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第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型 基本内容基本内容 控制系统的基本模型控制系统的基本模型 微分方程微分方程 传递函数传递函数 控制系统的方框图控制系统的方框图 信号流图信号流图 基本要求基本要求 掌握微分方程列写的基本方法掌握微分方程列写的基本方法 掌握拉氏变换基本定理和常用拉氏变换表掌握拉氏变换基本定理和常用拉氏变换表 重点掌握典型环节传递函数和闭环传递函数的 求法 重点掌握典型环节传递函数和闭环传递函数的 求法 梅逊公式的应用梅逊公式的应用 2.0 温故而知新2.0 温故而知新 系统示意图 系统框图 系统示意图 系统框图 2.1 数学模型数学模型 定义： 描述系统输入量、输出量以及内部各 物理量之间动态关系的数学表达式 定义： 描述系统输入量、输出量以及内部各 物理量之间动态关系的数学表达式 表示方式：表示方式： 1. 输入输入-输出描述（外部描述） 微（差）分方程、传递函数 输出描述（外部描述） 微（差）分方程、传递函数 2. 状态变量描述（内部描述）状态变量描述（内部描述） 3. 方框图方框图 建立方法：建立方法： 1. 机理分析法机理分析法 2. 实验辨识法实验辨识法 求取性能指标的主要途径求取性能指标的主要途径 线性常 微分方程 线性常 微分方程 时间响应时间响应 性能指标性能指标 传递函数传递函数 频率特性频率特性频率响应频率响应 求解观察 拉氏变换 拉氏反变换 估算估算 傅 氏 变 换 求解观察 拉氏变换 拉氏反变换 估算估算 傅 氏 变 换 s=j 求解求解 2.2 傅氏变换与拉氏变换傅氏变换与拉氏变换 fourier变换及其反变换变换及其反变换 deftf dtetff tj tj )( 2 1 )( )()( laplace变换及其反变换变换及其反变换 jc jc st st dsesf j tf dtetfsf )( 2 1 )( )()( 0 拉普拉斯 变换对照表 拉普拉斯 变换对照表 itern nof(t)f(s) 1.单位脉冲单位脉冲(t)1 2.单位阶跃单位阶跃1(t) 3.t 4. 5. 6. 7. s 1 2 1 s 1 ! n s n 22 s 22 s s as 1 n t at e t sin t cos 拉普拉斯 变换的定理 拉普拉斯 变换的定理 例例2.1 2)0(, 2)0( , 665 2 2 yy y dt dy dt yd 其中 解方程 其中 解方程 tt eety ssssss ss sy 32 2 451)( 3 4 2 51 )3)(2( 6122 )( 2.3 线性系统的微分方程线性系统的微分方程 建立系统输入建立系统输入-输出微分方程一般步骤输出微分方程一般步骤 1. 确定系统的输入量、输出量确定系统的输入量、输出量 2. 提出合乎实际的简化系统的假定提出合乎实际的简化系统的假定 3. 根据机理列出描述系统运动规律的一组微分方 程 根据机理列出描述系统运动规律的一组微分方 程 4. 消去中间变量，求出描述系统输入与输出关系 的微分方程 消去中间变量，求出描述系统输入与输出关系 的微分方程 例例2.2 质量质量-弹簧阻尼系统弹簧阻尼系统 )()( )()( 2 2 trtky dt tdy b dt tyd m 例例2.3 rcl并联电路并联电路 t trdttv ldt tdv c r tv 0 )()( 1)()( 质量质量-弹簧阻尼系统弹簧阻尼系统 rcl并联电路并联电路 )sin()( 111 1 tekty ta )cos()( 222 2 tekty ta 相似系统相似系统 弹簧阻尼系统机械系统电系统 力 弹簧阻尼系统机械系统电系统 力 f转矩转矩 t电压电压 u 质量质量 m转动惯量转动惯量 j电感电感 l 粘性摩擦系数粘性摩擦系数 k粘性摩擦系数粘性摩擦系数 f电阻电阻 r 弹簧系数弹簧系数 k扭转系数扭转系数 k 电容的倒数电容的倒数 1/c 位移位移 y角位移角位移 电荷电荷 q 速度速度 v角速度角速度 电流电流 i 2.4 非线性系统的线性化非线性系统的线性化 叠加性和均匀性叠加性和均匀性 1212 ()()() ()( ) f xxf xf x fxf x 不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。 常见非线性情况常见非线性情况 饱和非线性死区非线性 间隙非线性继电器非线性 泰勒展开泰勒展开 ! 2 )( ! 1 )( )( )( 2 0 2 2 0 0 0 0 xx dx gdxx dx dg xg xgy xx xx xmy 例例2.4 单摆系统单摆系统 sinmglt mgl mglt oo )0)(0(cos )( sin 00 0 mgltt 处理线性化应注意的问题处理线性化应注意的问题 1. 