可以求得：这个式子反映了平均速度随着时刻t的变化规律我们看到，平均速度具有这样的变化趋势：当时刻t无限接近于1秒，但t1秒时，平均速度无限接近于9.8米/秒这时我们说，当时刻t趋向于1秒时，平均速度以9.8米/秒极限,并记为我们把这个极限定义为自由落体在时刻t=1秒时的瞬时速度引例2 考察函数解 我们注意，这个函数在点x=1是没有定义的，对这个函数作图象，并列表如下：x0.90.990.99911.0011.011.1y1.91.991.99922.0012.012.1从上表和图象可以看出：函数在点x=1的邻近具有这样的变化趋势：当x无限接近于1，但x1时，函数的值无限接近于2这时我们说，当x趋向于1时，函数以2为极限,且记为从上面给出的两个具体函数极限的例子的共同特点，可以抽象出当时函数f(x)的极限的描述性定义：如果函数y=f(x)在点的邻近具有这样的变化趋势：当x无限接近于，但时，f(x)无限接近于一个常数a，那么我们说，当时，函数f(x)以a为极限，且记为这个式子中的符号“”读作“x趋向于”，它表示x无限接近于的变化过程应当注意，在一般讨论函数极限时，只要求函数f(x)在某个点的空心邻域(即点的邻域，但不包含点)内有定义，因此通常是限制x不等于的，并不要求函数f(x)在这一点一定要有定义比如，在上面例1中，当t=1时，平均速度就失去意义，因为只有在一段时间间隔内，才有平均速度可言；又如，在例2中，当x=1时，所讨论的函数也没有定义因此，在研究函数f(x)的极限时；我们总不去考虑这一点的函数值情况无论f(x)在点是否有定义，只要当x无限接近于，但时，f(x)无限接近于常数a，那么数a就是函数f(x)当x趋向于时的极限上面关于函数极限概念的描述，也只是个直观的描述，在这个直观的描述中，涉及到两个“无限接近”(x无限接近于和f(x)无限接近于a)，它们的真正含义是什么呢?弄清这些是掌握函数极限概念的关键所谓“当x无限接近于，但时，f(x)无限接近于a”的意思是：f(x)可以任意靠近a，希望有多近就能有多近，只要x充分靠近,但不等于时，就可以使f(x)与a靠近到我们希望的那样近换句话说，就是指：“|f(x)-a|可以任意地小，希望有多小就能有多小，只要充分小，但不为0(即时，就可以使|f(x)-a|达到我们希望的那样小”我们可以用例1涉及的平均速度来说明，|f(x)-a|就相当于若取0.1作标准，那么只要时，就有若认为0.1不够小，就选取0.01作标准那么只要时，就有若嫌0.01仍不够小，要选更小的0.001作标准那么只要,就有若想选0.0001作标准只要，就有总之，任意给出多么小的正数作标准，只要这个一经给定，那么对平均速度来说，总能确定(或说总存在)一个正数，使得当0|t-1|时，都有上述过程可以概括在如下表格中：给定正数总存在一个正数使得当时都有0.10.010.0010.00010|t-1|这个表格的最后一行很关键，它把“当t无限接近于1，但t1时，无限接近于9.8”的本质确切地刻画出来了，把它概括为一般情形，就得到和描述的函数极限的精确定义(简称-定义)定义：设函数y=f(x)在的某个空心邻域内有定义，并设a是一个常数，如果任意给定一个(无论多么小的)正数，总存在一个正数，当时，都有|f(x)-a|0，总存在0，使得当时，都有|f(x)-a|极限有明显的几何意义，已知不等式与等价，又已知不等式|f(x)-a|与a-f(x)0：任意以二直线y=a为边界的带形区域总存在0：总存在(以点为心的)半径0当时：当点x位于以点为中心，以为半径的去心邻域之中有|f(x)-a|o，使0|t-1|时，即可规范证法 因为极限式左边又因为我们不一定要找到满足定义的最大的，因此不妨只就t=1的某一邻域来考虑例如取|t-1|1即0t2，这时2|t+2|4，于是，|t+2|t-1|4|t-1|,而时，上式右端就小于,因此只要取等于1和两数中最小的即可，亦即取这时，当0|t-1|时，就有|t-1|1和|t-1|，因此|t+2|t-1|4|t-1|和4|t-1|0，要使，只要取就可以了亦即当x进入区间时，|y-1|m时，|f(x)-a|0，要使,只要就可以了因此，对于任意给定的0，取,则当|x|m时，有时，我们还需要区分x趋于无穷大的符号如果x从某一时刻起，往后总是取正值而且无限增大则称x趋于正无穷大，记作x+，此时定义中，|x|m可改写为xm，如果x从某一时刻起，往后总取负值且|x|无限增大，则称x趋于负无穷大，记作x-，此时定义中的|x|m可改写成x0，总存在mo，使当xm时，即可规范证法 设对任意给定的0，要使，只要，即就可以了因此，对于任意给定的10，取,则当xm时，恒成立，所以当x时，f(x)以a为极限的几何意义是：对于任意给定的正数(无论多么小)，在坐标平面上作两平行直线y=a-与y=a+，两直线之间形成一个带形区域不论多么小，即不论带形区域多么狭窄，总可以找到m0，当点(x，f(x)的横坐标x进入区间(-，-m)u(m，+)时，纵坐标f(x)全部落入区间(a-,a+)内此时y=f(x)的图形处于带形区域内越小，则带形区域越狭窄，如图27所示8什么是函数左极限与右极限?