17_二次函数的图象和性质2(含答案)

2010年全国各地数学中考试题分类汇编16 二次函数的图象和性质2 一、选择题1（2010福建福州）已知二次函数yAx2BxC的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) Aa0 Bc0 Cb24ac0 Dabc0(第10题)【答案】D 2（2010 河北）如图5，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为OxyA图5x=2BA（2，3） B（3，2） C（3，3） D（4，3）【答案】D 3（2010 山东莱芜）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过x（第9题图）yOA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D 4（2010年贵州毕节）函数在同一直角坐标系内的图象大致是( ) 【答案】C.5（2010年贵州毕节）把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x3x5，则（ ）Ab=3，c=7Bb=6，c=3 Cb=9，c=5Db=9，c=21【答案】A.6（2010湖北荆门）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是Aab0 Bac0 C当x2时，函数值随x的增大而增大；当x2时，函数值随x的增大而减小 D二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。【答案】B 7（2010 湖南株洲）二次函数的图象与轴的交点如图所示，根据图中信息可得到的值是 【答案】48（2010 四川成都）把抛物线向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】D 9（2010山东潍坊）已知函数y1x2与函数y2x3的图象大致如图，若y1y2，则自变量x的取值范围是（ ）Ax2 Bx2或x C2x D x2或x【答案】C 10（2010湖北荆州）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，则E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？ A向上平移个单位 B向下平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位【答案】D二、填空题1（2010 湖南株洲）已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .【答案】2（2010湖南郴州）将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_【答案】 y=x2 1三、解答题1（2010江苏泰州）如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点求的值；如图，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使AQPABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由（图供选用）【答案】 抛物线经过点D()c=6.过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：SABC=SADC DE=BF 又DME=BMF， DEM=BFEDEMBFMDM=BM 即AC平分BD c=6. 抛物线为A（）、B（）M是BD的中点 M（）设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点解得直线AC的解析式为.存在设抛物线顶点为N(0，6)，在RtAQN中，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得AQPABP2（2010福建福州）如图，在ABC中，C45，BC10，高AD8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H （1）求证：； （2）设EFx，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式 (第21题)【答案】解：（1） 四边形EFPQ是矩形， EFQP AEFABC 又 ADBC， AHEF （2）由（1）得 AHx EQHDADAH8x， S矩形EFPQEFEQx (8x) x28 x（x5）220 0， 当x5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20（3）如图1，由（2）得EF5，EQ4第21题图1 C45， FPC是等腰直角三角形 PCFPEQ=4，QCQPPC9分三种情况讨论： 如图2当0t4时， 设EF、PF分别交AC于点M、N，则MFN是等腰直角三角形 FNMFtSS矩形EFPQSRtMFN=20t2t220；如图3，当4t5时，则ME5t，QC9t SS梯形EMCQ（5t）（9t ）44t28；如图4，当5t9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC9t SSKQC= (9t)2( t9)2 第21题图2 第21题图3 第21题图4综上所述：S与t的函数关系式为：S=3（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA5若抛物线yx2bxc过O、A两点（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线y2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；(第22题图1) (第22题图2)（3）如图2，在（2）的条件下，O1是以BC为直径的圆过原点O作O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）把O（0，0）、A（5，0)分别代入yx2bxc，得解得 该抛物线的解析式为yx2x（2）点C在该抛物线上 理由：过点C作CDx轴于点D，连结OC，设AC交OB于点E 点B在直线y2x上， B(5，10) 点A、C关于直线y2x对称， OBAC，CEAE，BCOC，OCOA5，BCBA10 又 ABx轴，由勾股定理得OB5 SRtOABAEOBOAAB， AE2， AC4 OBA十CAB90，CADCAB90， CADOBA 又 CDAOAB90， CDAOAB CD4，AD8 C（3，4） 当x3时，y9(3)4 点C在抛物线yx2x上（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切 