(好资料)2008_1010年全国初中数学竞赛试题两套

2008年全国初中数学竞赛试题（福建）及参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、已知实数，满足，则的值为（）。A、7B、C、D、5答A解：因为0，0，由已知条件得，所以2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）。A、B、C、D、答C解：基本事件总数有6636，即可以得到36个二次函数，由题意知0，即通过枚举知，满足条件的，有17对，故3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（）。A、6条B、8条C、10条D、12条答BABCDEOF（第3题答案图）解：如图，大圆周上有4个不同的点A、B、C、D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E、F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。4、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB1，以AB为一边在圆O内作正ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DBAB，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）。ABCODE（第4题答案图）A、B、1C、D、答B解：如图，连接OE，OA，OB，设D，则ECA120EAC又因为ABO所以ACEABO，于是AEOA15、将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）。A、2种B、3种C、4种D、5种答D解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列，首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾。又如果（1i3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数。所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1。二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6、对于实数u，v，定义一种运算“”为：uvuvv，若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数的取值范围是。答0，或1解：由，得，依题意有解得，0，或17、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟。答4。解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米。每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则由，可得，所以即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟。8、如图，在ABC中，AB7，AC11，点M是BC的中点，AD是ABCDMF（第8题）BAC的平分线，MFAD，则FC的长为。答9。解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，ABCDMF（第8题答案图）N则MNAB又MFAD，所以FMNBADDACMFN，所以FNMNAB，因此FCFNNCAB9。9、ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心l作DEBC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为。ABCDEIrha（第9题答案图）答解：如图，设ABC的三边长为，内切圆l的半径为r，BC边上的高为，则，所以，因为ADEABC，所以它们对应线段成比例，因此所以DE故DE。10、关于x，y的方程的所有正整数解为。答解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数。设：则，同上可知，都是偶数，设，则，所以，都是偶数，设，则，于是，其中都是偶数。所以所以13可能为1，3，5，7，9，进而为337,329,313,289,257，故只能是289，从而137，于是因此三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11、已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点（5,2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数所对应的函数值，都有成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由。解：存在满足条件的二次函数。因为，所以，当自变量x取任意实数时，均成立。由已知，二次函数的图象经过点（5,2），得25当时，有，由于对于自变量取任实数时，均成立，所以有22，故由，得，所以5分当时，有，即所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故即所以当时，有，即，所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故即所以综上，所以，存在二次函数，在实数范围内，对于x的同一个值，都有成立。15分12、是否存在质数，使得关于x的一元二次方程有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数。令，其中是一个非负整数，则，5分由于1且与同奇偶，故同为偶数。因此，有如下几种可能情形：消去n，解得，10分对于第1,3种情形，从而；对于第2,5种情形，从而（不合题意，舍去）；对于第4种情形，是合数（不合题意，舍去）。又当时，方程为2，它的根为，它们都是有理数。综上有述，存在满足题设的质数。15分13、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的ABC？证明你的结论。解：存在满足条件的三角形。当ABC的三边长分别为时，A2B，5分如图，当A2B时，延长BA至点D，使ADACb，连接CD，则ACD为等腰三角形。ABCD（第13题答案图）因为BAC为ACD的一个外角，所以BAC2D，由已知，BAC2B，所以BD，所以CBD为等腰三角形。又D为ACD与CBD的一个公共角，有ACDCBD，于是，即，所以10分而所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形。15分说明：满足条件的三角形是唯一的。若A2B，可得，有如下三种情形；(i)当时，设（为大于1的正整数），代入，得，解得，有；(ii)当时，设（为大于1的正整数），代入，得，解得，有，此时不能构成三角形；(iii)当时，设（为大于1的正整数），代入，得，即，此方程无整数解。