2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第三单元第一节二次函数.ppt

第一节 二次函数,基础梳理,一条抛物线,向上,最小,r,1.二次函数的性质与图象 (1)函数 叫做二次函数,它的定义域是 . (2)二次函数有如下性质： 函数的图象是 ,抛物线顶点的坐标是 . 抛物线的对称轴是 ; 当a0时,抛物线开口 ,函数在 处取 值 . 在区间 上是减函数,在 上是增函数;,当a0时,抛物线开口 ,函数在 处取 值 在区间 上是增函数,在 上是减 函数,向下,最大,(0,c),与y轴的交点是 ; 当= -4ac0时,与x轴两交点的横坐标 分别是方程 的两根;当=0时,与x轴切于一点 ; 当0时,与x轴 ; 当b0时,是非奇非偶函数;当b=0时,是 ;,没有交点,偶函数,对于函数f(x),若对任意自变量x的值,都有f(a+x)=f(a-x), 则f(x)的图象关于直线 对称.,x=a,2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系,x|xr,(2)hm,n 时, 当hm时,f(x)在 m,n 上单调 , . .,4. 二次函数在闭区间上的最值问题 在 m,n 上的最值问题. (1)h m,n 时, . ;,k,f(m),f(n),递增,递减,当hn时,f(x)在 m,n 上单调 , . .,f(n),f(m),题型一 二次函数图象和性质的应用,【例1 】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.,分析 由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点,且知 其最大值,所以可应用一般式、顶点式或两根式解题.,解 方法一 :利用二次函数一般式. 设f(x)=,方法二:利用二次函数顶点式. 设f(x)=a(x-m)2+n(a0). f(2)=f(-1), 抛物线对称轴为 又根据题意,函数有最大值f(x)max=8,方法三:利用两根式. 由已知f(x)+1=0的两根为 , 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0), 即 . 又函数有最大值f(x)max=8,即 解得a=-4，或a=0(舍去). 故所求函数解析式为 .,学后反思 求二次函数的解析式的关键是求待定系数的值. 由题目的条件,合理地选择二次函数解析式的表达形式,最 简单地求出解析式是关键.,举一反三,1.右图是一个二次函数的图像 （1）写出这个二次函数的零点； （2）求这个二次函数的解析式； （3）当实数k在和范围内变化时，g(x)=f(x)-kx在区间 上是单调函数,解析： （1）由图可知二次函数的零点为-3，1. （2）设二次函数为y=a(x+3)(x-1)，由点（-1，4） 在函数上，得a=-1，则y=-(x+3)(x-1)=,(3)g(x)= 开口 向下，对称轴为 当 ，即k2时，g(x)在 上单调递减 当 ,即k-6时，g(x)在 上单调递增 综上所述，当k-6或k2时，g(x)在区间 上 是单调函数,题型二 轴定区间动,【例2 】已知 ，若f(x)的最小值为 h(t)，写出h(t)的表达式,分析 在对称轴确定的情况下，对区间 进行分析,解 二次函数的图像的对称轴 (1)当 （2）当,学后反思 二次函数 在区间 上求最值的 方法可分为情况讨论： (1)若 ，则最小值为 ，最大值为 中较大者(m,n中与 距离较远的一个为最大值). (2)若 ，当 时，f(x)在 上是单调增函 数，则最小值为f(m)，最大值为f(n);当 时，f(x)在 上是单调递减函数，则最小值f(n)，最大值 f(m)。,举一反三,2.已知函数y=(2m-1)x+1-3m，m为何值时， （1）这个函数为一次函数？ （2）函数值y随x的增大而减小？ （3）这个函数图像与直线y=x+1的图像交点在x轴上?,解析 : 二次函数图像的对称轴为 (1)当 时，即 ， ， （2）当 ， 当 时，即 当 时，即,(3)当 时， h(t)=,题型三 轴动区间定,【例3 】已知函数 在0x1时有最大 值2,求a的值.,分析 作出函数图象,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论 对称轴位置以确定f(x)在 0,1 上的单调情况.,解 当对称轴x=a0时,如图(1)所示. 即当x=0时,y有最大值, 所以1-a=2,即a=-1，且满足a0,所以a=-1时成立,a=2,且满足a1,当a=2时也成立. 综上可知，a的值为-1或2.,学后反思 二次函数 在区间 m,n 上求最值的方法:先判断 是否在区间 m,n 内： (1)若 则最小值为 ,最大值 为f(m)、f(n)中较大者(m,n中与 距离较远的一个 为最大值）。,(2)若 当 n时,f(x)在 m,n 上是单调递减函数,则最 小值为f(n),最大值为f(m).,举一反三,3. 已知函数 在0x1时有最小值 2,求a的值.,解析 由题意知函数的对称轴为x=a. 当a0时, ,不合题意; 当0a1时,若0a ,则 ,不合题意;,题型四 一元二次方程根的分布问题,【例4 】(14分) 已知函数 的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围,分析 本题涉及二次方程根的分布问题,很容易联想到根与 系数的关系,可根据韦达定理去解决.,(2)当m0时,因为f(0)=1,所以抛物线过点 (0,1).5 若m0,f(x)的开口向上,如图(2)所示. 要使交点在原点右侧,当且仅当,解得 综上所述,所求m的取值范围是(-,1 14,学后反思 (1)对于“二次”型函数,若 的系数不确定,要分 系数等于零与不等于零两种情况讨论. (2)对于二次方程根的分布,一般借助二次函数的图象比较 容易解决.,举一反三,4. 方程 在x -1,1 的范围内有实根,求实数k 的取值范围.,解析 设 ,对称轴为,(1)当方程f(x)=0在-1x1的范围内有两实根时, 由图1可得,(2)当方程f(x)=0在-1x1的范围内有且仅有一个实根时,由 图2可得 综上所述,方程在x-1,1的范围内有根时,k的取值范围是,易错分析,【例】已知函数 求函数f(x)的最大值和最小值.,错解 函数f(x)的最小值为 ,最大值不存在.,错解分析 由 就认为f(x)的最小值是 ， 最大值不存在是不正确的.因为这里函数的定义域是 0,1 ,而 且这里的二次函数f(x)图象的对称轴(x=a)的位置是不确定的. 因此，应该讨论直线x=a相对于区间 0,1 的各种可能.,正解 由a0知，当a1时，由于f(x)在 0,1 上是减函数， 故f(x)的最大值为 ，最小值为 ; 当0a1时，f(x)的最小值为 的最大 值为f(0),f(1)中的较大者， 若f(0)f(1),则 解得a 所以当0a 时，f(x)的最大值为 ; 当 a1时，f(x)的最大值为 .,考点演练,10.(2008.浙江改编）已知t为常数，函数 在区间 上的最大值为2，求t的值。,解析： 当-1-t0，即t-1时， 则当x=1时， 即t=1（与t-1矛盾）不合题意 当-1-t0，即t-1时，结合 的图像 若当x=1时，y取得最大值 ，又t-1可 得t=1. 若当x=3时，y取得最大值 ，解得t=1或 t=5， 已验证t=5时，不合题意，故t=1,11.(2009江苏改编）设a为实数，函数 （1）若 ,求a的取值范围； (2)求 的最小值。,综上所述,第一节 导数的概念及运算,基础梳理,数量化,视觉化,1. 