过点P作PFx轴于点F，连结O1P，过点O1作O1Hx轴于点H CDO1HBA C(3，4)，B(5，10)， O1是BC的中点 由平行线分线段成比例定理得AHDHAD4， OHOAAH1同理可得O1H7 点O1的坐标为(1，7) BCOC， OC为O1的切线 又OP为O1的切线， OCOPO1CO1P5 四边形OPO1C为正方形 COP900 POFOCD第22题图 又PFDODC90， POFOCD OFCD，PFOD P(4，3)设直线O1P的解析式为ykx+B(k0)把O1(1，7)、P(4，3)分别代人ykx+B，得 解得 直线O1P的解析式为yx若以PQ为直径的圆与O1相切，则点Q为直线O1P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为(m，n)，则有nm，nm2M mm2M整理得m23m500，解得m 点Q的横坐标为或4（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=设直线AC与直线x=4交于点E（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求CMN面积的最大值【答案】解：（1）点C的坐标设抛物线的函数关系式为，则，解得所求抛物线的函数关系式为设直线AC的函数关系式为则，解得直线AC的函数关系式为，点E的坐标为把x=4代入式，得，此抛物线过E点（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MGx轴于G，则SCMN=SMNG+S梯形MGBCSCBN=当x=5时，SCMN有最大值5（2010湖南邵阳）如图（十四），抛物线y与x轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。（1）求直线BC的解析式；（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作P。当点P运动到点D时，若P与直线BC相交 ，求r的取值范围；若r=，是否存在点P使P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由提示：抛物线y的顶点坐标，对称轴x. 图（十四）【答案】解（1）令y=0，求得A点坐标为（2，0），B点坐标为（6，0）；令x0，求得C点的坐标为（0，3）设BC直线为ykxb，把B、C点的坐标代入得： 解得k，b=3故BC的解析式为：y=x3（2）过点D（2，4）作DGBC于点G，因为抛物线的对称轴是直线x=2，所以点E的坐标为（2，2），所以有EF2，FB4，EB2，DE2，从图中可知，所以有： 解得DG 故当r，点P运动到点D时，P与直线BC相交由知，直线BC上方的点D符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为yxn，把点D的坐标代入，求得n5，所以联立： 解得两点（2，4）为D点，（4，3）也符合条件。设在直线BC下方到直线BC的距离为的直线m与x轴交于点M，过点M作MNBC于点N，所以MN=，又tanNBM所以NB=，BM4，所以点M与点F重合。设直线m为y=xb 把点F的坐标，代入得：02b 得b=1，所以直线m的解析式为：y+联立方程组：解得： 所以适合要求的点还有两点即（3，）与（3，）故当r=，存在点P使P与直线BC相切，符合条件的点P有四个，即是D（2，4），（4，3）和（3，），（3，）的坐标6（2010年上海）如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线yx2bxc过点A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.图8【答案】解：(1) 抛物线yx2bxc过点 A(4,0)B(1,3).，对称轴为直线，顶点坐标为（2）直线EPOA,E与P两点关于直线对称，OE=AP,梯形OEPA为等腰梯形，OEP=APE,OE=OF, OEP=AFE,OFP=APE,OFAP,四边形OAPF为平行四边形，四边形OAPF的面积为20，.7（2010重庆綦江县）已知抛物线yax2bxc（a0）的图象经过点B（12,0）和C（0，6），对称轴为x2（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且ADAC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x1上是否存在点M使，MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由【答案】解：（1）方法一：抛物线过点C（0，6）c6，即yax2bx6由解得：，该抛物线的解析式为方法二：A、B关于x2对称A（8，0） 设C在抛物线上，6a8，即a该抛物线解析式为：（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，在RtAOC中，AC10AD点D在抛物线的对称轴上，连结DQ，如图：显然PDCQDC，由已知PDCACDQDCACD，DQACDBABAD201010DQ为ABC的中位线DQAC5APADPDADDQ1055t515（秒）存在t5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分在RtBOC中，BCCQ点Q的运动速度为每秒单位长度（3）存在如图，过点Q作QHx轴于H，则QH3，PH9在RtPQH中，PQ当MPMQ，即M为顶点，设直线CD的直线方程为ykxb（k0），则：，解得：y3x6当x1时，y3M1(1，3)当PQ为等腰MPQ的腰时，且P为顶点，设直线x1上存在点M（1，y），由勾股定理得：42y290，即yM2（1，）；M3（1，）当PQ为等腰MPQ的腰时，且Q为顶点过点Q作QEy轴于E，交直线x1于F，则F（1，3）设直线x1存在点M（1，y）由勾股定理得：，即y3M4（1，3）；M5（1，3）综上所述，存在这样的五个点：M1(1，3)；M2（1，）；M3（1，）；M4（1，3）；M5（1，3）8（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.第26题图【答案】解：根据题意，将A（,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，得解这个方程，得所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。所以在AOC中，AC=.在BOC中，BC=.AB=OA+OB=.因为AC2+BC2=.所以ABC是直角三角形。图1（2）点D的坐标是.（3）存在。由（1）知，ACBC, 若以BC为底边，则BCAP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为.直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为，将A（,0）代入直线AP的解析式求得b=,所以直线AP的解析式为. 