前面讲了时函数f(x)的极限，在那里x是以任意方式趋于的但是，有时我们还需要知道x仅从的左侧或仅从的右侧趋于时，f(x)的变化趋势于是，就要引进左极限与右极限的概念例如，函数，图形见图2-8容易观察出，当x从0的左侧趋于0时,f(x)趋于1；而当x从0的右侧趋于0时，f(x)趋于0我们分别称它是x趋于0时的左极限与右极限再考察当x趋于0时的极限由于函数的定义域为0，+)因此只能考察其右极限对,由于其定义域为(-，0，因此，当x趋于0时，只能考察其左极限定义：如果当x从的左侧趋于时，f(x)以a为极限，即对于任意给定的0，总存在一个正数，使时，恒成立，则称a为时f(x)的左极限.记作或如果当x从的右侧趋于时，f(x)以a为极限，即对于任意给定的0，总存在个正数，使当时，|f(x)-a|恒成立，则称a为时f(x)的右极限，记作或根据左、右极限的定义，显然可以得到下列定理例1 设思路启迪 要看当x0时，f(x)的极限是否存在，就应先求出x0时f(x)的左、右极限，并看f(x)的左、右极限是否相等若相等，则极限存在；反之，则极限不存在规范解法 当x0时，；而当x0时，左、右极限都存在，但不相等所以，由上面的定理可知，不存在例2 研究当x0时，f(x)=|x|的极限思路启迪 因为f(x)=|x|，所以应对f(x)分情况讨论，得到f(x)为一个分段函数，再按照例1的方法讨论f(x)的极限规范解法 已知，可以证明，所以，由上面的定理得9怎样计算函数的极限?要计算函数的极限，需知道函数极限的运算法则，它们的证明完全和数列的情形相仿函数极限的四则运算法则：如果那么这些法则对于x时的情况仍然成立由以上法则易得(c是常数)，(n是正整数)利用这些法则求下面几个函数的极限例1 求思路启迪 由于该极限中的每一项都存在极限，所以可以用极限四则运算法则中和式的极限等于极限的和来计算规范解法 点评 若极限式各项中，有一项或几项的极限不存在，就不能直接利用函数极限的四则运算法则来做例2 求思路启迪 与例1类似规范解法 因为点评 由例1,例2可以看出:若f(x)为多项式函数或当时分母极限不为0的分式函数,根据极限运算法则可以得出例3 求思路启迪 将分子分母同除以,使分子分母的极限存在规范解法 将分子分母同除以,得例4 求思路启迪 将分子有理化,使分子分母极限存在例5 已知求思路启迪 要求,应先看其左,右极限,比较两极限是否相同,若相同,则极限为其左,右极限值,若不相同,则极限不存在10什么是函数两个重要极限?证明:首先证明如下图2-9, 是以点为心,半径为1的圆弧，过a作圆弧的切线与ob的延长线交于点c设dob=x(按弧度计算)，则显然，aob的面积扇形aob的面积aoc的面积即或sinxx0除之，得或.，(根据夹挤定理，参看后面知识链接部分第4个问题中的方法1)其次，当x0时，设x=-y,当时，有，则例1 求思路启迪 将tanx写成，代回原式，使之出现这个重要极限规范解法例2 求思路启迪 将kx看成一个新变量t，即令t=kx，则x0时，t0规范解法例3 求思路启迪 先将1-cosx用半角公式化成，就可以利用特殊极限规范解法 注意：我们在利用时，一定要注意x的趋向形式，x是趋向于0的，若x是趋向于无穷的或者x是趋向于除0以外的其他值，则该极限等式就不一定成立了下面大家来看另一重要极限我们先讨论x+的情形因xx0,解不等式取,于是，对任意0，总存在(其中0)，当时，有，即正弦函数sinx在连续，因为是r上任意点，所以正弦函数sinx在r上是连续函数同理可知，余弦函数cosx在r上也是连续函数12什么是函数在一个区间上的连续性？