19【数学】2010年高考数学计算试题分类汇编——三角函数

第 1 页 共 20 页 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编三角函数三角函数 （2010 上海文数）上海文数）19.19.（本题满分（本题满分 1212 分）分） 已知0 2 x ，化简： 2 lg(costan1 2sin)lg 2cos()lg(1 sin2 ) 22 x xxxx . 解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20 （2010 湖南文数）湖南文数）16. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )sin22sinf xxx （I）求函数( )f x的最小正周期。 (II) 求函数( )f x的最大值及( )f x取最大值时 x 的集合。 （2010 浙江理数）浙江理数） （18）(本题满分 l4 分)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已 知 1 cos2 4 C (I)求 sinC 的值； ()当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长 解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。 （）解：因为 cos2C=1-2sin2C= 1 4 ，及 0C 所以 sinC= 10 4 . （）解：当 a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理 ac sinAsinC ，得 c=4 第 2 页 共 20 页 由 cos2C=2cos2C-1= 1 4 ，J 及 0C 得 cosC= 6 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得 b26b-12=0 解得 b=6或 26 所以 b=6 b=6 c=4 或 c=4 （20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （17） （本小题满分 10 分） ABC中，D为边BC上的一点，33BD ， 5 sin 13 B ， 3 cos 5 ADC，求AD 【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中 的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】 由 cosADC=0，知 B. 由已知得 cosB=，sinADC=. 从而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=. 由正弦定理得 ，所以=. 【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出 现.这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保 留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求 边角或将边角互化. （20102010 陕西文数）陕西文数）17.（本小题满分 12 分） 在ABC 中，已知 B=45,D 是 BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的长. 解在ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 第 3 页 共 20 页 cos 222 2 ADDCAC AD DC A = 10036 1961 2 10 62 , ADC=120, ADB=60 在ABD 中，AD=10, B=45, ADB=60， 由正弦定理得 sinsin ABAD ADBB , AB= 3 10 sin10sin60 2 5 6 sinsin452 2 ADADB B A . （20102010 辽宁文数）辽宁文数） （17） （本小题满分 12 分） 在ABC中，abc、分别为内角ABC、的对边， 且2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC （）求A的大小； （）若sinsin1BC，试判断ABC的形状. 解：（）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(2 2 即bccba 222 由余弦定理得Abccbacos2 222 故120, 2 1 cosAA （）由（）得.sinsinsinsinsin 222 CBCBA 又1sinsinCB，得 2 1 sinsinCB 因为90 0 , 900CB， 故BC 所以ABC是等腰的钝角三角形。 （2010 辽宁理数）辽宁理数） （17） （本小题满分 12 分） 在ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且 2 sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC （）求 A 的大小； （）求sinsinBC的最大值. 解： （）由已知，根据正弦定理得 2 2(2)(2)abc bcb c 即 222 abcbc 第 4 页 共 20 页 由余弦定理得 222 2cosabcbcA 故 1 cos 2 A ，A=120 6 分 （）由（）得： sinsinsinsin(60)BCBB 31 cossin 22 sin(60) BB B 故当 B=30时，sinB+sinC 取得最大值 1。 12 分 （2010 全国卷全国卷 2 文数）文数） （17） （本小题满分 10 分） ABCA中，D为边BC上的一点，33BD ， 5 sin 13 B ， 3 cos 5 ADC，求 AD。 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础础知知识识。 。 由由 ADC 与与 B 的差求出的差求出 BAD ，根据同角关系及差角公式求出，根据同角关系及差角公式求出 BAD 的正弦，在三角的正弦，在三角 形形 ABD 中，由正弦定理可求得中，由正弦定理可求得 AD。 