因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=.解得（不合题意，舍去）.图2 当x=时，y=.所以点P的坐标为（，）.若以AC为底边，则BPAC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为.直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为，将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-4解得（不合题意，舍去）.当x=-时，y=-9.所以点P的坐标为（-，-9）.综上所述，满足题目的点P的坐标为（，）或（-，-9）.9（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与（2）中APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）由题意知：A（0，6），C（6，0），设经过点A、B、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c24题图则：解得：该抛物线的解析式为（2）如图：设点P（x，0），PEAB，CPEABC，又SABC=BCOA=27SCPE=SABPBPOA=3x+9设APE的面积为S则S= SABCSABPSCPE=当x=时，S最大值为点P的坐标为（，0）（3）假设存在点G（x，y），使AGC的面积与（2）中APE的最大面积相等在（2）中，APE的最大面积为，过点G做GF垂直y轴与点F当y6时，SAGC=S梯形GFOCSGFASAOC=（x+6）yx（y-6）66=3x+3y-18即3x+3y-18=，又点G在抛物线上，3x+3-18=解得：，当x=时，y=，当x=时，y=又y6，点G的坐标为（，）当y6时，如图：SAGC=SGAF+S梯形GFOCSAOC=x（6y）+-18=3x+3y-18即3x+3y-18=，又点G在抛物线上，3x+3-18=解得：，当x=时，y=，当x=时，y=又因为y6，所以点G的坐标为（，）综和所述，点G的坐标为（，）和（，）（3）解法2：可以向x轴作垂线，构成了如此下图的图形:则阴影部分的面积等于SAGC=SGCF+S梯形AGFOSAOC下面的求解过程略这样作可以避免了分类讨论10（2010 江苏连云港）（本题满分8分）已知反比例函数y的图象与二次函数yax2x1的图象相交于点（2，2）（1）求a和k的值；（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？【答案】11（2010 黄冈）（15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PMPN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.【答案】（1）a1，b2，c0（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MPMFPF1，故MPF为正三角形.（3）不存在.因为当t，x1时，PM与PN不可能相等，同理，当t，x1时，PM与PN不可能相等.12（2010 山东省德州） (已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；xyOABCPQMN第23题图(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为t秒当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值【答案】xyOABCPQDEGMNF解：(1)二次函数的图象经过点C(0，-3)，c =-3将点A(3，0)，B(2，-3)代入得解得：a=1，b=-2配方得：，所以对称轴为x=1(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t点B，点C的纵坐标相等，BCOA过点B，点P作BDOA，PEOA，垂足分别为D，E要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB即QE=AD=1又QE=OEOQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，2-0.2t=1解得t=5即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，BF=CF=OG=1又BP=OQ，PF=QG又PMF=QMG，MFPMGQMF=MG点M为FG的中点 S=，=由=S=又BC=2，OA=3，点P运动到点C时停止运动，需要20秒0t20当t=20秒时，面积S有最小值313（2010 山东莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作D与x轴相切，D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得PGA的面积被直线AC分为12两部分.（第24题图）xyOACBDEF【答案】解：（1）抛物线经过点， 解得.抛物线的解析式为：. （2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，点D的坐标为（4,8）D与x轴相切，D的半径为8 连结DE、DF，作DMy轴，垂足为点M在RtMFD中，FD=8，MD=4cosMDF=MDF=60，EDF=120 劣弧EF的长为： xyOACBDEFPGNM（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. 直线AC经过点.，解得.直线AC的解析式为：. 设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为.若PNGN=12，则PGGN=32，PG=GN.即=.解得：m1=3， m2=2（舍去）.当m=3时，=.此时点P的坐标为. 10分若PNGN=21，则PGGN=31， PG=3GN.即=.解得：，（舍去）.当时，=.此时点P的坐标为.综上所述，当点P坐标为或时，PGA的面积被直线AC分成12两部分14（2010 广东珠海）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.(1)直接写出ABE、CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；(2)过F点作FGx轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式； (3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PNBC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PMMN成立的x的取值范围。