线性化是相对某一额定工作点的线性化是相对某一额定工作点的 2. 当输入量变化范围较大时，势必引入较大 的误差，应注意它的条件 当输入量变化范围较大时，势必引入较大 的误差，应注意它的条件 3. 若非线性系统是不连续的，则不能采用上 述线性化方法 若非线性系统是不连续的，则不能采用上 述线性化方法 4. 线性化之后得到的是增量方程，可认为其 初始条件为零 线性化之后得到的是增量方程，可认为其 初始条件为零 2.5 线性系统的传递函数线性系统的传递函数 定义：在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之比 定义：在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之比 )()()()( )()()()( 1 )1( 1 )( 0 1 )1( 1 )( 0 trbtrbtrbtrb tcatcatcatca mm mm nn nn nn nn mm mm asasasa bsbsbsb sr sc sg 1 1 10 1 1 10 )( )( )( 传递函数的极点和零点传递函数的极点和零点 n j j m i i n m ps zsk pspspsa zszszsb sg 1 1 210 210 )( )(* )()( )()( )( 传递函数的说明传递函数的说明 1. 传递函数的概念只适用于线性定常系统传递函数的概念只适用于线性定常系统 2. 传递函数是系统本身的属性传递函数是系统本身的属性 3. 传递函数包含联系输入量与输出量所必需 的单位，但它不提供有关系统物理结构的任 何信息 传递函数包含联系输入量与输出量所必需 的单位，但它不提供有关系统物理结构的任 何信息 4. 如果系统的传递函数已知，则可以针对不 同形式的输入量来研究系统的输出 如果系统的传递函数已知，则可以针对不 同形式的输入量来研究系统的输出 5. 如果不知道系统的函数，则可通过引入已 知输入量并研究系统输出量的实验方法，确 定系统的传递函数 如果不知道系统的函数，则可通过引入已 知输入量并研究系统输出量的实验方法，确 定系统的传递函数 传递函数的优点传递函数的优点 1. 比微分方程简单比微分方程简单 2. 当输入当输入r(t)=(t)时，单位脉冲函数时，单位脉冲函数r(s)=1， 其输出 ， 其输出c(s)=g(s) 3. 令传递函数中的令传递函数中的s=j，则系统可在频率域 内分析 ，则系统可在频率域 内分析 4. g(s)的零极点分布决定系统响应过渡过程的零极点分布决定系统响应过渡过程 2.6 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 s e s e k kkk d j j v c l lll b i i stststs sssk sg 1 22 1 1 22 1 ) 12() 1( ) 12() 1( )( 比例因子比例因子一阶微分因子一阶微分因子二阶微分因子二阶微分因子 积分因子积分因子惯性因子惯性因子振荡因子振荡因子纯微分环节纯微分环节 延迟环节延迟环节 e k k d j j c l l b i i tt a b k 1 2 11 2 1 0 0 11 理想运算放大器理想运算放大器 特性：特性： 1. 输入阻抗为输入阻抗为 2. 增益为增益为 推导：推导： 1. i1=i2=0 2. v1=v2 比例环节（放大环节）比例环节（放大环节） r1 r2 u r1 r2 ui i(t) u (t) uo o(t) - + + - + - (t) - + + - + - )()(tkrtc k sr sc sg )( )( )( )()( 1 2 0 tu r r tu i )()( 1 2 0 su r r su i k r r su su sg i o 1 2 )( )( )( 惯性环节惯性环节 r r c cu ui i(t) + - u(t) + - uo o(t) + - (t) + - )()()(tkrtctc dt d 1)( )( )( s k sr sc sg dtti c tu dtti c rtitu o i )( 1 )( )( 1 )()( )( 1 )( )( 1 )()( si cs su si cs rsisu o i 1 1 )( )( )( rcssu su sg i o r1 r2 u r1 r2 ui i(t) u (t) uo o(t) - + + - + - (t) - + + - + - c c 积分环节积分环节 r u r ui i(t) u (t) uo o(t) - + + - + - (t) - + + - + - c