如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点连续，则称函数f(x)在开区间(a，b)上连续；如果函数f(x)在闭区间a，b内每一点(非端点)都连续，且函数f(x)在左端点a右连续，在右端点b左连续，则称函数f(x)在闭区间a，b上连续一般地，对任何个区间i，如果函数f(x)在区间i内的每一点(非端点)都连续，且当区间i含有端点时，函数f(x)在端点处单侧连续(在左端点指的是右连续，在右端点指的是左连续)，则称函数f(x)在区间i上连续例如，函数f(x)=sin x在区间(-,+)内每一点都是连续的，因而可说函数f(x)=sinx在区间(-,+)上连续又如，函数在区间0，+)内的每一点(不包括端点x=0)都是连续的又在区间的左端点x=0满足，则在x=0点右连续，因此可说函数在区间(0,+)上连续利用连续函数的定义和性质，可以证明，切基本初等函数在它们的定义域内都是连续的计算极限若已知函数f(x)是初等函数，而a又属于函数f(x)的定义域，则函数f(x)在点a连续，根据连续定义，“”与“f”可交换次序，即，于是，计算连续函数f(x)在点a的极限就变成了计算函数f(x)在点a的函数值f(a)例 思路启迪 可以先将极限式的分子，分母分解，这就会出现重复项x-3由于函数在点3的极限只与3附近点x的函数值变化有关与点3无关，即x3或x-30，因此可以消去分子与分母中的公共因式x-3规范解法13求函数极限有哪些方法?在某一极限过程中,参加极限四则运算的每一个极限都必须有相同的过程,而且每个极限都必须存在(分母不为零)才能运算我们通过下面几道题来总结一下求函数极限的方法例1 求思路启迪 由于f(x)与g(x)是在的某邻域内有定义的初等函数,所以也是在的某邻域内有定义的初等函数根据初等函数的连续性可求出该极限规范解法 由初等函数的连续性，得例2 求思路启迪 由于当x2时,分子、分母的极限都存在，并且分母的极限不为0，所以可以将x2直接代入分子、分母，根据初等函数的连续性，分别求出分子分母的极限，再求商即可规范解法 例3 求思路启迪 由于将x-2代入分母，可得分母极限为0，所以此题不能用直接入法根据观察,可以将分子分母分解因式,都可以分解出极限为0的x+2,约去公因式即可求极限了规范解法 例4 思路启迪 因为，所以不能直接用求函数极限差的运算法则,可将函数通分变形后再求极限规范解法 例5 求思路启迪 由于分子,分母的极限都是无穷大,所以分子、分母同除以最高次项，使分子、分母的极限都存在规范解法 点评 一般地例6 求思路启迪 求函数极限时，若碰到分子，分母中有根号的情形，经常会把分子或分母有理化，使原极限可求规范解法 例7 求思路启迪 分子，分母中分别有，直接求极限不好求，可以采用变量规换的方法，令规范解法 例8 求思路启迪 出现规范解法一 规范解法二 规范解法三 学科：数学教学内容：极限知识拓展【知识拓展】收敛数列有几个重要性质，它们可表现为下面几个定理：证明：假设数列有两个极限a与b，即与，根据数列极限定义，对于任意的0分别有：存在自然数当时，有；存在自然数，当时，有取，当nn时，同时有与，于是当nn时，有因为a与b是常数，2是任意小的正数，所以只有a=b，上述不等式才能成立，即数列的极限是惟一的定理2：（有界性）若数列收敛，则有界，即存在正数m，对任意自然数n有证明：设，根据数列极限的定义，取定（可以根据需要任意选取），存在自然数n，当nn时，有因为，所以当nn时，有或即在数列中不满足不等式的项充其量不过是前n项：.令于是，对任意自然数n，有定理2指出收敛的数列必有界反之，有界数列不一定收敛例如，已知数列是有界的，但它却是发散的换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件2什么是有界数列?定义：若存在两个数a，b(设a0)都是的上界这表明上界并不是惟一的，下界也是如此(2)对于数列，如果存在正整数n，当nn时，总有,我们就说数列往后有界要注意，往后有界一定是有界的，这是因为在n项之前只有有限多个数在这有限个数中必有最大的数和最小的数，设，那么min(a，)和max(b，)就是整个数列的下界和上界(3)有界数列也可以这样叙述：若存在一个正数m，使得，就称是有界数列或者也可以这么说，若存在原点的一个m邻域(o，m)，使得所有，就称是有界数列，这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的3什么是单调有界数列?设是一个数列，如果我们就说这个数列是单调增加(上升)的如果我们就说这个数列是单调减少(下降)的例如就是一个单调减少的数列如果在上面数列中等号都不成立，就称它是严格单调增加或严格单调减少的4数列的收敛判别法有哪法?方法1若存在自然数n，当nn，总有，且，则注：方法1被称为夹挤定理例1 计算思路启迪只要找到两个数列与，使则规范解法 方法2单调有界数列存在极限例2 证明数列收敛，并求它的极限思路启迪 首先对于这种随n的增大，数列的项