【答案】解：（1）ABECBD=30 在ABE中，AB6BC=BE=CD=BCtan30=4OD=OC-CD=2B(，6) D(0,2)设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b 所以BD所在直线的函数解析式是(2)EF=EA=ABtan30= FEG=180-FEB-AEB=60又FGOA FGEFsin60=3 GE=EFcos60= OG=OA-AE-GE=又H为FG中点H（，） 4分B(，6) 、 D(0,2)、 H（，）在抛物线图象上 抛物线的解析式是(2)MP=MN=6-H=MP-MN=由得该函数简图如图所示：当0x时,h0，即HPMN当x=时，h=0，即HP=MN当x0，即HPMN15（2010福建宁德）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B90，BC6，AD3，DCB30.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边EFG设E点移动距离为x（x0）.EFG的边长是_（用含有x的代数式表示），当x2时，点G的位置在_；若EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求当0x2时，y与x之间的函数关系式；当2x6时，y与x之间的函数关系式；B E F CA DG探求中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.【答案】解： x，D点 当0x2时，EFG在梯形ABCD内部，所以yx2；分两种情况：.当2x3时，如图1，点E、点F在线段BC上，EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，FNCFCN30,FNFC62x.GN3x6.由于在RtNMG中，G60，所以，此时 yx2（3x6）2.当3x6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，EFG与梯形ABCD重叠部分为ECP，EC6x,y（6x）2.当0x2时，yx2在x0时，y随x增大而增大，x2时，y最大；当2x3时，y在x时，y最大；当3x6时，y在x6时，y随x增大而减小，x3时，y最大.B E C FA DGPH图2综上所述：当x时，y最大.B E F CA DGNM图116（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m0)个单位，所得抛物线与x轴交与C、D两点，与原抛物线交与点P.（1）求点A的坐标，并判断PCA存在时它的形状（不要求说理）（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）CDP的面积为S，求S关于m的关系式。xyDACOP【答案】解：（1）令-2x2+4x=0得x1=0，x2=2点A的坐标是（2，0），PCA是等腰三角形，（2）存在。OC=AD=m,OA=CD=2，（3）当0m2时，如图2作PHx轴于H，设,A（2，0），C（m,0）,AC=m-2，AH=OH= = ,把把=代入y=-2x2+4x，得得, =CD=OA=2，17（2010 武汉 ）如图1，抛物线经过点A（1，0），C（0，）两点，且与x轴的另一交点为点B（1）求抛物线解析式； （2）若抛物线的顶点为点M，点P为线段AB上一动点（不与B重合），Q在线段MB上移动，且MPQ=45，设OP=x，MQ=，求于x的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于E、G两点，与（2）中的函数图像交于F、H两点，问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由图 1图 225【答案】（1）；（2）由顶点M（1，2）知PBM=45，易证MBPMPQ得，得，即；（3）存在，设点E、G是抛物线分别与直线x=m，x=n的交点，则、，同理、，由四边形EFHG为平行四边形得EG=FH，即，由，因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2（0m2，且m1）18（2010四川 巴中）如图12已知ABC中，ACB90以AB 所在直线为x 轴，过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系此时，A 点坐标为（一1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ） （1）试求点C 的坐标（2）若抛物线过ABC的三个顶点，求抛物线的解析式（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线y=x1 交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B 的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与ABE 相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。DGH【答案】（1）ACB90，COAB，ACOCBO，CO=2，则C（0，2）；（2）抛物线过ABC的三个顶点，则，抛物线的解析式为；（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，D（1，3），把直线y=x1与抛物线联立成方程组，E（5，6）,过点D作DH垂直于x轴,过点E作EG垂直于x轴,DH=BH=3,DBH=45,BD=,AG=EG=6, EAG=45,AE=,当P在B的右侧时,DBP=135ABE,两个三角形不相似,所以P点不存在；当P 在B的左侧时) DPBEBA时，P的坐标为（，0），) DPBBEA时， ，P的坐标为（，0），所以点P的坐标为（，0）或（，0）。19（2010浙江湖州）如图，已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OAAB2，OC3，过点B作BDBC，交OA于点D，将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴于E和F（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连接EF，设BEF与BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值. 