c dttrktc )()( s k sr sc sg )( )( )( dt tdu c r tu oi )()( rcssu su sg i o 1 )( )( )( 微分环节微分环节 c c r ru uo o(t) + - (t) + - u ui i(t) + - (t) + - )()(tr dt d tc s sr sc sg )( )( )( rtitu dtti c rtitu o i )()( )( 1 )()( 1)( )( )( rcs rcs su su sg i o 相当于一个微分 环节和一个惯性 环节的串联 相当于一个微分 环节和一个惯性 环节的串联 r c r c u ui i(t) + - i (t) + - i 一个比例环节和 一个微分环节的 并联。 一个比例环节和 一个微分环节的 并联。 )1( 1 )( )( )(rcs rsu si sg 一阶比例微分环节一阶比例微分环节 振荡环节振荡环节 )()()(2)( 2 2 2 tkrtctctc dt d dt d 12)( )( )( 22 ss k sr sc sg 对于单位阶跃输入对于单位阶跃输入r(t)=1(t)，令令k=1 )2( )12( 1 )( 2 2 2 1 22 nn n sss sss sc n 令令 无阻尼自然振荡 频率 无阻尼自然振荡 频率 )cos1sin( 1 1 1)( 12 2 tetc n t n 阻尼自 然振荡 频率 阻尼自 然振荡 频率 纯滞后环节纯滞后环节 测量点 阀门 溶液 测量点 阀门 溶液a 溶液溶液b v d )()( trtc s e sr sc sg )( )( )( 2.7 方块图方块图 是系统中各个环节的函数功能和信号流向的 图形表示，由函数方块、信号引出点、信号相加 点及具有方向的信号线组成。 是系统中各个环节的函数功能和信号流向的 图形表示，由函数方块、信号引出点、信号相加 点及具有方向的信号线组成。 g g1 1(s)(s)g g2 2(s)(s) h(s)h(s) r(s)r(s) + + e(s)e(s) - - b(s) n(s) b(s) n(s) + + +c(s)c(s) 系统方块图的绘制步骤系统方块图的绘制步骤 1. 考虑负载效应，分别列写系统各部件（环节） 的微分方程 考虑负载效应，分别列写系统各部件（环节） 的微分方程 2. 写出各元部件的传递函数，并将它们用方块表 示，得到函数的方块 写出各元部件的传递函数，并将它们用方块表 示，得到函数的方块 3. 根据各元部件的信号流向，把各函数方块用信 号线依次连接起来 根据各元部件的信号流向，把各函数方块用信 号线依次连接起来 例例2.5 rc电路的方块图rc电路的方块图 r r c ce ei i + - + - e eo o + - + - i i c idt e r ee i o oi cs si se r sese si o oi )( )( )()( )( r 1 e ei i(s) e (s) eo o(s)(s) + - + - i(s)i(s) e eo o(s)(s) cs 1i(s)i(s) r 1 e ei i(s) e (s) eo o(s)(s) +-+- cs 1e eo o(s)i(s)(s)i(s) 例例2.6 机械系统机械系统 方块图的基本运算和变换 一、串联连接 方块图的基本运算和变换 一、串联连接 g g1 1(s)(s) r(s)r(s) g g2 2(s)(s) x x1 1(s)(s) g g3 3(s)(s) x x2 2(s)(s)c(s)c(s) g(s)g(s) r(s)r(s)c(s)c(s) )()()( )( )( )( 321 sgsgsg sr sc sg 例例2.7 rc串联电路串联电路 r r1 1 c c1 1r(t)rr(t)r1 1(t)(t) r r2 2 c c2 2r r1 1(t)c(t)(t)c(t) r r1 1 c c1 1r(t)r(t) r r2 2 c c2 2c(t)c(t) i i1 1i i2 2 1 1 )( 11 1 scr sg 1 1 )( 22 2 scr sg )1)(1( 1 )( 2211 scrscr sg ? 