。 （20102010 江西理数）江西理数）17.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 cotsinsinsin 44 f xxxmxx 。 (1) 当 m=0 时，求 f x 在区间 3 84 ， 上的取值范围； (2) 当tan 2a 时， 3 5 f a ，求 m 的值。 【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托 三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于 中等题. 解：（1）当 m=0 时， 22 cos1 cos2sin2 ( )(1)sinsinsin cos sin2 xxx f xxxxx x 1 2sin(2) 1 24 x ，由已知 3 , 84 x ，得 2 2,1 42 x 从而得：( )f x的值域为 12 0, 2 第 5 页 共 20 页 （2） 2 cos ( )(1)sinsin()sin() sin44 x f xxmxx x 化简得： 11 ( )sin2(1)cos2 22 f xxmx 当tan2，得： 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 aaa a aaa ， 3 cos2 5 a ， 代入上式，m=-2. （2010 安徽文数）安徽文数）16、 （本小题满分 12 分） ABC的面积是 30，内角, ,A B C所对边长分别为, ,a b c， 12 cos 13 A 。 ()求AB AC A； ()若1cb，求a的值。 【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用 余弦定理解三角形以及运算求解能力. 【解题指导】 （1）根据同角三角函数关系，由 12 cos 13 A 得sin A的值，再根据ABC面 积公式得156bc ；直接求数量积AB AC A.由余弦定理 222 2cosabcbcA，代入已 知条件1cb，及156bc 求 a 的值. 解：由 12 cos 13 A ，得 2 125 sin1 () 1313 A . 又 1 sin30 2 bcA ，156bc . （） 12 cos156144 13 AB ACbcA . （） 222 2cosabcbcA 2 12 ()2(1 cos)12 156 (1)25 13 cbbcA ， 5a . 【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知 ABC的面积是 30， 12 cos 13 A ，所以先求sin A的值，然后根据三角形面积公式得 bc的值.第二问中求 a 的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可. （2010 重庆文数）(18).(本小题满分 13 分), ()小问 5 分，()小问 8 分.) 设ABC的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 2 b+3 2 c-3 2 a=42bc . () 求 sinA 的值； ()求 2sin()sin() 44 1 cos2 ABC A 的值. 第 6 页 共 20 页 （2010 浙江文数）浙江文数） （18） （本题满分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为ABC 的面积，满足 222 3 () 4 Sabc。 （）求角 C 的大小； （）求sinsinAB的最大值。 （2010 重庆理数）重庆理数） （16） （本小题满分 13 分， （I）小问 7 分， （II）小问 6 分） 设函数 2 2 cos2cos, 32 x f xxxR 。 （I）求 f x的值域； （II）记ABC的内角 A、B、C 的对边长分别为 a，b，c，若 第 7 页 共 20 页 f B=1，b=1,c=3，求 a 的值。 （2010 山东文数）山东文数）(17)（本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )sin()coscosf xxxx（0）的最小正周期为， （）求的值； （）将函数( )yf x的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到 函数( )yg x的图像，求函数( )yg x在区间0,16 上的最小值. 第 8 页 共 20 页 （20102010 北京文数）北京文数） （15） （本小题共 13 分） 已知函数 2 ( )2cos2sinf xxx （）求() 3 f 的值； （）求( )f x的最大值和最小值 解：（） 2 2 ()2cossin 333 f = 31 1 44 （） 22 ( )2(2cos1)(1 cos)f xxx 2 3cos1,xxR 因为cos1,1x ,所以，当cos1x 时( )f x取最大值 2；当cos0x 时， ( )f x去最小值-1。 （20102010 北京理数）北京理数） （15） （本小题共 13 分） 已知函数(x)f 2 2cos2sin4cosxxx。 （）求() 3 f 的值； 第 9 页 共 20 页 （）求(x)f的最大值和最小值。 解：（I） 2 239 ()2cossin4cos1 333344 f （II） 22 ( )2(2cos1)(1 cos)4cosf xxxx = 2 3cos4cos1xx = 2 27 3(cos) 33 x,xR 因为cosx 1,1， 所以，当cos1x 时，( )f x取最大值 6；当 2 cos 3 x 时，( )f x取最小值 7 3 （2010 四川理数）四川理数） （19） （本小题满分 12 分） （）证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsin ； 1 由C 推导两角和的正弦公式S:sin()sincoscossin . 2 （）已知ABC 的面积 1 ,3 2 SABAC ，且 3 5 cosB ，求 cosC. 