【答案】由题意得：A（0，2）、B（2，2）、C（3，0），设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为，则，解得：，所以（2）由，所以顶点坐标为G（1，），过G作GHAB，垂足为H，则AHBH1，GH2，EAAB，GHAB，EAGH，GH是BEA的中位线，EA3GH，过B作BMOC，垂足为M，则MBOAAB，EBFABM90，EBAFBM90ABF，R tEBAR tFBM，FMEA，CMOCOM321，CFFMCM（3）设CFa，则FM a1或1 a，BF2FM2BM2(a1)222a22a5，又EBAFBM，BMBF，则，又，S ，即S，当a2（在2a3）时，20（2010江苏常州）如图，已知二次函数的图像与轴相交于点A、C，与轴相较于点B，A（），且AOBBOC。（1）求C点坐标、ABC的度数及二次函数的关系是；（2）在线段AC上是否存在点M（）。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。【答案】21（2010江苏常州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP-CQ。设AP=（1）当PQAD时，求的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设EPQ的面积为S，求S关于的函数关系式，并写出S的取值范围。【答案】22（2010 山东滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是，以点C为顶点的抛物线 恰好经过轴上A、B两点(1)求A、B、C三点的坐标；(2) 求经过A、B、C三点的的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少各单位？【答案】解：(1)由抛物线的对称性可知AM=BM在RtAOD和RtBMC中，OD=MC，AD=BC，AODBMCOA=MB=MA分设菱形的边长为2m，在RtAOD中，解得DC=2，OA=1，OB=3A、B、C三点的坐标分别为、(2)设抛物线的解析式为，带入A点的坐标，得抛物线的解析式为(3) 设抛物线的解析式为，代入D点的坐标，得平移后的抛物线的解析式为平移了个单位23（2010湖北荆门）已知一次函数y的图象与x轴交于点A与轴交于点；二次函数图象与一次函数y的图象交于、两点，与轴交于、两点且点的坐标为（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEF的面积S；（3）在轴上是否存在点P，使得是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由。【答案】解：（1） 由题意知:当x=0时,y=1, B（0，1）,当y=0时,x=2, A（2，0）解得,所以（2）当y=0时, ,解得x1=1,x2=2, D(1,0) E(2,0) AO=3,AE=4. S=SCAESABD，S=，S=4.5, (3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CFx轴于F, RtBOPRtPFC,由题意得，AD6，OD1，易知，ADBE，即,整理得:a24a3=0,解得a=1或a=3,所以所求P点坐标为(1,0)或(3,0).综上所述,满足条件的点P有两个.24（2010 湖南株洲）（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量： 量得； 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为请完成下列问题：（1）写出抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式；（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点的右边（如图2），直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、求证：图1图2B【答案】（1）（2）设抛物线的解析式为：，当时，即；当时，即，依题意得：，解得：抛物线的解析式为： （3）方法一：过点作，垂足为，设， ，得： 又，得，分别代入、得：，得：又 方法二：过点作，垂足为，设，则，得： 25（2010 四川成都）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线（1）求直线及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设Q的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，Q与两坐轴同时相切？【答案】（1）解：（1）沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点， ，。 将 代入，得。解得。 直线AC的函数表达式为。 抛物线的对称轴是直线解得抛物线的函数表达式为。（2）如图，过点B作BDAC于点D。 ， 。过点P作PEx轴于点E，PECO，APEACO，解得点P的坐标为（3）（）假设Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。 设点Q的坐标为。 当Q与y轴相切时，有，即。当时，得，当时，得， 当Q与x轴相切时，有，即当时，得，即，解得，当时，得，即，解得，。综上所述，存在符合条件的Q，其圆心Q的坐标分别为，。（）设点Q的坐标为。当Q与两坐标轴同时相切时，有。由，得，即，=此方程无解。由，得，即，解得当Q的半径时，Q与两坐标轴同时相切。26（2010山东潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3）以AB为直径做M，过抛物线上的一点P作M的切线PD，切点为D，并与M的切线AE相交于点E连接DM并延长交M于点N，连接AN（1）求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标；（2）若四边形EAMD的面积为4，求直线PD的函数关系式；（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于DAN的面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由【答案】解：（1）因为抛物线与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，设抛物线的函数关系式为ya（x1）（x3），抛物线与y轴交于C（0，3），3 a（01）（03），解得a1，所以抛物线的解析式为yx22x3（x1）24，因此抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）连接EM，EA、ED是M的切线，EAED，EAAM，EDMD，EAMEDM，又四边形EAMD的面积为4，SEAM2，AMAE2，又AM2，AE2，因此E1（1，2）或者E2（1，2），当点E在第二象限时，切点D在第一象限，在 RtEAM中，