所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件。14、已知有6个互不相同的正整数，且，从这6个数中任意取出3个数，分别设为，其中，记。证明：一定存在3个不同的数组，其中，使得对应着的3个两两之差的绝对值都小于0.5。证明：在6个正整数中任意取出3个数共有20种取法，从而确定了20个数组，由于05分把数轴上的点0到点分成如下9个部分；0，10分由于20922，由抽屉原则知，在上述9个部分中，一定有一个至少含有3个，从而，这3个两两之差的绝对值都小于0.5。15分2010年全国初中数学竞赛复赛试题及参考答案（湖南）一、选择题（57=35）1、已知3m1 和m7是数 p的平方根，则p的值为（ ）A，100 B，25 C.10或5 D. 100或252、若，则的值为（ ）A. B C D 3、一列武广高速列车和一列普通列车的车身长分别为400米和600米，它们相向匀速行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的乘客看见普通列车驶过窗口的时间是3秒，则坐在普通列车上的乘客看见高速列车驶过窗口的时间是（ ）A 2秒 B 3秒 C 4秒 D 4.5秒4、如图，一个半径为3的圆O1经过一个半径为3的圆O2的圆心，则图中阴影部分的面积为（ ）A B 9 C D 5、若实数a、b满足，则a的取值范围是（ ）A a2 B a4 C a2或a4 D 2a4二、填空题（57=35）6、若干名同学制作迎国庆卡通图片，他们制作的卡通图片张数的条形统计图如图所示，设他们制作的卡通图片张数的平均数为a ,中位数为b，众数为c，则a 、b、c的大小关系为 7、一副三角板如图所示叠放在一起，则如中BDF的度数是 8、已知关于x 的方程有一个根为1，设这个方程另一个根为m，则的值为 。9、如图，将一张边长分别为4和2的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为 交于点E，且DEBC，已知AE=，AE=，BC=6，则圆O的半径是 三、解答题（其中1114小题每题15分，第15题20分，共80分）11、如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的中点为坐标原点，顶点A的坐标为A（1,1）， y轴上一点P（0,2）绕点A旋转180得到点P1，点P1绕点B旋转180得到点P2，点P2绕点C旋转180得点P3，点P3绕点D旋转180得点P4，。重复操作依次得到点P1，P2，P3，（1）、求点P1、P2、P3的坐标；（2）、求点P2010的坐标。12、一辆货车、一辆客车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，货车在前。小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，过了10分钟，小轿车追上了客车；又过了5分钟，小轿车追上了货车；再过t分钟，客车追上了货车，求t的值.13、如图，在平面直角坐标系xOY中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式。14、如图，谢线AM,BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE、BN于点F、C，过顶C作品AM的垂线CD，垂足为D。若CD=CF，求的值。15、如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B，已知点A 的坐标为（1,4），点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为原点）。（1）、求实数a、b、k的值；（21）、过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足EOCAOB的点E的坐标。参考答案1、D、3m-1和m-7 是数p的平方根，则3m-1=m-7或3m-1+m-7=0 m=3 或m=2当m=-3时,3m-1=-10 p=100当m=2时,3m-1=5 p=252、D、a=20b,b=10c a=200c3、A、设高速列车和普通列车的车速分别为x米8秒、y米/秒，则x+y=6003=200（米/秒） 所以坐在普通列车上的乘客看见高速列车驶过窗口的时间是：400200=2（秒）4、C、连结O1O2,O1A,O1B,O2A,O2BO1O2=O1A=3,O2A=O2O1A=90同理O2O1B=90点A、O1、B在同一条直线上，并且AO2B=90AB是圆O1的直径S阴影=S1S弓形AO1B=S1(S扇形AO2BSAO2B)=95、C、方程变形为：，b为实数=0 化简得0(a-4)(a+2) 0 a4或a26、bac共有4+3+3=10名同学制作图片，制作的张数为4,4,4,4,4,5,5,5,6,6,6平均数a=4.9, 中位数b=5，众数c =47、 75ABC=45DEF=30 BDE=ABCDEF=15BDF=EDFBDE=9015=758、 根据根与系数的关系可得：1+m= 1+m=1m=1,a= 9、 C与A重合 EF是AC的垂直平分线CG=可证：CFGAEG FG=EG=可证：CFGCAD FG:AD=CG:CD FG:2=:4FG= EF=10、 延长AC交O于点F，连结DFDEBC DEF=180ACB=90DF是O的直径 AB=DEBC DE:BC=AD:AB=AE:AC DE:6=AD: = DE=4,AD=AD是切线 AF=DF=O的半径R=11、（1）连结PA并延长交x轴于点M，则直线PA的解析式是：y=-x+2 点M的坐标是M（2,0）同时MA=PA= 说明点A是PM的中点 即点M是点P绕点A旋转180得到点M就是点P1P1(2,0) 同样：P2(0,-2) P3(-2,0)(2)重复操作依次是：P4=P8=P,P5=P9=P1,P5=P10=P2,P7=P11=P32010=4502+2P2010=P2 P2010（0，-2）12、设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意可得： 10(a-b)=S (1) 15(a-c)=2S (2) x(b-c)=S有（1）（2）得 30（b-c）=S S=30t =30105=15(分) 13、如图，延长BC交x轴于点F，连结OB，DF，且相交于点N有已知得点M（2,3）是OB、AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分又因为点N（5,2）是矩形CDEF的中心，所以过点N（5,2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分。于是，直线MN即为所求的直线L设直线l的解析式为y=kx+b 则2k+b=3 5k+b=2K= b= 因此所求直线l的函数表达式是：14、如图，设CF=m,AF=n易证：RTAFBRTABC又FC=CD=AB=n 即 或（舍去） 又RTAFERTCFB 即15、解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有 解