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及 运算能力。 解：(1)如图，在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O，并作出角 、 与，使角 的始边 为 Ox，交O 于点 P1，终边交O 于 P2；角 的始边为 OP2，终边交O 于 P3；角 的始边为 OP1，终边交O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cos,sin) P3(cos(),sin(),P4(cos(),sin() 由 P1P3P2P4及两点间的距离公式，得 cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2 展开并整理得：22cos()22(coscossinsin) cos()coscossinsin.4 分 由易得 cos( 2 )sin,sin( 2 )cos sin()cos 2 ()cos( 2 )() cos( 2 )cos()sin( 2 )sin() sincoscossin6 分 (2)由题意，设ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c 第 10 页 共 20 页 则 S 1 2 bcsinA 1 2 ABAC bccosA30 A(0, 2 ),cosA3sinA 又 sin2Acos2A1，sinA 10 10 ,cosA 3 10 10 由题意，cosB 3 5 ,得 sinB 4 5 cos(AB)cosAcosBsinAsinB 10 10 故 cosCcos(AB)cos(AB) 10 10 12 分 （20102010 天津文数）天津文数） （17） （本小题满分 12 分） 在ABC 中， cos cos ACB ABC 。 （）证明 B=C： （）若cos A=- 1 3 ，求 sin4B 3 的值。 【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍 角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分 12 分. （）证明：在ABC 中，由正弦定理及已知得 sinB sinC = cosB cosC .于是 sinBcosC- cosBsinC=0，即 sin（B-C）=0.因为BC，从而 B-C=0. 所以 B=C. （）解：由 A+B+C=和（）得 A=-2B,故 cos2B=-cos（-2B）=-cosA= 1 3 . 又 0,ACOCOC ACAC故且对于线段上任意点P有O PO C，而小艇的最 高航行速度只能达到 30 海里/小时，故轮船与小艇不可能在 A、C（包含 C）的任意位置相 遇，设COD= (0 90 ),10 3tanRt CODCD 则在中，OD= 10 3 cos ， 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 10 10 3tan 30 t 和 10 3 cos t v ， 所以 10 10 3tan 30 10 3 cosv ，解得 15 33 ,30,sin( +30 ) sin( +30 )2 vv 又故， 从而3090 ,30tan 由于时，取得最小值，且最小值为 3 3 ，于是 当30 时， 10 10 3tan 30 t 取得最小值，且最小值为 2 3 。 此时，在OAB中，20OAOBAB，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。 （2010 安徽理数）16、 （本小题满分 12 分） 设ABC是锐角三角形，, ,a b c分别是内角, ,A B C所对边长，并且 22 sinsin() sin() sin 33 ABBB 。 ()求角A的值； ()若12,2 7AB ACa A，求, b c（其中bc） 。 第 18 页 共 20 页 （2010 江苏卷）江苏卷）17、 （本小题满分 14 分） 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，仰角ABE=，ADE=。 (1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出 H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m） ，使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔 的实际高度为 125m，试问 d 为多少时，-最大？ 解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （1）tan tan HH AD AD ，同理： tan H AB ， tan h BD 。 ADAB=DB，故得 tantantan HHh ，解得： tan4 1.24 124 tantan1.24 1.20 h H 。 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。 （2）由题设知dAB，得tan,tan HHhHh dADDBd ， 第 19 页 共 20 页 2 tantan tan() () 1tantan() 1 HHh hdh dd HHhH Hh dH Hh d ddd () 2() H Hh dH Hh d ， （当且仅当()125 12155 5dH Hh时，取等 号） 故当55 5d 时，tan()最大。 因为0 2 ，则0 2 ，所以当55 5d 时，-最大。 故所求的d是55 5m。 （2010 江苏卷）23.（本小题满分 10 分） 已知ABC 的三边长都是有理数。 （1）求证 cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数。 解析 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分 10 分。 （方法一） （1）证明：设三边长分别为, ,a b c， 222 cos 2 bca A bc ，, ,a b c是有理数， 222 bca是有理数，分母2bc为正有