二、并联连接二、并联连接 g g1 1(s)(s) g g2 2(s)(s) g g3 3(s)(s) r(s)c(s) c r(s)c(s) c1 1(s) c (s) c2 2(s) c (s) c3 3(s)(s) )()()( )( )( )( 321 sgsgsg sr sc sg 三、反馈连接三、反馈连接 g(s)g(s) h(s)h(s) r(s)r(s) + + e(s)e(s) - - b(s)b(s) g(s)g(s) h(s)h(s) r(s)r(s) + + e(s)e(s) - - b(s) c(s) b(s) c(s) 开环传递函数开环传递函数 )()( )( )( shsg se sb 前向通道传递函数前向通道传递函数 )( )( )( sg se sc 闭环传递函数闭环传递函数 )()(1 )( )( )( shsg sg sr sc 四、 方 块 图 的 变 换 和 简 化 四、 方 块 图 的 变 换 和 简 化 原方块图等效方块图说明原方块图等效方块图说明 等效单 位反馈 汇合点 前移 汇合点 后移 等效单 位反馈 汇合点 前移 汇合点 后移 g g h h r r + + e e - - b c b ch h+-+-g c g c h 1r r c c g r g r q c c g r g r q g 1 c c g r g r q c c g r g r q g g c c g r c g r c c c g r g r g g c c 引出点 前移 引出点 后移 引出点 前移 引出点 后移 c c g r g r g 1r r c c g r r g r r 例例2.8 简化系统方块图简化系统方块图 g g1 1 c(s)c(s) g g2 2g g3 3 g g4 4 g g5 5 g g7 7 g g6 6 r(s)r(s) + + - - + + - - 例例2.9 有扰动的控制系统有扰动的控制系统 g g1 1g g2 2 h h r(s) n(s) r(s) n(s) + + + c(s)c(s) + - + - c c1 1(s)(s) g g1 1g g2 2 h h + - + - r(s)r(s) c c2 2(s)(s) g g1 1 g g2 2 h h + - + - n(s)n(s) )( 1 )( 21 21 1 sr hgg gg sc )( 1 )( 21 2 2 sn hgg g sc )()()( 21 scscsc 例例2.10代数法代数法 化简系统方框图化简系统方框图 2.8 信号流图信号流图 是一种由是一种由节点节点和和支路支路组成的，表示复杂系统组成的，表示复杂系统 中各变量关系的信号传递网络。节点代表系统的 变量，支路是连接两个节点的定向线段并有一定 的支路增益。 中各变量关系的信号传递网络。节点代表系统的 变量，支路是连接两个节点的定向线段并有一定 的支路增益。 常用术语 源节点：只有输出支路的节点 阱节点：只有输入支路的节点 混合节点：既有输出支路又有输入支路 前向通路：从源节点到阱节点的通路 回路：起于并终于同一节点 不接触回路：相互之间没有公共节点回路 常用术语 源节点：只有输出支路的节点 阱节点：只有输入支路的节点 混合节点：既有输出支路又有输入支路 前向通路：从源节点到阱节点的通路 回路：起于并终于同一节点 不接触回路：相互之间没有公共节点回路 x x 0 0 a x a x1 1 b x b x2 2 c x c x3 3 d x d x4 4 e x e x5 5 f x f x6 6 j i h gj i h g 信号流图的绘制信号流图的绘制 由系统微分方程绘制信号流图 根据微分方程绘制信号流图的步骤与绘制 方框图的步骤类似。 由系统微分方程绘制信号流图 根据微分方程绘制信号流图的步骤与绘制 方框图的步骤类似。 由系统方框图绘制信号流图由系统方框图绘制信号流图 例例2.11由系统微分方程绘制信号流图由系统微分方程绘制信号流图 比较点与节点之间的关系比较点与节点之间的关系 例例2.12 由方块图绘制信号流图由方块图绘制信号流图 信号流图只适用于线性系统信号流图只适用于线性系统 支路表示一个信号为另一个信号的函数关系，信 号只能沿着支路上的箭头指向传递 支路表示一个信号为另一个信号的函数关系，信 号只能沿着支路上的箭头指向传递 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把 相加后的信号传递到所有输出支路 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把 相加后的信号传递到所有输出支路 对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的 性质性质 简化简化 1.串联支路的总传输等于各支路传输乘积串联支路的总传输等于各支路传输乘积 2. 并联支路的总传输等于各支路传输之和并联支路的总传输等于各支路传输之和 3. 混合节点可以通过移动支路的方向消去混合节点可以通过移动支路的方向消去 4. 回路可以根据反馈连接规则化为等效支路回路可以根据反馈连接规则化为等效支路 梅逊公式 其中 梅逊公式 其中k为前向通道的数目；为前向通道的数目；为信号流图的特征式， 为所有单独回路增益之和；为所有每两个互 不接触回路增益乘积之和；为任意 为信号流图的特征式， 为所有单独回路增益之和；为所有每两个互 不接触回路增益乘积之和；为任意m个互不接 触回路增益乘积之和。 