函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率 (1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为 , (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“ ”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“ ”. 2. 函数f(x)在x=x0处的导数 （1）定义 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义， 若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数a，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数a为函数f(x)在x=x0处的导数，记作 .,(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 . 处的 .相应地，切线方程为 .,3. 函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自 变量x的 而 ，因而也是自变量x的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 .,切线的斜率,变化,变化,f(x).,4. 基本初等函数的导数公式,f(x)= .,f(x)= .,k,0,1,2x,cos x,sinx,5. 导数运算法则 (1)f(x)g(x)= ; (2)cf(x)= (c为常数); (3)f(x)g(x)= ;,f(x)g(x),cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,题型一 利用导数的定义求导数 【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值. 分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解. 解 当x无限趋近于0时， 趋近于2,y|x=1=2. 学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三 1. 已知 ，利用定义求y,y|x=1.,题型二 利用求导公式求导数 【例2】求下列函数的导数.,解析,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解 (1)y=( )sin x+ (sin x) =2xsin x+x2cos x. (2),举一反三 2. 求函数 的导数.,题型三 导数的物理意义及在物理上的应用 【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2. (1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度； (2)求质点在t=1的瞬时速度.,解析,分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解 (1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为 (2)方法一（定义法）： 质点在t=1时的瞬时速度v=,方法二（求导法）： 质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三 3. 以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.,解析： 物体在 时刻的瞬时速度为 .,题型四 导数的几何意义及在几何上的应用 【例4】(14分) 已知曲线 (1)求曲线在点p（2，4）处的切线方程； (2)求曲线过点p（2，4）的切线方程.,分析 (1)点p处的切线以点p为切点,关键是求出切线斜率 k=f(2). (2)过点p的切线，点p不一定是切点，需要设出切点坐标.,解 （1)y=x2,2 在点p（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3 曲线在点p（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.4,(2)设曲线 与过点p（2，4）的切线相切于点 ,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为 即 点p（2，4）在切线上， 即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0, x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思 （1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”. （2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,举一反三 4. 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.,解析： 设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0, 即斜率是2，则. 解得 ,即点p(1,0), 点p到直线2x-y+3=0的距离为 , 曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .,题型五 复合函数的导数 【例5】求下列函数的导数. .,分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的 求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.,解,学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中 间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是: (1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系 （简称分解复合关系）； （2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数 （简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘）,举一反三 5.求下列函数的导数。,解析：,易错警示,【例】已知曲线 上的点p（0,0）,求过点p(0,0)的切线方程. 错解 在点x=0处不可导，因此过p点的切线不存在. 错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点p处的切线是指曲线在点p附近取点q，当点q趋近于点p时，割线pq的极限位置的直线就是过点p的切线，因此过点p的切线存在，为y轴（如下图所示）.,正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线pq的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点p的切线方程为x=0.,考点演练,10. 已知函数 的图象都过点 p(2,0),且在点p处有相同的切线.求实数a,