为第 个互不接 触回路增益乘积之和。 为第k条前向通道总增益；为与第条前向通道总增益；为与第k条前向通 道不接触部分的 条前向通 道不接触部分的值，称为信号流图余因子式。值，称为信号流图余因子式。 k kk p p m m lll)1(1 21 1 l 2 l m l k p k 例例2.13 求信号流图的传递函数求信号流图的传递函数 r(s) c(s) h r(s) c(s) h2 2 h h3 3 l l1 1 l l2 2 g g2 2 g g3 3 g g1 1 g g4 4 g g5 5 g g8 8 g g6 6 g g7 7 l l3 3 l l4 4 h h6 6 h h7 7 2.9 状态空间模型状态空间模型 传递函数的局限性传递函数的局限性 1. 只描述系统的输入与输出之间的关系，不涉及 到系统内部状态的信息 只描述系统的输入与输出之间的关系，不涉及 到系统内部状态的信息 2. 只适用于零初始条件下的单输入只适用于零初始条件下的单输入-单输出线性 定常系统，无法表示时变系统，非线性系统以及 非零初始条件下的线性定常系统 单输出线性 定常系统，无法表示时变系统，非线性系统以及 非零初始条件下的线性定常系统 状态空间的基本概念状态空间的基本概念 状态：状态：表征系统运动信息的集合表征系统运动信息的集合 状态变量：状态变量：足以描述系统全部运动的、数目最少的一 组独立变量 足以描述系统全部运动的、数目最少的一 组独立变量 状态方程：状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系 的一阶微分方程组 描述系统状态变量与输入变量之间关系 的一阶微分方程组 输出方程：输出方程：描述系统输出变量与输入变量和状态变量 之间关系的代数方程 描述系统输出变量与输入变量和状态变量 之间关系的代数方程 buaxx ducxy 状态空间表达式：状态空间表达式：状态方程和输出方程的组合状态方程和输出方程的组合 ducxy buax x r lr l c cu u + - + - u uc c + - + - i i uu dt du rc dt ud lc c cc 2 2 uriu ldt di c i dt du c c 1 状态方程状态方程 u l i u l r l c i u cc 1 0 1 1 0 输出方程输出方程 i u u c c 01 siso线性定常系统的状态方程线性定常系统的状态方程 n n nn n nnn n x x x x y u bx x x x aaaax x x x 1 2 1 1 2 1 121 1 2 1 0001 0 0 0 1000 0100 0010 传递函数与状态空间方程之间的关系传递函数与状态空间方程之间的关系 dbasic su sy sg 1 )( )( )( )( ducxy buax x )()()( )()()( sduscxsy sbusxasi 例例2.14 根据状态空间方程求传递函数根据状态空间方程求传递函数 xy uxx 012 1 0 0 430 100 010 2.10 数学模型的数学模型的matlab描述描述 连续系统的数学模型连续系统的数学模型 nn nn mm mm asasasa bsbsbsb sr sc sg 1 1 10 1 1 10 )( )( )( 1. 传递函数分子、分母多项式模型传递函数分子、分母多项式模型 num=b0,b1,bm; den= a0,a1,an; g=tf(num,den); 2. 零极点增益模型零极点增益模型 )()( )()( )( 21 21 n m pspsps zszszs ksg z=z1,zm; p= p1,pn; k=k; g=zpk(z,p,k); 3. 部分分式展开部分分式展开 )()( 2 2 1 1 sk ps r ps r ps r sg n n r,p,k=residue(num,den); num,den=residue(r,p,k); 4. 状态空间模型状态空间模型 ducxy buax x ss(a,b,c,d); 模型之间的转换模型之间的转换 tf 传递函数模型传递函数模型 状态空间模型状态空间模型 ss 传递函数模型传递函数模型 zpk ss2tf tf2ss ss2zp zp2ss zp2tf tf2zp 控制系统建模控制系统建模 1. 系统并联系统并联 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2) g= g1+g2 2. 系统串联系统串联 num,den=series(num1,den1,num2,den2) g= g1g2 3. 反馈系统反馈系统 nu